Jednostki objętości. Objętość graniastosłupa - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Jednostki objętości. Zamiana jednostek

Przykład 1

RmsncYQwnCpPJ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4CGt7Jt5bVnu1

Objętość sześcianu o krawędzi długości $1$ wynosi $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1^{3} = 1$ . Zatem objętość prostopadłościanu możemy obliczyć jako liczba sześcianów o krawędzi długości $1$ znajdujących się w tym prostopadłościanie.

Przykład 2

RMLVQBHbiTxdS1

Zdjęcie Multimedialnego parku Fontann w Warszawie. Fontanny tryskają wodą na dużą wysokość. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Multimedialny Park Fontann w Warszawie tworzą dwie fontanny, z których tryska prawie $30$ tysięcy litrów wody na minutę.

Dzięki laserom w strumieniach wody oświetlanej kolorowym światłem pojawiają się bajkowe animacje.

Woda tryskająca z fontann w ciągu minuty napełniłaby prostopadłościan o wymiarach $3 m$ i $2 m$ i $5 m$ .

W jaki sposób można to obliczyć?

R1PHOJdx2groo1

Rysunek prostopadłościanu, którego krawędzie podstawy mają długość 3 m i 2 m oraz wysokość równą 5 m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeden litr to $1$ decymetr sześcienny, więc $30000 l = 30000 {dm}^{3}$ .

Zamieniamy teraz ${dm}^{3}$ na $m^{3}$ .

1 dm = 0, 1 m

stąd

{(1 dm)}^{3} = {(0, 1 m)}^{3} = 0, 001 m^{3}

, czyli

30000 {dm}^{3} = 30000 \cdot 0, 001 m^{3} = 30 m^{3}

Obliczamy objętość prostopadłościanu.

V = 3 m \cdot 2 m \cdot 5 m = 30 m^{3}

Najczęściej stosowane jednostki objętości to ${km}^{3}$ , $m^{3}$ , ${dm}^{3}$ , ${cm}^{3}$ .

W wielu przypadkach zachodzi konieczność zamiany jednostek objętości. Korzystamy wtedy z zależności między jednostkami długości.

Przykład 3

RdwjFC078tgAv1

Przykład 4

$1 {km}^{3} = 1 km \cdot 1 km \cdot 1 km = 1000 m \cdot 1000 m \cdot 1000 m =$ $= (10^{3} \cdot 10^{3} \cdot 10^{3}) m^{3} = 10^{9} m^{3}$
$1 m^{3} = 1 m \cdot 1 m \cdot 1 m = 10 dm \cdot 10 dm \cdot 10 dm = 1000 {dm}^{3} = 10^{3} {dm}^{3}$
$1 {dm}^{3} = 1 dm \cdot 1 dm \cdot 1 dm = 10 cm \cdot 10 cm \cdot 10 cm =$ $= 1000 {cm}^{3} = 10^{3} {cm}^{3}$
$1 {cm}^{3} = 1 cm \cdot 1 cm \cdot 1 cm = 10 mm \cdot 10 mm \cdot 10 mm =$ $= 1000 {mm}^{3} = 10^{3} {mm}^{3}$
$1 m^{3} = 10^{3} {dm}^{3} = {(10 dm)}^{3} = (10 \cdot 10 cm)^{3} = 10^{6} {cm}^{3}$

Przykład 5

$600 {cm}^{3} = 600 \cdot 0, 000001 m^{3} = 0, 0006 m^{3}$ ,
$5 {cm}^{3} = 5 \cdot 0, 001 {dm}^{3} = 0, 005 {dm}^{3}$ .

Ilość ciał sypkich lub płynów określa się w jednostkach pojemności: mililitr, litr, hektolitr.

