Pojęcia, definicje i twierdzenia związane z trójkątem, funkcją, potęgami, pierwiastkami, proporcjonalnością prostą i kątami przy dwóch prostych

W tym materiale przypomnisz sobie pewne pojęcia, definicje i twierdzenia związane z liczbami rzeczywistymi, kątami, planimetrią, funkcjami oraz proporcjonalnością.

Liczby rzeczywiste

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ i dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ prawdziwe są równości:

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ (wzór na potęgę potęgi)

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość:

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

R1Z1tjwk482bF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

R1HUeWq4VRmFi

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

RDBoa22Rshi5M

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość:

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

RGkqhPYvk1uXR

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}

RS6b7c3hacr1S

Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Definicja: Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby naturalnej $n$ większej od $1$ przyjmujemy

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} .

Działania na pierwiastkach

Twierdzenie: Działania na pierwiastkach

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami nieujemnymi, $n$ i $m$ są liczbami naturalnymi większymi od $1$ , $k$ jest dodatnią liczbą naturalną, to

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , $b \neq 0$
${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$
${(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}$
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n ∙ m]{a}$

Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby $n$ i $m$ (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twierdzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych ( $a$ lub $b$ ) .

zaokrąglania liczb

Reguła: zaokrąglania liczb

Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dziesiątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi znaczącymi postępujemy następująco:

gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od $5$ , to wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,
gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa $5$ , a ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od $9$ , to tę cyfrę zwiększamy o $1$ , a wszystkie poprzednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą znaczącą jest $9$ , to zamiast niej piszemy cyfrę $0$ i tę samą procedurę stosujemy do poprzednich cyfr znaczących.

Kąty

Kąty naprzemianległe i odpowiadające

Definicja: Kąty naprzemianległe i odpowiadające

Kąty: $α$ i $α_{1}$ , $β$ i $β_{1}$ , $γ$ i $γ_{1}$ oraz $δ$ i $δ_{1}$ nazywamy kątami odpowiadającymi.
Kąty $α_{1}$ i $δ$ oraz $β_{1}$ i $γ$ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi.
Kąty $β$ i $γ_{1}$ oraz $α$ i $δ_{1}$ nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
RR2GFxSTk4v9u1
Rysunek dwóch prostych k i l nie równoległych do siebie, które zostały przecięte trzecią prostą c. Prosta c przecina się z prostą k pod kątem delta z indeksem dolnym jeden. Kolejne trzy pozostałe kąty zaznaczono łukami. Miary tych kątów czytane w przeciwną stronę do ruchów wskazówek zegara mają miarę gamma z indeksem dolnym jeden, alfa z indeksem dolnym jeden i beta z indeksem dolnym jeden. Prosta c przecina prostą l pod kątem delta. Kolejne trzy pozostałe kąty zaznaczono łukami. Miary tych kątów czytane w przeciwną stronę do ruchów wskazówek zegara mają miarę gamma, alfa i beta. Tak powstały kąty odpowiadające i naprzemianległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty przyległe i wierzchołkowe

Definicja: Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.
Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
RM9V4zyh2inVD1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na przykład $α$ i $γ$ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to $α$ i $β$ oraz $γ$ i $δ$ .

o kątach wierzchołkowych

Twierdzenie: o kątach wierzchołkowych

Kąty wierzchołkowe są równe.

Planimetria

Trójkąt

Cechy przystawania trójkątów

Twierdzenie: Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie trójkątów $A B C$ i $D E F$ wynika z każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

cecha przystawania bok‑bok‑bok ( $b b b$ )

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości boków jednego trójkąta są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta.

|A B| = |D E|

|A C| = |D F|

|B C| = |E F|

R10OOd4YU1M5K1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z odpowiadającymi sobie bokami, w następujący sposób AB=DE=a, AC=DF=b oraz BC=EF=c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

cecha przystawania bok‑kąt‑bok ( $b k b$ )

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długości dwóch boków i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie

|A B| = |D E|

|A C| = |D F|

|∢ B A C| = |∢ E D F|

RQN66wXCSVl5D1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z odpowiadającymi sobie bokami, w następujący sposób AB=DE=a, AC=DF=b oraz kątem pomiędzy nimi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

cecha przystawania kąt‑bok‑kąt ( $k b k$ )

