Zapis liczby całkowitej w pozycyjnych systemach liczbowych

1. Cele lekcji

Kształcenie ogólnej kultury matematycznej (liczby w starożytnej Grecji, Egipcie, Rzymie, Indiach). Kształtowanie pojęcia pozycyjnego systemu liczenia. Uświadomienie znaczenia dwójkowego systemu liczenia w informatyce.

Wiadomości

Uczeń powinien:

• znać wartości cyfr w zapisie liczby w pozycyjnym systemie liczenia,

• znać wartości liter w systemach pozycyjnych.

b) Umiejętności

Uczeń powinien:

• wyznaczać wartości liczby całkowitej w różnych systemach liczbowych,

• zapisywać liczby całkowite w określonym systemie liczbowym,

• wykonywać działania dodawania, odejmowania i mnożenia na liczbach całkowitych zapisanych w systemie dwójkowym.

2. Metoda i forma pracy

Dyskusja, samodzielna praca z kartą zadaniową, praca zbiorowa.

3. Środki dydaktyczne

1. plansza „Znaki liczbowe, proste sposoby rachowania” wg M. Sysły

2. karta pracy ucznia

4. Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

Uczniowie przypominają wiadomości o liczbach naturalnych i całkowitych poznane na poprzedniej lekcji. Nauczyciel sprawdza pracę domową. Nawiązuje do tematu np. poprzez krótkie przedstawienie historii powstawania systemów liczbowych (rzymski system liczbowy jako przykład addytywnego systemu liczbowego), informuje o pochodzeniu dziesiętnego systemu liczenia – na podstawie planszy „Znaki liczbowe, proste sposoby rachowania” wg M. Sysły.

b) Faza realizacyjna

1. Dziesiętny system pozycyjny

   1. indywidualna praca uczniów z kartą pracy (załącznik 1)

   2. dyskusja na temat odpowiedzi uczniów w karcie pracy

   3. zdefiniowanie dziesiętnego pozycyjnego systemu liczenia

   4. określenie wartości liczby zapisanej w systemie dziesiętnym

2. Inne liczbowe systemy pozycyjne

   5. indywidualna praca uczniów z kartą pracy (załącznik 2)

   6. dyskusja na temat odpowiedzi udzielonych przez uczniów w karcie pracy

   7. przedstawianie liczby 2112 = 2 ⋅ 3Indeks górny 3³ + 1⋅ 3Indeks górny 2² + 1 ⋅ 3Indeks górny 1¹ + 2 ⋅ 3Indeks górny 0⁰Indeks dolny =₌ ((2 ⋅ 3 + 1) ⋅ 3 + 1) ⋅ 3 + 2 w postaci pozwalającej wyznaczenie jej wartości w inny sposób (ten sposób wyznaczania wartości znany jest jako schemat Hornera)

   8. zdefiniowanie pozycyjnego systemu liczenia

   9. systemy: jedenastkowy, dwunastkowy, trzynastkowy, czternastkowy, piętnastkowy, szesnastkowy, w których występują litery

      • podanie wartości przypisanych literom

      • jaką wartość ma liczba 90A896 zapisana w systemie piętnastkowym?

      • jaką wartość ma liczba FFFFF zapisana w systemie szesnastkowym?

3. Wybrane działania na liczbach binarnych

   10. Gdzie jest powszechnie stosowany zapis w systemie dwójkowym?

W maszynach cyfrowych (kalkulatory, komputery). Układy elektroniczne pamiętają informację o tym, czy był sygnał elektryczny, czy go nie było. Dlatego liczby (informacje) w komputerze są zapisane przy użyciu tylko dwóch symboli: 1 (był sygnał) i 0 (nie było sygnału). Najmniejsza jednostka informacji 1 bit przyjmuje wartości 0 lub 1.

11. Niech a = 1100, b = 1101 oznaczają liczby zapisane w systemie dwójkowym. Wykonaj „binarne” działania: a + b, b – a, a ⋅ b. Wyznacz, wykorzystując schemat Hornera, wartości tych liczb oraz wyniki działań na tych liczbach.

c) Faza podsumowująca

Powtórzenie wiadomości poznanych na lekcji. Pytania kontrolne: W jaki sposób wyznacza się wartość liczby zapisanej w danym systemie liczbowym? Jakich systemów pozycyjnych obecnie się używa?
W jaki sposób zapisać liczbę z systemu dziesiętnego na inny system pozycyjny?

5. Bibliografia

1. Kąkol H., Wołodźko S., Matematyka w gimnazjum z kalkulatorem graficznym i komputerem, wyd. Dla szkoły, Wilkowice 2002.

2. Więsław W., Matematyka i jej historia, NOWIK, Opole 1997.

6. Załączniki

a) Karta pracy ucznia

załącznik 1

Z jakich cyfr składają się używane przez nas liczby?

…………………………………………………………………………………………………………..

Jaką wartość mają poszczególne cyfry w liczbach 1257 i 7521?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

W jaki sposób zapiszesz wartość liczby 1257, a w jaki sposób wartość liczby 7521?

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Od czego zależy wartość użytej cyfry w liczbie?

……………………………………………………………………………………………………………

Zapisz liczbę, której wartość jest równa 8 ⋅ 10Indeks górny 3³ + 7 ⋅ 10Indeks górny 2² + 6 ⋅ 10Indeks górny 1¹ + 5 ⋅ 10Indeks górny 0⁰

……………………………………………………………………………………………………………

Wyjaśnij, dlaczego używany przez nas system zapisu liczb nazywa się dziesiętnym (lub dziesiątkowym) pozycyjnym systemem liczenia.

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

załącznik 2

Określ, w jakim systemie pozycyjnym zapisane są liczby, jeśli ich wartości wyznaczane są w następujący sposób:

45320 = 4 ⋅ 6Indeks górny 4⁴ + 5 ⋅ 6Indeks górny 3³ + 3 ⋅ 6Indeks górny 2² + 2 ⋅ 6Indeks górny 1¹ + 0 ⋅ 6Indeks górny 0⁰

……………………………………………………………………………………………………………

2112 = 2 ⋅ 3Indeks górny 3³ + 1 ⋅ 3Indeks górny 2² + 1 ⋅ 3Indeks górny 1¹ + 2 ⋅ 3Indeks górny 0⁰

…………………………………………………………………………………………………………….

1001 = 1 ⋅ 2Indeks górny 3³ + 0 ⋅ 2Indeks górny 2² + 0 ⋅ 2Indeks górny 1¹ + 1 ⋅ 2Indeks górny 0⁰

…………………………………………………………………………………………………………….

Czy znasz „szybki” sposób wyznaczania wartości tych liczb?

Liczbę 64 zapisz w systemach pozycyjnych: szóstkowym, czwórkowym i dwójkowym.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) Zadanie domowe

1. Gdzie można dzisiaj spotkać cyfry rzymskie?

2. Jakiego systemu używamy do liczenia sekund i minut? 1920 sekund, ile to minut?

3. Zapisz Twój rok urodzenia w każdym z poznanych przez Ciebie systemów pozycyjnych.

7. Czas trwania lekcji

45 minut

8. Uwagi do scenariusza

Lekcję zaleca się przeprowadzić w klasach, w których uczniowie uczą się informatyki.