Przykład 6

$1 l = 1 {dm}^{3} = 1 dm \cdot 1 dm \cdot 1 dm = 10 cm \cdot 10 cm \cdot 10 cm = 1000 {cm}^{3}$
$1 ml = 1 {cm}^{3} = 0, 001 l$
$1 hl = 100 l$
$75, 8 l = 75, 8 \cdot 1 l = 75,8 \cdot 0, 01 hl = 0, 758 hl$
$2, 3 hl = 2, 3 \cdot 1 hl = 2, 3 \cdot 100 l = 230 l$

Jednostki objętości	Jednostki pojemności
$1 {mm}^{3}$ $1 {cm}^{3} = 1000 {mm}^{3}$ $1 {dm}^{3} = 1000 {cm}^{3}$ $1 m^{3} = 1000 {dm}^{3}$ $1 {km}^{3} = 1000000000 m^{3}$ $1 {cm}^{3} = 0, 000001 m^{3}$ $1 {dm}^{3} = 0, 001 m^{3}$ $1 m^{3} = 0, 000000001 {km}^{3}$	$1 ml$ $1 l = 1 {dm}^{3}$ $1 hl = 100 l$ $1 l = 0, 01 hl$ $1 ml = 0, 001 l$ $1 m^{3} = 1000 {dm}^{3} = 1000 l$

Objętość graniastosłupa

Ważne!

Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy przez wysokość.

V = P_{p} \cdot H

$V$ – objętość,
$P_{p}$ - pole podstawy,
$H$ - wysokość graniastosłupa.

Obliczając objętość graniastosłupa, należy pamiętać, aby wszystkie jego wymiary wyrażone były w tej samej jednostce.

Przykład 7

Podstawą graniastosłupa jest trapez o wysokości $6 cm$ , którego podstawy mają długości $1, 2 dm$ i $8 cm$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $2 dm$ .

Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

RGBqHFCFN9LJ71

Rysunek graniastosłupa o podstawie trapezu o wysokości 6 cm i podstawach długości 1,2 dm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 2 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy wymiary podstawy i wysokość graniastosłupa w centymetrach.

1, 2 dm = 12 cm

2 dm = 20 cm

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa – pole trapezu.

P_{p} = \frac{1}{2} (12 + 8) \cdot 6

P_{p} = 60 {cm}^{2}

Obliczamy objętość graniastosłupa.

V = P_{p} \cdot H

V = 60 \cdot 20

V = 1200 {cm}^{3}

Odpowiedź:

Objętość graniastosłupa jest równa $1200 {cm}^{3}$ .

Przykład 8

W krajach anglosaskich jedną z miar pojemności jest galon. Galon amerykański to około $3800 {cm}^{3}$ .

Pojemność baku samochodu Bogdana wynosi $72, 2 l$ . Ile kanistrów paliwa o pojemności $1$ galonu trzeba by nalać do baku tego samochodu, aby go napełnić?

Zapisujemy pojemność baku w ${cm}^{3}$ .

72, 2 l = 72, 2 {dm}^{3} = 72200 {cm}^{3}

Obliczamy, ile potrzeba kanistrów paliwa, by wypełnić bak.

72200 : 3800 = 19

Odpowiedź:

Potrzeba $19$ kanistrów paliwa.

Ciekawostka

W światowym przemyśle naftowym jednostką objętości jest baryłka.

$1$ baryłka $= 42$ galony $\approx 160 l$ .

W Europie jednak ilość ropy wyraża się w tonach. Z jednej baryłki ropy otrzymuje się około $20$ galonów benzyny.

R1QHMTgzZzuIZ11

Ćwiczenie 1

Uzupełnij.

a) $5, 79 {dm}^{3} =$ ............ ${cm}^{3}$
b) $98 {mm}^{3} =$ ............ ${cm}^{3}$
c) $2 m^{3} =$ .............. ${cm}^{3}$
d) $0, 00045 {km}^{3} =$ ............ $m^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OU73zWr4Ujl1

Ćwiczenie 2

$45 d m^{3}$
$450 m m^{3}$
$0,0045 m^{3}$
$0,45 hl$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDHmuXgvtnsY811

Ćwiczenie 3

Uzupełnij.

a) $22 {dm}^{3} =$ ............ $l$
b) $7800 {mm}^{3} =$ ............ $l$
c) $658 ml =$ ............ $l$
d) $3, 34 hl =$ ............ $l$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdMPnD0mDnfqA11

Ćwiczenie 4

Uzupełnij.

