Zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów liczbowych

Oś liczbową definiuje się zazwyczaj jako obiekt geometryczny będący prostą z wyróżnionymi punktami. Żyjący w latach $1845$ – $1918$ niemiecki matematyk Georg Cantor zauważył, że każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada pewna liczba rzeczywista. Wśród liczb rzeczywistych są też liczby całkowite. Każda liczba całkowita jest liczbą rzeczywistą, ale nie każda liczba rzeczywista jest liczbą całkowitą. Wysnuł więc wniosek, że liczb rzeczywistych jest więcej niż całkowitych. To było odkrycie Cantora, a naszym zadaniem będzie zrozumienie, jak użyć osi liczbowej do zaznaczania na niej zbiorów liczbowych, spełniających określone warunki.

1. Interaktywna treść merytoryczna1Interaktywna treść merytoryczna

2. Animacja2Animacja

3. Zestaw ćwiczeń interaktywnych3Zestaw ćwiczeń interaktywnych

4. Słownik4Słownik

Przypomnijmy definicję osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej.

oś liczbowa

Definicja: oś liczbowa

Osią liczbową nazywamy prostą, na której zaznaczamy: zwrot (strzałkę, która wskazuje, w którą stronę liczby się zwiększają), liczby $0$ oraz $1$.

RZdh2SHy5Q2rL

Na ilustracji znajduje się oś liczbowa ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczone są dwa punkty: 0 i 1. Odcinek między tymi punktami jest zaznaczony na niebiesko. Jest to odcinek jednostkowy.

Punkty $0$ i $1$ wyznaczają końce odcinka, który nazywamy jednostką osi liczbowej, a jego długość jest równa $1$.

Na osi liczbowej możemy zaznaczać nie tylko pojedyncze liczby, ale też zbiory liczb, spełniających określone warunki.

W zależności od warunku, jaki spełniają liczby na osi liczbowej, możemy wyróżnić kilka różnych przypadków.

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek:

• $x>2$

Zapis $x>2$ oznacza, że $x$ jest liczbą większą od $2$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć wszystkie liczby, które są większe od liczby $2$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $2$.

R1eKeaKamnX8Y

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 2 niezamalowanym kółkiem.

Liczby większe od $2$ leżą na osi liczbowej na prawo od tej liczby.

R1SkJII4pIlrq

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 2 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby dwa.

Pusta kropka przy liczbie $2$ oznacza, że ta liczba nie należy do omawianego zbioru liczb.

• $x⩾-3$

Zapis $x⩾-3$ oznacza, że $x$ jest liczbą większą lub równą $\left(-3\right)$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć liczby, które są większe lub równe liczbie $\left(-3\right)$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $\left(-3\right)$.

RVgW4zL5EWRse

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -3 zamalowanym kółkiem.

Liczby większe od $\left(-3\right)$ leżą na osi liczbowej na prawo od tej liczby.

R1MrVzlWEVOEK

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -3 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus trzy.

Zamalowana kropka przy liczbie $\left(-3\right)$ oznacza, że ta liczba należy do omawianego zbioru liczb.

• $x<-1$

Zapis $x<-1$ oznacza, że $x$ jest liczbą mniejszą od $\left(-1\right)$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć liczby, które są mniejsze od liczby $\left(-1\right)$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $\left(-1\right)$.

RVuzrCpJRXd1a

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -1 niezamalowanym kółkiem.

Liczby mniejsze od $\left(-1\right)$ leżą na osi liczbowej na lewo od tej liczby.

R1aIWYKjsRUpD

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -1 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby minus jeden.

Pusta kropka przy liczbie $\left(-1\right)$ oznacza, że ta liczba nie należy do omawianego zbioru.

• $x⩽1$

Zapis $x⩽1$ oznacza, że $x$ jest liczbą mniejszą lub równą $1$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć liczby, które są mniejsze lub równe liczbie $1$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $1$.

RGlMvlaKmcNb2

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 1 zamalowanym kółkiem.

Liczby mniejsze od $1$ leżą na osi liczbowej na lewo od tej liczby.

RXE5702pFTC2I

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 1 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby jeden.

Zamalowana kropka przy liczbie $1$ oznacza, że ta liczba należy do omawianego zbioru.

Przykład 1

Zaznaczymy na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek $x⩽4$, a następnie podamy wszystkie liczby naturalne, które spełniają podany warunek.

Rozwiązanie:

Zapis $x⩽4$ oznacza, że $x$ jest liczbą mniejszą lub równą $4$. Zatem na osi liczbowej mamy zaznaczyć liczby, które są mniejsze lub równe liczbie $4$. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczbę $4$, a następnie liczby mniejsze od $4$, które leżą na osi liczbowej na lewo od tej liczby.

RCktmsjZI7Qqn

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 4 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby cztery.

Zatem liczby naturalne, które spełniają podany warunek to: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$.

Przykład 2

Zapiszemy warunek, jaki spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej:

RT7HjFGiCxFoV

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 6 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby sześć.

