Związki matematyki i przyrody

Rtiqi6ezek7LU

Od tysięcy lat ludzie obserwują przyrodę i usiłują opisać ją za pomocą formuł matematycznych. Przyroda również dostarcza matematykom inspiracji do definiowania nowych pojęć i zależności. Wiele działów matematyki rozwinęło się w wyniku opisywania zjawisk astronomicznych, chemicznych czy związanych z pogodą.

Matematyka jest ściśle połączona ze światem materialnym, pomaga rozwiązać wiele problemów praktycznych. Jest językiem, którym można opisać świat przyrody.

R17D7igJyryho1

Ilustracja przedstawia fragment rzeźby mężczyzny w średnim wieku. Ukazany jest od klatki piersiowej w górę. Mężczyzna ma długie włosy, brodę i wąsy. Nie posiada ubrania. — Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, domena publiczna.

Szesnastowieczny włoski uczony, astrolog i matematyk Galileusz uważał, że „księga natury pisana jest w matematycznym języku”.

R1XvIVzIFXtBy

Ilustracja przedstawia portret mężczyzny w średnim wieku, z brązowymi krótkimi włosami i długą, siwą brodą. Mężczyzna ubrany jest w średniowieczny strój w jasnych kolorach. — Źródło: dostępny w internecie: Wikipedia.org, domena publiczna.

Jeśli chcesz poznać zastosowanie matematyki w naukach przyrodniczych, zapoznaj się z tym materiałem

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
FilmFilm
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Twoje cele

Rozwiążesz zadania z elementami życia codziennego.
Zastosujesz poznaną wiedzę, rozwiązując zadania matematyczno‑przyrodnicze.
Wykonasz obliczenia z wykorzystaniem ułamków zwykłych i dziesiętnych.
Zamienisz i zastosujesz jednostki długości, masy, temperatury.

Współczesny aparat matematyczny pozwala na opisywanie wielu praw rządzących światem przyrody. Jednak większość wykorzystanych do tego celu wzorów matematycznych jest bardzo skomplikowana. Zatem pokazując związki matematyki i przyrody ograniczymy się do wykorzystania elementarnych pojęć i zależności matematycznych. Będziemy przy tym zamieniać i posługiwać się jednostkami miar, które odgrywają dużą rolę w naukach przyrodniczych. Ułatwiają bowiem komunikację uzyskanych informacji. Jednostki będziemy zapisywać w układzie SIUkład SIukładzie SI.

Układ SIUkład SIUkład SI to Międzynarodowy Układ Jednostek Miar, stworzony w oparciu o metryczny system miar. W Polsce obowiązuje od $1966$ r.

Na początek kilka ciekawostek o ludziach i zwierzętach.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono długość tułowia i długość ogonów niektórych zwierząt.

Zwierzę	Długość tułowia	Długość ogona
Bażant	$50 cm$	$30 cm$
Jaszczurka długoogonowa	$8 cm$	$25 cm$
Piżmak	$25 cm$	$20 cm$
Kretnik pacyficzny	$16 cm$	$4 cm$

Ustalimy, u którego z tych zwierząt stosunek długości ogona do długości tułowia jest największy, a u którego najmniejszy.
W tym celu dzielimy w każdym przypadku długość ogona zwierzęcia przez długość jego tułowia.
Bażant: $\frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0, 6$
Jaszczurka długoogonowa: $\frac{25}{8} = 3, 125$
Piżmak: $\frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0, 8$
Kretnik pacyficzny: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0, 25$

Odpowiedź:
Stosunek długości ogona do długości tułowia jest największy u jaszczurki długoogonowej – ogon jest ponad trzykrotnie dłuższy od tułowia. Najkrótszy ogon ma kretnik pacyficzny – stosunek długości ogona do długości tułowia u tego zwierzęcia wynosi bowiem zaledwie $0, 25$ .

W następnym przykładzie będziemy wykonywać obliczenia z zamianą i zastosowaniem jednostek długości. Przyda się nam więc wiedza dotycząca zależności między takimi jednostkami.

$1 cm = 10 mm$ ; $1 mm = 0, 1 cm$

$1 m = 100 cm = 1000 mm$ ; $1 cm = 0, 01 m$

Przykład 2

Ewa zapuszcza włosy, które przyrastają o $0, 32 mm$ dziennie.

a) O ile centymetrów dłuższe włosy będzie miała Ewa po miesiącu ( $30$ dni)?
b) Po ilu dniach włosy Ewy będą dłuższe o $12 cm$ ?
c) Czy po $10$ latach włosy Ewy będą dłuższe o co najmniej metr?

a) Po upływie jednego dnia włosy Ewy są dłuższe o $0, 32 mm$ , to po upływie $30$ dni będą dłuższe o

0, 32 mm \cdot 30 = 9, 6 mm \approx 1 cm

b) Aby obliczyć, po ilu dniach włosy Ewy będą dłuższe o $12 cm$ , zamieniamy najpierw centymetry na milimetry, a następnie wykonujemy dzielenie.
$12 cm = 120 mm$
$120 mm : 0, 32 mm = 375$
c) Przyjmijmy, że każdy rok ma $365$ dni. Wtedy dziesięć lat to
$365 \cdot 10 = 3650$ dni.
Zatem po $3650$ dniach włosy Ewy będą dłuższe o
$3650 \cdot 0, 32 = 1168$ milimetrów.
$1168 mm = 1, 168 m > 1 m$
Odpowiedź:
Po miesiącu włosy Ewy będą dłuższe prawie o $1 cm$ , po $375$ dniach będą dłuższe o $12 cm$ , a po dziesięciu latach będą dłuższe więcej niż o metr.