Litr soku waży $1, 04 kg$ . Zatem $0, 4 {dm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ , $65 {dm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ , natomiast $5600 {cm}^{3}$ soku waży ............ $kg$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKQ0kkJ65RbkL2

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Do akwarium o wymiarach jak na rysunku wrzucono dwie sześcienne kostki o objętości $0, 5 l$ każda. O ile centymetrów podniesie się poziom wody?

R1DTOwMF0iEvw1

Rysunek akwarium w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy równych 5 dm i 6 dm oraz wysokości 4 dm. Zaznaczony poziom wody równy 1 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R118sMSvZRxwf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość kostek

1 l = 1 {dm}^{3} = 5 dm \cdot 6 dm \cdot x dm

czyli

1000 {cm}^{3} = 50 cm \cdot 60 cm \cdot x dm

Woda podniesie się o $x = \frac{1}{3} dm$ .

RyA7VO4LZzoTF2

Ćwiczenie 7

Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego są równe i mają długość

4 cm

. Oblicz objętości graniastosłupów w poniższych przypadkach, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Podstawa jest trójkątem
Odpowiedź:

V =

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

=

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

({cm}^{3})

Podstawa jest czworokątem
Odpowiedź:

V =

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

=

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

({cm}^{3})

Podstawa jest sześciokątem
Odpowiedź:

V =

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

=

\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 2.

64

, 3.

6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4

, 4.

96 \sqrt{3}

, 5.

16 \sqrt{3}

, 6.

4^{3}

({cm}^{3})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Wysokość każdego z graniastosłupów prostych jest równa $10$ . Oblicz ich objętości.

R15x1im9TSOi01

Rysunek trzech graniastosłupów prostych. Graniastosłup A ma w podstawie trójkąt równoboczny o boku równym 5. Graniastosłup B ma w podstawie trapez o podstawach długości 4 i 6 oraz wysokości trapezu równej 5. Graniastosłup C ma w podstawie kwadrat o boku równym 3. Wysokość wszystkich graniastosłupów wynosi 10. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6UPeIoxFVjXz

Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Graniastosłup

A

Odpowiedź:

V =

\frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 250

, 2.

64, 5 \sqrt{3}

, 3.

\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 10

, 4.

62, 5 \sqrt{3}

, 5.

\frac{1}{2} (4 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 200

, 6.

9 \cdot 10 = 80

, 7.

9 \cdot 10 = 90

=

\frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 250

, 2.

64, 5 \sqrt{3}

, 3.

\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 10

, 4.

62, 5 \sqrt{3}

, 5.

\frac{1}{2} (4 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 200

, 6.

9 \cdot 10 = 80

, 7.

9 \cdot 10 = 90

Graniastosłup

B

Odpowiedź:

V =

\frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 250

, 2.

64, 5 \sqrt{3}

, 3.

\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 10

, 4.

62, 5 \sqrt{3}

, 5.

\frac{1}{2} (4 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 200

, 6.

9 \cdot 10 = 80

, 7.

9 \cdot 10 = 90

Graniastosłup

C

Odpowiedź:

V =

\frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 250

, 2.

64, 5 \sqrt{3}

, 3.

\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot 10

, 4.

62, 5 \sqrt{3}

, 5.

\frac{1}{2} (4 + 4) \cdot 5 \cdot 10 = 200

, 6.

9 \cdot 10 = 80

, 7.

9 \cdot 10 = 90

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

W graniastosłupie prostym krawędź boczna ma długość $6$ . Oblicz objętość graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest:

trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości $2$
równoległobok, w którym wysokość jest równa $2$ , a podstawa $3$
trapez prostokątny o wysokości $7$ oraz podstawach długości $6$ i $8$
romb o przekątnych długości $4$ i $8$

R1IPF85ILI14N

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość trójkąta $h = \sqrt{2}$ , pole podstawy jest równe $1$ , stąd objętość jest równa $6$ .
Objętość jest równa $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ .
Objętość jest równa $\frac{(6 + 8) \cdot 7}{2} \cdot 6 = 294$ .
Objętość jest równa $\frac{4 \cdot 8}{2} \cdot 6 = 96$ .

