Punkty o współrzędnych wymiernych - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są informacje na temat punktów o współrzędnych wymiernych. Analizując zawarte tu przykłady, poznasz interpretację geometryczną takich punktów.

Ciekawostka

Odpowiednikiem układu współrzędnych na płaszczyźnie jest układ współrzędnych w przestrzeni. Za jego pomocą można opisać na przykład ruch samolotu.

Ciekawostka

Układ współrzędnych w przestrzeni składa się z trzech wzajemnie prostopadłych osi liczbowych $X$ , $Y$ , $Z$ . Położenie punktu w przestrzeni określa trójka liczb $(x, y, z)$ .

Zbiory punktów w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych można zaznaczać nie tylko poszczególne punkty, ale zbiory punktów, tworzące proste czy półpłaszczyzny.

Przykład 1

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których obie współrzędne są sobie równe.

W których ćwiartkach układu współrzędnych leżą te punkty? Jaką figurę otrzymasz, gdy połączysz te punkty?

R1D06FBB40qqb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R19NJVgYcXF051

Przykład 3

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których druga współrzędna jest połową pierwszej współrzędnej. Połącz te punkty. Jaką figurę utworzyły? Jak opisać zależność między współrzędnymi tych punktów?

R1BXuDqkUPEue11

Punkty, których druga współrzędna jest połową pierwszej współrzędnej, leżą na prostej. Są to wszystkie punkty $P = (x, y)$ takie, że $y = \frac{1}{2} x$ i $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Przykład 4

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów, których druga współrzędna jest przynajmniej dwa razy większa od pierwszej. W których ćwiartkach układu współrzędnych mogą się znaleźć takie punkty?
Jaką figurę tworzą?

RzhlrcMU6LIv51

Takie punkty mogą się znaleźć tylko w pierwszej, drugiej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wszystkie takie punkty tworzą półpłaszczyznę.

Przykład 5

Zaznaczymy w układzie współrzędnych trzy punkty o współrzędnych $(x, x + 3)$ , gdzie $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zapis $(x, x + 3)$ oznacza, że pierwsza współrzędna punktu jest dowolna, a druga jest o $3$ większa od pierwszej.

Jeśli pierwsza współrzędna punktu $A$ będzie równa $1$ , to druga jest równa $1 + 3 = 4$ .
Zapisujemy: $x = 1$ , $y = 1 + 3 = 4$ . Wtedy $A = (1, 4)$ .
Jeśli pierwsza współrzędna punktu $B$ będzie równa $- 1$ , to druga jest równa $- 1 + 3 = 2$ .
Zapisujemy $x = - 1$ , $y = - 1 + 3 = 2$ . Wtedy $B = (- 1, 2)$ .
Jeśli pierwsza współrzędna punktu $C$ będzie równa $- 3$ , to druga jest równa $- 3 + 3 = 0$ .
Zapisujemy $x = - 3$ , $y = - 3 + 3 = 0$ . Wtedy $C = (- 3, 0)$ .

R179EFyWtpm1b1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(1, 4), B =(-1, 2) i C =(-3, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

RAlnuEzBunqMR

Na rysunku widzimy układ współrzędnych z zaznaczonymi następującymi punktami: A=2, 3, B=2, 2, C=5, 2, D=3, 0, E=0, 1, F=-2, 2, G=-2, 0, H=-1, -1, I=0, -1, J=2, -2, K=4, -2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRmlvUEOXAHnx

Wykorzystaj powyższe informacje i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie nazwy punktów lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Punkty o równych pierwszych współrzędnych: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty o równych drugich współrzędnych: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty, których współrzędnych są liczbami przeciwnymi: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Punkty, których pierwsza współrzędna jest równa

- 2

: 1.

B

H

, 2.

F

G

, 3.

E

I

, 4.

J

K

, 5.

C

D

, 6.

F

J

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Odszyfruj sentencję, którą przypisuje się francuskiemu filozofowi Kartezjuszowi.
$(1, 3)$ , $(4, 4)$ , $(2, 3)$ , $(3, 1)$ , $(5, 4)$ , $(4, 4)$ , $(2, 1)$ , $(5, 2)$ , $(2, 3)$ , $(4, 4)$ , $(5, 3)$ , $(6, 1)$ ,
$(4, 2)$ .

Rfo4GYxUcjEH21

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(1, 1), B =(1, 2), C =(1, 3), D =(1, 4), E =(2, 1), F =(2, 2), G =(2, 3), H =(2, 4), I =(3, 1), J =(3, 2), K =(3, 3), L =(3, 4), Ł =(4, 1), M =(4, 2), N =(4, 3), O =(4, 4), P =(5, 1), R =(5, 2), S =(5, 3), T =(5, 4), U =(6, 1), W =(6, 2), Y =(6, 3), Z =(6, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby znaleźć np. punkt $(1, 3)$ na osi $x$ znajdujemy $1$ , a na osi $y$ szukamy $3$ .

Ćwiczenie 3

Zapisz za pomocą wzoru zależność między współrzędnymi punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych.