Okazuje się, że wiele zwierząt ma temperaturę ciała wyższą od normalnej temperatury ciała człowieka. O ile stopni Celsjusza dowiesz się, analizując kolejny przykład.

Przykład 3

W tabelce zapisano temperaturę ciała kilku zwierząt pani Aldony.

Zwierzę	Temperatura ciała w stopniach Celsjusza
Koń	$37, 8$
Świnia	$39$
Kot	$39$
Kura	$41$
Kaczka	$42$
Królik	$38$

Pies pani Aldony ma temperaturę ciała o tyle wyższą od temperatury ciała królika, o ile ma niższą od temperatury ciała kota.

Średnia temperatur ciała cielęcia i konia jest równa temperaturze ciała psa. Obliczymy, jaką temperaturę ciała ma cielę pani Aldony.

Oznaczmy przez $x$ – różnicę między temperaturą ciała (w stopniach Celsjusza) psa pani Aldony a temperaturą ciała królika.

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.
$x + 38 = 39 - x$
$x + 38 = 39 - x + x - 38$

x + x + 38 - 38 = 39 - x + x - 38

$2 x = 1 : 2$

x = 0, 5

Obliczamy temperaturę ciała psa:
$38 + 0, 5 = 38, 5 (° C)$
Oznaczmy przez $y$ temperaturę ciała (w stopniach Celsjusza) cielęcia pani Aldony. Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

\frac{y + 37, 8}{2} = 38, 5

$\frac{y + 37, 8}{2} = 38, 5 \cdot 2$
$y + 37, 8 = 77 - 37, 8$

y = 77 - 37, 8

$y = 39, 2 ° C$

Odpowiedź:
Temperatura ciała psa pani Aldony wynosi $38, 5 ° C$ , a temperatura ciała cielęcia $39, 2 ° C$ .

Przykład 4

Gęstość drewna to stosunek jego masy do objętości.
$g = \frac{m}{V}$ ,
gdzie:
$g$ – gęstość w $\frac{kg}{m^{3}}$ ,
$m$ – masa w $kg$ ,
$V$ – objętość w $m^{3}$ .
W tabeli przedstawiono dane na temat gęstości kilku gatunków drewna.

Gatunek	Gęstość w $\frac{kg}{m^{3}}$
Sosna	$550$
Brzoza	$660$
Wiśnia	$630$
Dąb	$680$
Akacja	$830$
Buk	$730$

Panowie Lichocik i Kocik chcą wyłożyć swoje tarasy drewnianymi deskami o wymiarach $2 m x 15 cm x 20 mm$ . W tym celu każdy z nich zamówił $180$ takich desek. Pan Lichocik zamówił deski bukowe, a pan Kocik – sosnowe. Do przewiezienia tych desek każdy z panów może wynająć samochód o ładowności $0, 5 t$ , $1 t$ lub $1, 5 t$ .
Który z tych samochodów powinien wynająć pan Lichocik, a który pan Kocik?

Obliczymy najpierw masę jednej deski, jako iloczyn objętości tej deski przez jej gęstość. Deska ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $2 m x 15 cm x 20 mm$ . Aby obliczyć jej objętość, zapiszemy wymiary deski w metrach.

$15 cm = 0, 15 m$
$20 m m = 0, 02 m$
$V = 2 \cdot 0, 15 \cdot 0, 02 = 0, 006 (m^{3})$

Teraz wyznaczamy masę deski bukowej i masę wszystkich desek bukowych zakupionych przez pana Lichocika.
$m = 0, 006 \cdot 730 = 4, 38 (kg)$
$4, 38 \cdot 180 = 788, 4 (kg)$
Wyznaczamy masę deski sosnowej i masę wszystkich desek.
$m = 0, 006 \cdot 550 = 3, 3 (kg)$
$3, 3 \cdot 180 = 594 (kg)$

Odpowiedź:
Zarówno pan Lichocik, jak i pan Kocik powinien wynająć samochód o ładowności $1 t$ .

Napój izotoniczny to specjalny płyn, który ma na celu uzupełnienie wody i minerałów w organizmie sportowca, których pozbywa się organizm podczas intensywnego treningu.

Przykład 5

Składniki napoju izotonicznego dla $2$ osób.
$500 ml$ wody
Łyżka miodu – $25 g$
$5$ łyżek soku z cytryny – $30 g$
Szczypta soli – $0, 6 g$

Ustalimy, jaka będzie masa poszczególnych składników do przygotowania napoju izotonicznego dla grupy sportowców składającej się z $15$ osób.