Ćwiczenie 10

Objętość graniastosłupa jest równa $120$ . Oblicz sumę długości jego krawędzi bocznych, wiedząc, że jego podstawą jest:

kwadrat o obwodzie $20$
trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość $6$ , kąt ostry $45 °$ , a ramię ma długość $3 \sqrt{2}$
prostokąt o bokach długości $4$ i $5$
sześciokąt foremny o boku długości $1$

R10nCIxeMevt9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Bok kwadratu ma długość $5$ , pole $25$ . Długość krawędzi $\frac{120}{25} = 4, 8$ .
Z twierdzenia Pitagorasa $2 x^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2}$ , stąd $x = 3$ . Podstawa dolna ma długość $12$ . $V = \frac{(12 + 6)}{2} \cdot 3 \cdot h = 120$ . Stąd $h = \frac{120}{27}$ .
$120 = 4 \cdot 5 \cdot h$ .
Otrzymujemy równanie: $6 \cdot \frac{1 \sqrt{3}}{4} \cdot h = 120$ , stąd $h =$ $\frac{80}{\sqrt{3}}$ .

Suma długości krawędzi bocznych jest równa $4 \cdot 4, 8 = 19, 2$
Suma długości krawędzi bocznych jest równa $\frac{480}{27}$ .
Suma długości krawędzi bocznych jest równa $24$ .
Suma długości krawędzi bocznych jest równa $\frac{480}{\sqrt{3}} = \frac{480 \sqrt{3}}{3} = 160 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 11

R47KzKNdchg8Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Objętość pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $90 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Wysokość ściany bocznej jest równa $10 cm$ . Oblicz sumę długości jego krawędzi.

R1C9d7aIjf0Eq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość pudełka – $10 cm$ , pole podstawy jest równe

\frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} {cm}^{2}

Stąd

90 \sqrt{3} = 10 \cdot \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4}

zatem $x = 6 cm$ .

Suma długości krawędzi jest równa $6 \cdot 6 cm + 3 \cdot 10 cm = 66 cm$ .

RDvFNk03Kx5AH2

Ćwiczenie 13

Pudło ma kształt graniastosłupa, który w podstawie ma trapez o wysokości

120 cm

i długości podstaw

80 cm

30 cm

. Wysokość tego pudła to

40 cm

. Ile litrów wody zmieści się w tym pudle? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: W pudle zmieści się 1.

264

, 2.

268

, 3.

266

, 4.

270

, 5.

262

l

wody.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RwSgMcrBj1t2M

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBfy45ZWvPlqc

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku

5

ma pole powierzchni bocznej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

, pole powierzchni całkowitej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

oraz objętość równą

75

. Graniastosłup prawidłowy, którego podstawą jest sześciokąt o boku

10

i przekątnej ściany bocznej

16

ma pole powierzchni bocznej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

, pole powierzchni całkowitej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

oraz objętość równą 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

. Graniastosłup prosty, którego podstawą jest trapez równoramienny o bokach

20

16

6

6

ma pole powierzchni bocznej równe

96

, pole powierzchni całkowitej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

oraz objętość równą 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

.Graniastosłup prawidłowy, którego podstawą jest czworokąt oraz wszystkie jego krawędzie są równe ma pole powierzchni bocznej równe 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

, pole powierzchni całkowitej równe

150

oraz objętość równą 1.

144 \sqrt{2}

, 2.

125

, 3.

100

, 4.

120 \sqrt{39} + 300 \sqrt{3}

, 5.

96 + 144 \sqrt{2}

, 6.

900 \sqrt{13}

, 7.

72, 5 \sqrt{3}

, 8.

120 \sqrt{39}

, 9.

60 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $24 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Wysokość graniastosłupa ma długość $6 cm$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

RR7RBc5XT8dNE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z równania $24 \sqrt{3} = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3} \cdot 6}{4}$ wyznaczamy długość krawędzi podstawy.

$a = \frac{2 \sqrt{6}}{3} cm$ .

Ćwiczenie 16

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $64 \sqrt{3} {cm}^{3}$ . Oblicz wysokość graniastosłupa, wiedząc, że jest ona czterokrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.