R14dvDa3gnYxI1

Rysunki dwóch układów współrzędnych. Na pierwszym rysunku zaznaczone punkty o współrzędnych (-4, -1), (-2, -1), (0, -1), (2, -1), (3, -1). Na drugim rysunku zaznaczone punkty o współrzędnych (-3, 3), (-3, 2), (-3, 0), (-3, -1), (-3, -2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7SewlqH9Ztsd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfdZmqy2baizd2

Ćwiczenie 4

$A (4, 8)$
$B (8, 4)$
$C (- 2, 4)$
$D (- 3, - 6)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Ile punktów, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, należy do wyróżnionego obszaru?

RG3cgnwsERj3v1

Rysunki dwóch układów współrzędnych z zaznaczonymi obszarami. Na pierwszym rysunku zaznaczona nieregularna figura. Na drugim rysunku czworokąt, którego wierzchołki mają współrzędne (-2, 3), (1, -3), (-4, -3) i (-4, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$19$
$25$

R11Vi1pBa60jU

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Umieść podane punkty w odpowiednich miejscach układu współrzędnych. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się największa liczba punktów, a w której najmniejsza?

Zastanów się w których miejscach układu współrzędnych leżą poniższe punkty. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się największa liczba punktów, a w której najmniejsza?

Podane jest $10$ punktów:

A = (2, 3)

B = (3, 2)

C = (0, - 4)

D = (- 4, 0)

E = (- 2, 4)

F = (2, - 4)

G = (4, - 2)

H = (- 4, 2)

I = (- 5, - 5)

J = (5, 5)

RZvXGVyMxPE6p

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rn0fRc7Z86mpH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najwięcej punktów znajduje się w $I$ ćwiartce.

Ćwiczenie 7

Narysuj układ współrzędnych, dobierając odpowiednią jednostkę, i zaznacz w nim punkty:

Zastanów się, w których miejscach w układzie współrzędnych leżą punkty:

$A = (20, 70)$

$B = (- 30, 20)$

$C = (- 40, 0)$

$D = (0, - 20)$

$E = (- 60, - 70)$

$F = (50, - 50)$ .

Wypisz punkty

leżące na osi rzędnych
leżące na osi odciętych
których współrzędne są liczbami przeciwnymi
należące do $I$ , $II$ , $III$ i $IV$ ćwiartki układu współrzędnych

RDOEov31GV8s2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfNA4hhSfANUP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najlepiej przyjąć, że jedna podziałka na osi liczbowej to $10$ .

Pierwsza ćwiartka jest na górze po prawej stronie, tam gdzie obie współrzędne są dodatnie. Druga ćwiartka jest na górze po lewej stronie. Trzecia ćwiartka jest na dole po lewej stronie. Czwarta ćwiartka jest na dole po prawej stronie.

$D$
$C$
$F$
$I$ ćw. $A$ , $II$ ćw. $B$ , $III$ ćw. $E$ , $IV$ ćw. $F$

Ćwiczenie 8

Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt, którego suma współrzędnych jest równa $0$ . Zaznacz jeszcze $7$ takich punktów. Jaka jest zależność między pierwszą a drugą współrzędną każdego z punktów?

RG4dhGyHKSCuU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanów się, czy w układzie współrzędnych są takie punkty, których suma współrzędnych jest równa $0$ . Podaj przykład siedmiu takich punktów. Jaka jest zależność między pierwszą a drugą współrzędną każdego z punktów?

RftMpc69ao4Jl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk1TgDiWpqxCu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 6 oraz z pionową osią Y od minus 4 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczono osiem punktów: A=(-4,4), B=(-3,3), C=(-2,2), D=(-1,1), E=(0,0), F=(1,-1), G=(2,-2) i H=(3,-3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykłady takich punktów to: $A = (- 4, 4)$ , $B = (- 3, 3)$ , $C = (- 2, 2)$ , $D = (- 1, 1)$ , $A = (0, 0)$ , $F = (1, - 1)$ , $G = (2, - 2)$ i $H = (3, - 3)$ .

Pierwsza współrzędna jest liczbą przeciwną do drugiej współrzędnej.

Roxv3IuAfwcnJ2

Ćwiczenie 9

w $I$ lub w $II$ ćwiartce układu współrzędnych
w $II$ lub w $III$ ćwiartce układu współrzędnych
w $II$ lub w $IV$ ćwiartce układu współrzędnych
w $I$ lub w $IV$ ćwiartce układu współrzędnych

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VJIOHpr9I7W2

Ćwiczenie 10

$x = 0, y \neq 0$
$x = 0, y = 0$
$x \neq 0, y \neq 0$
$x \neq 0, y = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxZ5ttccytOfj2

Ćwiczenie 11

Punkt $P = (- 1, 2)$ leży w $III$ ćwiartce układu współrzędnych.
Współrzędne punktu $M = (- 5, 6)$ są liczbami przeciwnymi.
Pierwsza współrzędna punktu $U = (9, 01; - 11)$ jest liczbą dodatnią.
Punkt $F = (0, 5)$ leży na osi $X$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim poniższe punkty.

