Metadane scenariusza

Scenariusz lekcji – Zastosowanie twierdzenia Bezouta oraz twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu w zadaniach z parametrem

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Utrwalenie znajomości twierdzenia Bezout

2. Utrwalenie znajomości definicji pierwiastka wielomianu

3. Utrwalenie znajomości twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

4. Utrwalenie umiejętności zapisu wielomianu w postaci iloczynowej

b) Umiejętności

1. Uczeń zna i stosuje twierdzenie Bezout

2. Uczeń zna i stosuje definicję pierwiastka wielomianu

3. Uczeń zna i stosuje twierdzenie o całkowitych pierwiastkach wielomianu
   o współczynnikach całkowitych

4. Uczeń potrafi dokonać prawidłowej analizy treści zadania, wskazać zmienną
   i parametr

5. Uczeń potrafi prawidłowo uzasadnić poszczególne kroki rozwiązania zadania

6. Uczeń potrafi zastosować algorytm dzielenia wielomianów

7. Uczeń potrafi właściwie formułować wypowiedź jako podsumowanie własnych spostrzeżeń

8. Uczeń potrafi obiektywnie ocenić wkład pracy własnej i kolegów z klasy

2. Metoda i forma pracy

Pogadanka utrwalająca - pod kierunkiem nauczyciela uczniowie powtarzają poznane pojęcia, indywidualna praca uczniów‑karta pracy, ćwiczenia‑dyskusja rozwiązań,

3. Środki dydaktyczne

1. Foliogram z treścią zadań przygotowany przez nauczyciela, epidiaskop

2. Karty pracy uczniów

3. Tablica, kreda

4. Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

1. Czynności organizacyjne‑sprawdzenie obecności i zadania domowego

2. Wprowadzenie do nowej lekcji:

   1. Zapisanie tematu

   2. Przypomnienie definicji pierwiastka wielomianu:

Nauczyciel prosi jednego z uczniów o przypomnienie definicji pierwiastka wielomianu, uczeń podaje odpowiedź: Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy każdą liczbę a, dla której W(a)=0. Następnie poleca uczniom wykonanie pierwszego polecenia z karty pracy. Uczniowie wykonują ćwiczenie 1 i podają odpowiedź: Dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

3. Przypomnienie twierdzenia o postaci iloczynowej wielomianu.

Na prośbę nauczyciela o podanie twierdzenia uczniowie odpowiadają: Jeżeli wielomian n‑tego stopnia W(x)=aIndeks dolny n_nxIndeks górny nⁿ+aIndeks dolny n‑1_n‑1xIndeks górny n‑1^n‑1+…+aIndeks dolny 1₁x+aIndeks dolny 0₀ ma n różnych pierwiastków xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂, …, xIndeks dolny n_n, to W(x)=aIndeks dolny n_n(x‑xIndeks dolny 1₁)⋅(x‑xIndeks dolny 2₂)⋅…⋅(x‑xIndeks dolny n_n). Następnie poleca uczniom wykonanie kolejnego polecenia z karty pracy. Uczniowie wykonują ćwiczenie 2 i podają odpowiedź: np. W(x)=2x(x+3)(x‑1)

4. Przypomnienie twierdzenia Bezout

Uczniowie podają twierdzenie: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x‑a). Następnie udzielają odpowiedzi na polecenie 3 zawarte w karcie pracy: xIndeks dolny 1₁=0, xIndeks dolny 2₂=-4, xIndeks dolny 3₃=2.

b) Faza realizacyjna

1. Nauczyciel wyświetla przygotowany foliogram i prosi uczniów o zapoznanie się z treścią zadania nr 1. Uczniowie dyskutują dobór metody rozwiązania, poprzez analizę jego treści:

Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=xIndeks górny 3³+xIndeks górny 2²+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x‑2).

1. Jeden z uczniów zapisuje na tablicy układ równań z niewiadomymi b i c wynikający z zastosowania twierdzenia Bezout i definicji pierwiastka

$\{\begin{array}{c}\hfill W(-1)=0\hfill \\ \hfill W\left(2\right)=0\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\hfill c-b=0\hfill \\ \hfill 2b+c+12=0\hfill \end{array}$

2. Uczniowie podają poznane metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi i dokonują doboru jednej z nich w celu rozwiązania zapisanego układu. Rozwiązanie zostaje zapisane przez jednego z uczniów na tablicy: b= -4 i c= -4

3. Uczniowie formułują odpowiedź, którą zapisują w zeszycie

2. Rozwiązywanie zadania o numerze 2 i treści:

Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=2axIndeks górny 3³-5axIndeks górny 2²+5a‑2.

1. Uczniowie stosują definicję pierwiastka wielomianu otrzymując równanie z niewiadomą a. Jeden z uczniów zapisuje ustalone równanie na tablicy: W(a)=0⇒ 2aIndeks górny 4⁴-5aIndeks górny 3³+5a‑2=0.

2. Nauczyciel prosi uczniów o podanie poznanych metod rozkładu wielomianu na czynniki. Uczniowie Podają metody: grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, zastosowanie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu i twierdzenia Bezout, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i przedstawianie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej.

3. Wybór metody rozkładu wielomianu

Jeden z uczniów dokonuje wyboru metody i przedstawia rozkład na tablicy.