RTOt7N587bAKV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z równania $64 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 a$ wyznaczamy długość krawędzi podstawy $a = 4 cm$ .

Wysokość wynosi $16 cm$ .

Ćwiczenie 17

Podstawą graniastosłupa jest romb. Stosunek długości przekątnych podstawy i wysokości graniastosłupa jest równy $1 : 3 : 4$ . Objętość graniastosłupa jest równa $384 {cm}^{3}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

RyAnjm0fPAPnz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $x$ oznacza długość krótszej przekątnej podstawy. Wtedy dłuższa przekątna jest równa $3 x$ , a wysokość graniastosłupa jest równa $4 x$ . Otrzymujemy równanie

384 = \frac{x \cdot 3 x}{2} \cdot 4 x

Stąd $x = 4 cm$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie:

{(\frac{x}{2})}^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2} = a^{2}

Stąd długość krawędzi rombu to $a = 2 \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 18

Suma długości wszystkich krawędzi każdego z trzech graniastosłupów prawidłowych: trójkątnego, czworokątnego oraz sześciokątnego jest równa $36 cm$ . Wszystkie krawędzie w każdym z graniastosłupów mają jednakową długość. Oblicz objętość każdego z graniastosłupów.

R1XJ6sLY0hemT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość krawędzi graniastosłupa trójkątnego $x$ wyznaczymy z równania: $9 x = 36$ , stąd $x = 4$ .

Długość krawędzi graniastosłupa czworokątnego $y$ wyznaczmy z równania: $12 y = 36$ , stąd $y = 3$ .

Długość krawędzi graniastosłupa sześciokątnego $z$ wyznaczymy z równania: $18 z = 36$ , stąd $z = 2$ .

Objętość graniastosłupa trójkątnego: $V = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 16 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Objętość graniastosłupa czworokątnego: $V = 3^{3} = 27 ({cm}^{3})$ .

Objętość graniastosłupa sześciokątnego: $V = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 2 = 12 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 19

Pole podstawy graniastosłupa jest równe $36 {cm}^{2}$ . Wysokość tego graniastosłupa jest równa $6 cm$ . O ile procent należy zmniejszyć wysokość tego graniastosłupa, aby jego objętość zmniejszyła się o $10 %$ ?

R1ekM8l7BGoFV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z równania $0, 9 \cdot 36 \cdot 6 = 36 \cdot h$ wyznaczamy $h = 5, 4 cm$ , a to stanowi $0, 9$ poprzedniej wysokości.

Wysokość tego graniastosłupa należy zmniejszyć o $10 %$ .

Ćwiczenie 20

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $5 cm$ . Jego dłuższa przekątna nachylona jest do podstawy pod kątem $45 °$ . Oblicz jego objętość.

R13j5UR86HLJ7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z zadania wynika, że wysokość graniastosłupa jest równa $10 cm$ .

Objętość graniastosłupa wynosi $V = 6 \cdot \frac{5^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 10 = 375 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 21

Podstawą graniastosłupa prostego jest deltoid o polu $100 {cm}^{2}$ . Jedna przekątna deltoidu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wysokość graniastosłupa stanowi $20 %$ sumy długości przekątnych deltoidu. Oblicz objętość graniastosłupa.

RfbRmqTnsoJnM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z równania $100 = 2 x \cdot \frac{x}{2}$ wyznaczamy krótszą przekątną $x = 10 cm$ i dłuższą $2 x = 20 cm$ . Wysokość wynosi zatem:

0, 2 \cdot 3 x = 0,6 \cdot 10 = 6 cm

Objętość graniastosłupa wynosi $V = 100 \cdot 6 = 600 {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 22

Podstawą graniastosłupa pochyłego jest kwadrat o boku $5$ . Wszystkie krawędzie boczne mają długość $10$ i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ .

Oblicz objętość graniastosłupa.

R1DL6K3z6sh7c

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość jest bokiem kwadratu o przekątnej $10$ , więc jej długość jest równa $5 \sqrt{2}$ .

Objętość graniastosłupa wynosi $V = 5^{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 125 \sqrt{2}$ .