Zastanów się, w których miejscach w układzie współrzędnych leżą punkty:

$A = (2, 3)$ , $B = (5, 0)$ , $C = (0, - 3)$ , $D = (6, 1)$

$E = (- 4, 4)$ , $F = (- 3, 0)$ , $G = (- 1, - 2)$ , $H = (- 3, - 7)$

$I = (5, - 2)$ , $J = (4, - 4)$ , $K = (2, - 6)$ , $L = (0, 0)$ .

RcV71bgBngCb9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Zaznacz w układzie współrzędnych punkt $A = (x, y)$ taki, że

Zastanów się jakie współrzędne ma punkt $A = (x, y)$ taki, że

$x = 3$ , $y = x - 2$
$x = - 2$ , $y = x - 1$
$x = 1$ , $y = 2 x$
$x = y$ , $y = - 3$

R1UFMKrZUwg3n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw w miejsce $x$ lub $y$ podaną liczbę.

RkfCaazbn1vkW

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi czterema punktami. Punkt A1 ma współrzędne 3, 1, punkt A2 ma współrzędne -2, -3, punkt A3 ma współrzędne 1, 2, punkt A4 ma współrzędne -3, -3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $A_{1}$ ma współrzędne $(3, 1)$ , punkt $A_{2}$ ma współrzędne $(- 2, - 3)$ , punkt $A_{3}$ ma współrzędne $(1, 2)$ , punkt $A_{4}$ ma współrzędne $(- 3, - 3)$ .

R19CNyPSgWo9J

Ćwiczenie 14

Zaznacz w układzie współrzędnych $5$ punktów spełniających podany warunek. Na jakiej prostej leżą wszystkie te punkty?

Podaj współrzędne pięciu punktów spełniających podany warunek. Na jakiej prostej leżą wszystkie te punkty?

Pierwsza współrzędna jest dwukrotnie większa od drugiej.
Druga współrzędna jest równa $4$ .
Pierwsza współrzędna jest równa $- 3$ .

RBKFenEaspGKi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO3o7LEQIXBPt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkty leżą na prostej $y = 2 x$ .
RagXD93gLpLq0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Punkty leżą na prostej $y = 4$ .
RaIbO1yDgjofm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Punkty leżą prostej $x = (- 3)$ .
R14eGyh3GK46s
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTCKtOE0YLn202

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROUEitarrEGL32

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów $(x, y)$ , których współrzędne spełniają podany warunek.

$- 2 ⩽ x ⩽ 3$ i $0 ⩽ y ⩽ 4$
$- 0, 5 ⩽ x ⩽ 3, 5$ i $- 1, 5 ⩽ y ⩽ 5, 5$

R1bJ5jFK8aVbh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OU7C0fGtPUj2

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

RW317Mqlg4D451

Rysunki czterech układów współrzędnych: Na pierwszym zaznaczone punkty leżące powyżej prostej równoległej do osi OX i przecinającej oś OY w punkcie (0, 1) wraz z tą prostą. Na drugim zaznaczone punkty leżące po lewej stronie prostej równoległej do osi OY i przecinającej oś OX w punkcie (3, 0) wraz z tą prostą. Na trzecim zaznaczone punkty leżące wewnątrz kwadratu, którego wierzchołki mają współrzędne (2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2) wraz z tym kwadratem. Na czwartym zaznaczone punkty leżące wewnątrz kąta, którego wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych (0, 1). Jedno ramię pokrywa się z prostą OY i przechodzi przez punkt (0, 3). Drugie ramię kąta przechodzi przez punkt o współrzędnych (4, 3). Zaznaczony obszar obejmuje wnętrze kąta wraz z jego wierzchołkiem i ramionami. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ret12m4BWKngu

Zapisz warunek, jaki muszą spełniać współrzędne punktów należących do zaznaczonego obszaru. a) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

b) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

c) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

d) Możliwe odpowiedzi: 1.

y ⩾ 1

, 2.

x ⩾ 0

y ⩾ \frac{1}{2} x + 1

, 3.

x ⩽ 3

, 4.

- 2 ⩽ x ⩽ 2

- 2 ⩽ y ⩽ 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Wyznacz współrzędne $3$ punktów znajdujących się na odcinku $A B$ , gdzie $A = (- 4, 4)$ , $B = (3, - 3)$ .

R1LtmfuH2X33Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1K6dCcMdoJqh

Zaznacz podane punkty w układzie współrzędnych, następnie narysuj odcinek $A B$ . Wyznacz współrzędne tych punktów, które leżą na otrzymanym odcinku.

Zastanów się jak wygląda odcinek $A B$ w układzie współrzędnych i na jakiej prostej on leży. Wyznacz współrzędne tych punktów, które leżą na tym odcinku.

Na przykład $C = (- 2, 2)$ , $D = (- 1, 1)$ , $E = (2, - 2)$ .

R1GOZ1sMq1VCZ3

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.