2(aIndeks górny 4⁴-1)-5a(aIndeks górny 2²-1)=0

(aIndeks górny 2²-1)(2aIndeks górny 2²-5a+2)=0

2(a‑1)(a+1)(a‑2)(a‑0,5)=0

4. Wnioski wynikające z przeprowadzonych obliczeń.

Uczniowie podają wartości a spełniające dane równanie: pa=1, a=-1, a=2, a=0,5 oraz podają odpowiedź do zadania:

Wartości parametru a spełniające założenie zadania wynoszą:

a=1, a=-1, a=2, a=0,5

3. Przypomnienie twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

Na pytanie nauczyciela wybrany uczeń podaje twierdzenie: Jeżeli aIndeks dolny n_n≠0, aIndeks dolny 0₀≠0 i współczynniki wielomianu W(x)=aIndeks dolny n_nxIndeks górny nⁿ+aIndeks dolny n‑1_n‑1xIndeks górny n‑1^n‑1+…+aIndeks dolny 1₁x+aIndeks dolny 0₀ są liczbami całkowitymi oraz wielomian ma pierwiastek całkowity p, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego aIndeks dolny 0₀

4. Rozwiązywanie zadania o numerze 3 i treści:

Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=-xIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²xIndeks górny 2²-mIndeks górny 3³x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.

1. Uczniowie analizują treść zadania i zauważają, że jeżeli wielomian miałby całkowite pierwiastki to zgodnie z twierdzeniem byłyby nimi liczby 1 i -1. Ponieważ jednak treść zadania wskazuje, że wielomian nie ma ani jednego całkowitego pierwiastka to znaczy, że W(1)≠0 i W(-1)≠0 i m∈C ⇒ -mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²≠0 i mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²+2≠0 i m∈C

2. Nauczyciel prosi uczniów o wykonanie polecenia z karty pracy, polegającego na tym, aby zapisali wielomiany G(m)=-mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2² oraz P(m)= mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²+2 w postaci iloczynowej. Uczniowie rozwiązują przykład samodzielnie konsultując ewentualne problemy z nauczycielem. Oczekiwane efekty pracy uczniów powinny być następujące:

G(m)=-mIndeks górny 2²(m+1) oraz wykonują dzielenie:

$\begin{array}{c}\hfill (m^3-m^2+2):(m+1)=m^2-2m+2\hfill \\ \hfill \underline{-m^3-m^2}\hfill \\ \hfill =-2m^2+2\hfill \\ \hfill \underline{+2m^2+2m}\hfill \\ \hfill =2m+2\hfill \\ \hfill -\underline{2m-2}\hfill \\ \hfill ==\hfill \end{array}$

Oblicza ∆=-4<0 i zapisuje P(m)=(m+1)(-mIndeks górny 2²+2m‑2)

3. Nauczyciel prosi uczniów o wykonanie kolejnego polecenia w karcie pracy.

Uczniowie wypisują pierwiastki wielomianu G(m): m=0 i m=-1 oraz pierwiastek wielomianu P(m): m=-1

4. Podsumowanie rozwiązania zadania‑odpowiedź: Wielomian W(x) nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego dla każdej liczby całkowitej m z wyjątkiem 0 i -1

c) Faza podsumowująca

Przypomnienie kluczowych pojęć i umiejętności opanowanych przez uczniów w trakcie lekcji oraz zadanie pracy domowej.

Ocena aktywności uczniów dokonana przez nauczyciela po zasięgnięciu opinii klasy.

Oddanie kart pracy nauczycielowi.

5. Bibliografia

1. Matematyka dla klasy I liceum i technikum- podręcznik, wydawnictwo SENS

6. Załączniki

Foliogram zawierający treści zadań przygotowany przez nauczyciela:

Zad.1. Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=xIndeks górny 3³+xIndeks górny 2²+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x‑2).

Zad.2. Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=2axIndeks górny 3³-5axIndeks górny 2²+5a‑2.

Zad.3. Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=-xIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²xIndeks górny 2²-mIndeks górny 3³x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.

a)Karta pracy ucznia

Imię i nazwisko ucznia

1. Korzystając z definicji pierwiastka wielomianu sprawdź, czy liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=-6xIndeks górny 3³+13x‑22

2. Wiedząc, że liczby 0, -3, 1 są pierwiastkami pewnego wielomianu stopnia trzeciego zapisz dla dowolnego aIndeks dolny 3₃≠0 przykład wielomianu W(x) w postaci iloczynowej.

3. Wiedząc, że wielomian W(x)= 2xIndeks górny 3³+4xIndeks górny 2²-16x jest podzielny przez dwumiany (x+4) oraz (x‑2) podaj liczby, które są pierwiastkami wielomianu W(x).

xIndeks dolny 1₁= , xIndeks dolny 2₂= , xIndeks dolny 3₃=

4. Zapisz wielomian G(m)=-mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2² w postaci iloczynowej. Podaj liczby m, które są pierwiastkami wielomianu.

mIndeks dolny 1₁= , mIndeks dolny 2₂=

5. Korzystając z twierdzenia całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych określ liczbę m, która jest pierwiastkiem wielomianu P(m)=mIndeks górny 3³-mIndeks górny 2²+2. Zapisz wielomian P(m) w postaci iloczynowej.

mIndeks dolny 1₁=

b) Zadanie domowe

Rozwiąż w domu następujące zadania:

Zad.1. Znajdź współczynniki b i c wielomianu W(x)=xIndeks górny 3³-4xIndeks górny 2²+bx+c wiedząc, że jest on podzielny przez dwumiany (x+1) oraz (x‑3).

Zad.2. Wyznacz wartość parametru a tak, aby był on równocześnie pierwiastkiem wielomianu W(x)=axIndeks górny 3³-axIndeks górny 2²+a‑4.

Zad.3. Zbadaj, dla jakich wartości parametru całkowitego m wielomian W(x)=xIndeks górny 3³+mIndeks górny 2²xIndeks górny 2²+3mIndeks górny 3³x+1 nie ma ani jednego całkowitego miejsca zerowego.

Uwaga: rozwiązania przez analogię do przykładów z lekcji.