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku i miary kątów przyległych do tego boku w jednym trójkącie są odpowiednio równe długości boku i miarom kątów przyległych do tego boku w drugim trójkącie

|A B| = |D E|

|∢ B A C| = |∢ E D F|

|∢ A B C| = |∢ D E F|

Ra3ZpG8qD3HiX1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z odpowiadającym sobie bokiem AB=DE=a oraz kątami między bokami w następujący sposób ∢CAB=∢FDE oraz ∢ABC=∢DEF . — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności podobieństwa

Twierdzenie: Własności podobieństwa

Jeżeli trójkąt $A' B' C'$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali podobieństwa $k$ , to stosunek obwodów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa

\frac{L_{A' B' C'}}{L_{A B C}} = k

\frac{P_{A' B' C'}}{P_{A B C}} = k^{2}

Pitagorasa1

Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

a^{2} + b^{2} = c^{2}

R1TbdsqtzUpOk1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

RASXaEZL08L7n1

Aplet ilustruje twierdzenie Pitagorasa i podzielony jest na sześć etapów.

Etap pierwszy:
Komentarz: Dany jest trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a, poziomej przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej c. Po prawej stronie znajduję się rysunek trójkąta.

Etap drugi:
Komentarz: Zbudujemy kwadrat o boku a plus b, jak na rysunku obok. Pole białego kwadratu jest równe c kwadrat. Rysunek: Po prawej stronie znajduje się wspomniany kwadrat o boku długości a plus b. W środku tego kwadratu znajduje się drugi kwadrat o polu c kwadrat ustawiony pod kątem tak, że każdy jego wierzchołek dzieli bok większego kwadratu na odcinki długości a i b. Kwadrat wewnętrzny ma bok o długości c oparty na przeciwprostokątnej wyjściowego trójkąta. Przestrzeń poza kwadratem o boku długości c w kwadracie o boku a+b składa się z czterech przystających trójkątów prostokątnych o bokach a, b, c.

Etap trzeci:
Komentarz: Przesuń trójkąt znajdujący się w lewym górnym rogu kwadratu wzdłuż przekątnej trójkąta znajdującego się w dolnym lewym rogu kwadratu. Trójkąt ten ma poziomą przyprostokątną a, pionową przyprostokątną b i przeciwprostokątną c. W wyniku przesunięcia trójkąt ten skleja się z trójkątem w prawym dolnym rogu kwadratu, który ma taką samą przekątną, poziomą przyprostokątną a i pionową b. Oba trójkąty utworzyły prostokąt o wymiarach a na b i o przekątnej c.

Etap czwarty:
Komentarz: Przesuń trójkąt znajdujący się w prawym górnym roku kwadratu tak, aby skleić go z trójkątem znajdującym się w lewym dolnym rogu. Rysunek jak poprzednio: Oba trójkąty utworzyły prostokąt o wymiarach a na b z przekątną c. Zatem z dużego kwadratu o boku a plus b wycinamy dwa prostokąty o wymiarach a na b. Pole, które nam pozostaje po wycięciu wynosi c kwadrat. Pole to możemy podzielić na dwa kwadraty.

Etap piąty: Pytanie:
RY184w2WNcxQU
Ćwiczenie 1
Jaką powierzchnię ma wycinana część składająca się z dwóch identycznych prostokątów? Możliwe odpowiedzi: 1. $a^{2}$ , 2. $a^{2}$ , 3. $a^{2} + b^{2}$ , 4. $a b$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Etap szósty:
Ostatecznie otrzymujemy równość: a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

o dwusiecznych kątów trójkąta

Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

R1348jIz8fZoi1

Rysunek trójkąta A B C, którego dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinki łączące środek $S$ okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ z wierzchołkami tego trójkąta podzieliły trójkąt na trzy trójkąty $A B S$ , $B C S$ i $A C S$ .
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ (jak na rysunku).

