Co to jest dziedzina funkcji? - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z przypadkami, w których należy dokładnie ustalić, dla jakich argumentów określamy funkcję. Taką czynność nazywamy wyznaczaniem dziedziny funkcji.

Przykład 1

Rozważmy pole $P$ kwadratu jako funkcję długości jego boku $x$ . Funkcję tę zapisujemy wzorem $P (x) = x^{2}$ .

Do wzoru funkcji $P$ można podstawiać dowolną liczbę rzeczywistą $x$ , jednak dziedziną tej funkcji nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, tylko zbiór liczb dodatnich, bo tylko takie liczby mogą być długościami boków.

Z warunków zadania wynika, że dziedziną $D_{P}$ funkcji $P$ jest zbiór wszystkich liczb dodatnich.

RTMy3ssHrorpu1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

W trójkącie $A B C$ dane są długości boków $|A C| = 7$ i $|B C| = 8$ . Oznaczmy $|A B| = c$ . Funkcja $L$ przyporządkowuje długości boku $c$ obwód trójkąta $A B C$ . Wówczas $L (c) = 7 + 8 + c = 15 + c$ , przy czym funkcja $L$ jest określona dla tych $c$ , dla których istnieje trójkąt $A B C$ .

Z nierówności trójkąta wiemy, że odcinki o długościach $7$ , $8$ , $c$ są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
$c > 0$ , $c + 7 > 8$ , $7 + 8 > c$ oraz $c + 8 > 7$ .

Stąd $c > 1$ i $c < 15$ . A zatem dziedziną $D_{L}$ funkcji $L$ jest przedział $(1, 15)$ .

RLXdJzuoQSEuM1

Przykład 3

Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $24$ . Jeżeli przez $a$ oznaczymy długość jednego z boków takiego prostokąta, to sąsiedni bok ma długość $12 - a$ , zatem pole $P$ prostokąta wyraża się wzorem $P (a) = a (12 - a) = - a^{2} + 12 a$ . Taki prostokąt istnieje, gdy $a > 0$ i $12 - a > 0$ . Wobec tego dziedziną $D$ funkcji $P$ jest przedział $(0, 12)$ .

RWpTbXmCZatSl1

Przykład 4

Rozważmy wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ , których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu. Zapiszemy liczbę $y$ w zależności od $x$ .

Warunki zadania zapisujemy w postaci $x > 0$ i $y > 0$ i $x y = 2 (x + y)$ .

Z równości $x y = 2 (x + y)$ wyznaczamy $y$

x y - 2 y = 2 x

y (x - 2) = 2 x

Zauważmy, że dla $x = 2$ otrzymujemy równość sprzeczną $0 = 4$ . A zatem dla $x \neq 2$ mamy $y = \frac{2 x}{x - 2}$ . Wynika z tego, że liczba dodatnia $y$ jest ilorazem liczby dodatniej $2 x$ i liczby $x - 2$ , więc $x - 2 > 0$ , czyli $x > 2$ .

Zatem funkcję $y$ zapisujemy wzorem

y (x) = \frac{2 x}{x - 2}

a dziedziną $D$ tej funkcji jest przedział

(2, + \infty)

RRPF69ACyj0Dv1

Ćwiczenie 1

Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $x$ i $y$ , których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu.

R1LN2Ge9NV9R0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wiemy, że $y = \frac{2 x}{x - 2}$ przy czym $x > 2$ .

Zauważmy, że $2 x - 4 = 2 (x - 2)$ , co znaczy, że $y = \frac{(2 x - 4) + 4}{x - 2} = \frac{2 (x - 2) + 4}{x - 2} = 2 + \frac{4}{x - 2}$ . Ponieważ $y$ jest liczbą całkowitą, to $y - 2 = \frac{4}{x - 2}$ jest również liczbą całkowitą. Wynika z tego, że $x - 2$ jest całkowitym dodatnim dzielnikiem liczby $4$ . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy $x - 2 = 1$ (wtedy $y - 2 = 4$ ) lub $x - 2 = 2$ (wtedy $y - 2 = 2$ ) lub $x - 2 = 4$ (wtedy $y - 2 = 1$ ).

A zatem są trzy pary dodatnich liczb całkowitych, których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu

\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 6 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \end{cases}

oraz

\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 3 \end{cases}

Przykład 5

Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości $5$ . Na przyprostokątnych takiego trójkąta zbudujemy kwadraty o polach $x$ i $y$ . Wyznaczymy długość boku kwadratu o polu $y$ w zależności od $x$ .

Wiemy, że $x > 0$ i $y > 0$ . Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $x + y = 5^{2}$ , czyli $y = 25 - x$ .

Zatem długość $d$ boku kwadratu o polu $y$ jest funkcją zmiennej $x$ , postaci $d (x) = \sqrt{25 - x}$ , a dziedziną $D_{d}$ tej funkcji jest przedział $(0, 25)$ .

Rx1J841xHLgKQ1

Przykład 6

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $16$ . Wyznaczymy objętość $V$ takiego graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi jego podstawy.

Oznaczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa przez $b$ . Z warunków zadania mamy $a > 0$ i $b > 0$ oraz $8 a + 4 b = 16$ , skąd $b = 4 - 2 a$ , zatem $a < 2$ .
Wobec tego objętość $V$ graniastosłupa jest funkcją zmiennej $a$ postaci

V (a) = a^{2} (4 - 2 a) = - 2 a^{3} + 4 a^{2}

a dziedziną funkcji $V$ jest przedział $(0, 2)$ .

R11S1mnp62L7j1

Przykład 7

Rozważmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa $15$ , a cyfrą dziesiątek jest $x$ . Zapiszemy taką liczbę dwucyfrową wzorem zależnym od $x$ .

Z warunków zadania wynika, że cyfrą jedności takiej liczby jest $15 - x$ , a tą liczbą dwucyfrową jest $10 x + (15 - x)$ .

Zauważmy, że powyższy wzór określa liczbę dwucyfrową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

cyfra dziesiątek: $x$ jest jedną z liczb: $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ ,
cyfra jedności: $15 - x$ jest jedną z liczb: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .

Wobec tego $x$ należy do zbioru $\{6, 7, 8, 9\}$ .
Zapisując tę liczbę dwucyfrową jako funkcję $f$ zmiennej $x$ , otrzymujemy

f (x) = 10 x + (15 - x) = 9 x + 15

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór czteroelementowy $\{6, 7, 8, 9\}$ .

R1CJntPGifTpU1

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do osiemnastu i pionową osią Y od zera do stu z podziałką co dziesięć. W układzie narysowano wykres funkcji f(x)=9x+15, którego dziedziną jest zbiór składający się z liczb 6, 7, 8 i dziewięć. Wykres składa się z czterech punktów o współrzędnych (6, 69), (7, 78), (8, 87), (9, 96). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.