RVOgBpHTfCK6a

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -3 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus trzy.

Rozwiązanie:

1. Zbiór liczb zaznaczony na osi liczbowej jest opisany za pomocą warunku $x<6$.

2. Zbiór liczb zaznaczony na osi liczbowej jest opisany za pomocą warunku $x⩾-3$.

Przykład 3

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby:

1. nie mniejsze niż $\left(-3\frac{1}{2}\right)$,

2. ujemne.

Rozwiązanie:

1. Liczby, które są nie mniejsze niż $\left(-3\frac{1}{2}\right)$, to takie liczby $x$, które spełniają warunek $x⩾-3\frac{1}{2}$.

Wobec tego, zbiór liczb spełniających warunek $x⩾-3\frac{1}{2}$ przedstawia się na osi liczbowej następująco:

R1Q6pa4fesCD3

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt $-3\frac{1}{2}$ zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby $-3\frac{1}{2}$.

2. Liczby, które są ujemne, to takie liczby $x$, które spełniają warunek $x<0$.

Wobec tego, zbiór liczb spełniających warunek $x<0$ przedstawia się na osi liczbowej następująco:

RzaDbTDYOPBgy

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt $0$ nie zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby $0$.

Przykład 4

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają jednocześnie podane warunki, a następnie wymienimy liczby całkowite, które spełniają te warunki.

1. wszystkie liczby mniejsze od $2$ i większe od $\left(-4\right)$,

2. wszystkie liczby nie mniejsze niż $2$ i nie większe niż $6$.

Rozwiązanie:

1. Liczby, które są mniejsze od $2$ i większe od $\left(-4\right)$, to takie liczby $x$, które spełniają warunki: $x<2$ oraz $x>-4$.

Zatem:

RpXPeY5CIoNBo

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono kolorem niebieskim punkt -4 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone na niebiesko zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus cztery. Kolorem czerwonym zaznaczono punkt 2 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone na czerwono zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby dwa. Część osi liczbowej zaznaczona jest jednocześnie kolorem niebieskim i kolorem czerwonym. Są to liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby -4 i na lewo od liczby dwa.

Liczby całkowite, które spełniają podane warunki to: $-3,-2,-1,0,1$.

2. Liczby, które są nie mniejsze niż $2$ i nie większe niż $6$, to takie liczby $x$, które spełniają warunki $x⩾2$ oraz $x⩽6$.

RHZ495WvASGjK

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono kolorem niebieskim punkt 2 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone na niebiesko zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby dwa. Kolorem czerwonym zaznaczono punkt 6 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone na czerwono zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby sześć. Część osi liczbowej zaznaczona jest jednocześnie kolorem niebieskim i kolorem czerwonym. Są to liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby 2 i na lewo od liczby sześć.

Liczby całkowite, które spełniają podane warunki to: $2, 3, 4, 5, 6$.

Mając dane punkty na osi liczbowej, które odpowiadają wartościom liczb, możemy obliczać odległości pomiędzy tymi punktami.

Przykład 5

Wyznaczymy zbiór liczb całkowitych, których odległość na osi liczbowej od liczby $3$ jest nie większa niż $5\frac{1}{2}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy oś liczbową i zaznaczmy na niej liczbę $3$.

Zauważmy, że liczby $x$, których odległość od liczby $3$ jest nie większa niż $5\frac{1}{2}$ spełniają warunki: $x⩾-2\frac{1}{2}$ oraz $x⩽8\frac{1}{2}$.

Omawiany zbiór liczb przedstawia się następująco na osi liczbowej:

R11gBvBdyu7XE

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono dwa punkty: $-2\frac{1}{2}$ i $8\frac{1}{2}$. Oba punkty zaznaczono zamalowanymi kółkami. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby $-2\frac{1}{2}$ i na lewo od liczby $8\frac{1}{2}$. Nad osią liczbową zaznaczono, że odległość punktu $-2\frac{1}{2}$ od punktu 3 oraz odległość punktu $8\frac{1}{2}$ od punktu 3 wynosi $5\frac{1}{2}$.

Liczby całkowite, które spełniają podany warunek to: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$.

Notatnik

Animacja

Zapoznaj się z animacją dotyczącą zaznaczania na osi liczb spełniających podane warunki, a następnie wykonaj polecenia.

Polecenie 1

Zapisz warunek, jaki spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej, a następnie określ najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do tego zbioru.

R1b3iv2CRj9WZ

Ilustracja oznaczona numerem 1, przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt 3 zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby trzy.

R5Yq2xMPPUqUQ

Ilustracja oznaczona numerem 2, przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt - pierwiastek z dwóch niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby minus pierwiastek z dwóch.

R3cSIqtIdZo5A

Ilustracja oznaczona numerem 3, przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt pierwiastek z pięciu zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby pierwiastek z pięciu.

R1Nsx3WLVONYz

Ilustracja oznaczona numerem 4, przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt pierwiastek z trzech niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na prawo od liczby pierwiastek z trzech.