Możemy przyjąć, że litr wody w temperaturze pokojowej ma masę $1 kg$ .

Zatem $500 ml$ wody ma masę $0, 5 kg$ .

Obliczymy najpierw masę składników potrzebnych do przygotowania napoju dla jednej osoby, a następnie dla piętnastu.

Składnik	Masa (w $kg$ ) składnika potrzebna dla $2$ osób	Masa (w $kg$ ) składnika potrzebna dla $1$ osoby	Masa (w $kg$ ) składnika potrzeba dla $15$ osób
Woda	$0, 5$	$0, 25$	$0, 25 \cdot 15 = 3, 75$
Miód	$0, 025$	$0, 0125$	$0, 0125 \cdot 15 = 0, 1875$
Sok z cytryny	$0, 030$	$0, 015$	$0, 015 \cdot 15 = 0, 225$
Sól	$0, 0006$	$0, 0003$	$0, 0003 \cdot 15 = 0, 0045$

Notatki

RboJTX6BMWFWV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Film

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem pokazującym związki matematyki i przyrody.

A następnie podaj własny przykład zastosowania matematyki w przyrodzie nieożywionej.

RPPmU3aORyRvc

RbM6aQcMsUgSB

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 2

Poszukaj w dostępnych ci źródłach informacji przynajmniej $3$ wiadomości dotyczących kuli ziemskiej i zapisz je za pomocą liczb.

R1HxijmPfLhlR

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Na przykład promień kuli ziemskiej wynosi ok. $6371 km$ , długość równika ok. $40075 km$ , odległość między Ziemią a Słońcem ok. $150000000 km$ .

Polecenie 3

Motorówka w dół rzeki płynie z prędkością $16 \frac{km}{h}$ , a w górę rzeki z prędkością $8 \frac{km}{h}$ . Oblicz prędkość prądu rzeki.

R44j4jC45WMVI

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Oznaczmy:
$v \frac{km}{h}$ – prędkość prądu rzeki.

2 v = 16 - 8

2 v = 8

v = 4

Odpowiedź:
Prędkość prądu rzeki jest równa $4 \frac{km}{h}$ .

Polecenie 4

Duża dynia waży $\frac{10}{11}$ tego, co waży i jeszcze $\frac{10}{11} kg$ . Oblicz, ile waży dynia.

RLvS34p1MlXWS

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$\frac{10}{11} kg$ to $1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$ całej wagi dyni.

Ponieważ $1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$ , stąd $\frac{10}{11} kg$ to $\frac{1}{11}$ całej wagi dyni. Cała dynia waży więc $11$ razy więcej, czyli $\frac{10}{11} \cdot 11 = 10 (kg)$ .

Sprawdzenie:

$\frac{10}{11} \cdot 10 + \frac{10}{11} = \frac{100 + 10}{11} = \frac{110}{11} = 10$ .

Dynia waży $10 k g .$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RLUX4LyZAYfEH

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1EeS2ixl1ssD

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1773FyTICZL4

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RHlhp3EPEyjtq

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1NGDvZ5zpE5L

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RvmtVUSBpA7SF

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Dynia waży $\frac{3}{4}$ swojej wagi i jeszcze $1, 5$ kilograma. Ile waży dynia?

RoMZSkjExklbu

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważ, że $\frac{1}{4}$ wagi dyni to $1, 5 kg$ .

Jeśli wagę dyni oznaczymy przez $x kg$ , to $x - \frac{3}{4} x = \frac{1}{4} x$ .
Mamy więc znaleźć liczbę, której $\frac{1}{4}$ jest równa $1, 5$ .
$\frac{1}{4} x = 1, 5 : \frac{1}{4}$ .

x = 4 \cdot 1, 5 = 6

Dynia waży $6 kg$ .

Ćwiczenie 8

Pęd jednego z gatunków bambusa wydłuża się nawet o $14, 4 cm$ w ciągu doby.

O ile milimetrów będzie wyższy pęd tego bambusa po godzinie?
O ile metrów będzie wyższy pęd takiego bambusa po upływie tygodnia?
Po ilu dniach pęd tego bambusa osiągnie wysokość ponad $10 m$ ?

R1USseb8PTxDy

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Podziel najpierw $14, 4$ przez $24$ .
Pomnóż najpierw $14, 4$ przez $7$ .
$10 m = 1000 cm$ .

$14, 4 : 24 = 0, 6$ ,
$0, 6 cm = 6 mm$ .
Odpowiedź:
Pęd będzie wyższy o $6 mm$ .
$14, 4 \cdot 7 = 100, 8$ ,
$100, 8 cm \approx 1 m$ .
Odpowiedź:
Po upływie tygodnia pęd będzie wyższy o około $1 m$ .
$10 m = 1000 cm$ ,
$1000 : 14, 4 = 69, 444 \dots$
Odpowiedź:
Pęd osiągnie wysokość $10 m$ po $70$ dniach.

Słownik

Układ SI

to Międzynarodowy Układ Jednostek Miar, stworzony w oparciu o metryczny system miar.

Bibliografia

Schiff J., (2022), Matematyczny wszechświat, Wydawnictwo Naukowe PWN.