Ro9Z3ERDdihdA1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b i c. Dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu, o promieniu r wpisanego w ten trójkąt. Odcinki łączące wierzchołki tego trójkąta ze środkiem okręgu wpisanego, dzielą ten trójkąt na trzy trójkąty. W każdym z tych mniejszych trójkątów jedną z wysokości jest promień r okręgu wpisanego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $B C S$ , $A C S$ i $A B S$

P_{A B C} = P_{B C S} + P_{A C S} + P_{A B S} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = \frac{a + b + c}{2} \cdot r

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego boków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ oraz promieniu $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem

P = \frac{a + b + c}{2} r

Gdy oznaczymy $\frac{a + b + c}{2} = p$ , wzór przyjmuje postać $P = p r$ .

o symetralnych boków trójkąta1

Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

REb9WQz2IGoCC1

Rysunek trójkąta A B C, którego symetralne przecinają się w jednym punkcie. Trójkąt jest wpisany w okrąg o środku w punkcie S. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

Rlj5W1FTHSskJ1

Pole trójkąta z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznej

Twierdzenie: Pole trójkąta z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznej

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.

R1Kqt6ItSJ8Za1

Rysunek trójkąta rozwartokątnego A B C o bokach długości BC =a, CA =b i AB=c. Kąt rozwarty A C B ma miarę gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

P_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin γ .

Koło

Wycinek koła

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części tego koła, wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

Ruunp8UFKx7tR1

Rysunek koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie ASC =alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole wycinka

Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie $α$ jest równe

P_{wycinka} = \frac{α}{360 °} \cdot π r^{2}

Trapez

o linii środkowej w trapezie1

Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.

RQYsqFAaZRdRv1

Funkcje

Funkcja

Definicja: Funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ .
Symbolicznie piszemy $f$ : $X \to Y$ . Czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ ”.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy – argumentami funkcji $f$ .
Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ zbioru $Y$ , który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ , co zapisujemy symbolicznie $y = f (x)$ . Zbiór tych elementów $y$ nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Dziedzina

Definicja: Dziedzina

Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy nazywamy dziedziną funkcji.

Miejsce zerowe funkcji

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ nazywamy miejscem zerowym tej funkcji.

Funkcja malejąca

Definicja: Funkcja malejąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a; b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) > f (x_{2}),

to mówimy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

RBkmLRSBoMbOm1

Funkcja rosnąca

Definicja: Funkcja rosnąca

Funkcja $f$ jest określona w przedziale $⟨a; b⟩$ .
Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a, b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) < f (x_{2}),

to mówimy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja stała

Definicja: Funkcja stała

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a; b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) = f (x_{2})

to funkcję $f$ nazywamy stałą w przedziale $⟨a, b⟩$ .

RT0fkAbJhJRZK1

Funkcja monotoniczna przedziałami

Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami

Jeśli dziedzinę danej funkcji można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każdym z nich funkcja ta była monotoniczna, to powiemy, że jest ona monotoniczna przedziałami.

Funkcja niemalejąca

Definicja: Funkcja niemalejąca

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a; b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) \leq f (x_{2})

to mówimy, że funkcja $f$ jest niemalejąca w przedziale $⟨a, b⟩$ .

Funkcja nierosnąca

Definicja: Funkcja nierosnąca

Jeżeli dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ⟨a; b⟩$ takich, że $x_{1} < x_{2}$ spełniony jest warunek:

f (x_{1}) \geq f (x_{2})

To mówimy, że funkcja $f$ jest nierosnąca w przedziale $⟨a, b⟩ .$

Proporcjonalność

Wielkości wprost proporcjonalne

Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz tych wielkości jest stały.

Proporcjonalność prosta

Definicja: Proporcjonalność prosta

Funkcja $f$ , opisująca zależność między dodatnimi wielkościami wprost proporcjonalnymi $x$ i $f (x)$ nazywana jest proporcjonalnością prostą, a iloraz $\frac{f (x)}{x}$ nazywamy współczynnikiem tej proporcjonalności. Oznaczając ten współczynnik przez $a$ , zapisujemy funkcję $f$ wzorem

f (x) = a x

Uwaga: Wprost z definicji wynika, że $a > 0$ .

Wykres funkcji

f (x) = a x

Twierdzenie: Wykres funkcji

f (x) = a x

Wykresem funkcji $f (x) = a x$ , gdzie $a$ to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu $y = a x$ .