RHBxQ8mfwn7mA

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Za każdym razem ustal, czy na osi liczbowej zaznaczono kółko zamalowane, czy niezamalowane, a następnie określ kierunek w którą stronę liczby rosną lub maleją.

Pokaż rozwiązanie

1. Zbiór liczb, zaznaczony na osi liczbowej spełnia warunek: $x⩽3$.
   Największą liczbą całkowitą należącą do tego zbioru jest $3$.
   Nie istnieje najmniejsza liczba całkowita należąca do tego zbioru.

2. Zbiór liczb, zaznaczony na osi liczbowej jest opisany za pomocą zbioru: $x>-\sqrt{2}$.
   Ponieważ $\sqrt{2}\approx 1,41$, zatem najmniejszą liczbą całkowitą należącą do tego zbioru jest $\left(-1\right)$.
   Nie istnieje największa liczba całkowita należąca do tego zbioru.

3. Zbiór liczb, zaznaczony na osi liczbowej spełnia warunek: $x⩽\sqrt{5}$.
   Ponieważ $\sqrt{5}\approx 2,24$, zatem największą liczbą całkowitą należącą do tego zbioru jest $2$.
   Nie istnieje najmniejsza liczba całkowita należąca do tego zbioru.

4. Zbiór liczb, zaznaczony na osi liczbowej spełnia warunek: $x>\sqrt{3}$.
   Ponieważ $\sqrt{3}\approx 1,73$, zatem najmniejszą liczbą całkowitą należącą do tego zbioru jest $2$.
   Nie istnieje największa liczba całkowita należąca do tego zbioru.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 7

Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb, które spełniają jednocześnie warunki: $x⩾-5$ oraz $x<5$, a następnie podaj:

1. wszystkie liczby naturalne, które spełniają jednocześnie podane warunki,

2. wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie podane warunki.

R1YnOxapK8H5U

(Uzupełnij) .

Pokaż podpowiedź

W podpunkcie 1. wystarczy podać liczby naturalne, które są mniejsze od $5$.

W podpunkcie 2. skorzystaj z tego, że każda liczba naturalna jest też liczbą całkowitą.

Pokaż rozwiązanie

Zapis $x⩾-5$ oznacza zbiór wszystkich liczb $x$ większych lub równych $\left(-5\right)$.

Zapisz $x<5$ oznacza zbiór wszystkich liczb $x$ mniejszych od $5$.

Zatem zbiór tych liczb na osi liczbowej przedstawia się następująco:

R1JFhtQnhCyJS

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt -5 zamalowanym kółkiem oraz punkt 5 niezamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się jednocześnie na prawo od liczby -5 i na lewo od liczby pięć.

1. Liczby naturalne, które spełniają jednocześnie oba warunki: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$

2. Liczby całkowite, które spełniają jednocześnie oba warunki: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$.

Ćwiczenie 8

Na osi liczbowej przedstawiono liczby opisane za pomocą pewnego warunku.

RgwC4QDk6QIJL

Ilustracja przedstawia oś liczbową ze zwrotem skierowanym w prawą stronę. Na osi zaznaczono punkt $4\frac{1}{2}$ zamalowanym kółkiem. Zaznaczone zostały również wszystkie liczby znajdujące się na lewo od liczby $4\frac{1}{2}$.

Podaj:

1. liczby przeciwne do wszystkich liczb naturalnych, które należą do tego zbioru,

2. liczby odwrotne do pięciu największych liczb całkowitych ujemnych, które należą do tego zbioru.

RrsxIEVpqEmm4

(Uzupełnij) .

Pokaż podpowiedź

Liczby przeciwne to takie liczby, których suma jest równa $0$. Iloczyn liczb odwrotnych jest równy $1$.

Pokaż rozwiązanie

Liczby zaznaczone na osi liczbowej spełniają warunek: $x⩽4\frac{1}{2}$.

1. Liczby naturalne, które należą do tego zbioru to: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$. Liczby przeciwne do tych liczb naturalnych wynoszą odpowiednio: $0$, $-1$, $-2$, $-3$, $-4$.

2. Pięć największych liczb całkowitych ujemnych, które należą do tego zbioru, to: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.

Liczby odwrotne do wymienionych liczb wynoszą odpowiednio: $-\frac{1}{5}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, -1$.

Słownik

Bibliografia

Cewe A., Nahorska H., Krawczyk M., Magryś‑Walczak A., (2017), Matematyka. Zamiast korepetycji z matematyki. Zbiór zadań otwartych i zamkniętych z matematyki dla klas $7$ i $8$, Gdańsk: Wydawnictwo Podkowa.

Duvnjak E., Kokiernak‑Jurkiewicz E., (2018), Matematyka $8$. Zbiór zadań. Szkoła podstawowa, Warszawa:Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne.

Janowicz J., (2018), Matematyka. Zbiór zadań konkursowych dla klas $7-8$ szkoły podstawowej, Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe.