Definicje i twierdzenia z ciągów, funkcji, liczb rzeczywistych oraz geometrii analitycznej na płaszczyźnie kartezjańskiej

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej $3$ wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją $r$ .
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma $k$ ( $k ⩾ 3$ ) wyrazów, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ takiej, że $1 ⩽ n ⩽ k - 1$ . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ ( $n ⩾ 1$ ).

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej $3$ wyrazy, jego pierwszy wyraz jest różny od $0$ , a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez $q$ .

Ciągi monotoniczne

Definicja: Ciągi monotoniczne

Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} > a_{n}

Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} < a_{n}

Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość

a_{n + 1} = a_{n}

Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} ⩾ a_{n}

Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} ⩽ a_{n}

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Definicja ciągu

Definicja: Definicja ciągu

Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.
Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór $\{1, 2, \dots, n\}$ , gdzie $n$ jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.
Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane $(1, 3)$ i $(3, 1)$ są różne.
Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ , itd. Natomiast $a_{n}$ oznacza $n$ – ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , na przykład drugi wyraz ciągu $(a_{n})$ to $a_{2}$ .

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ lub w równoważnej postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .
Symbolem $Δ$ (delta) oznaczyliśmy liczbę $Δ = b^{2} - 4 a c$ , którą nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$ .

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia ${(x - p)}^{2}$ , postać kanoniczną funkcji $f$ możemy zapisać jako

f (x) = a (x^{2} - 2 p x + p^{2}) + q

stąd

f (x) = a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q

Aby dla każdego $x$ zachodziła równość

a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q = a x^{2} + b x + c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej $x$ . Zatem
$- 2 a p = b$ oraz $a p^{2} + q = c$ , stąd $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = c - a {(\frac{- b}{2 a})}^{2} = c - \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} = c - \frac{b^{2}}{4 a} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ . Przyjmując oznaczenie $Δ = b^{2} - 4 a c$ , otrzymujemy $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kilku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + c =

= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

Funkcja kwadratowa zmiennej

x

Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej

x

Funkcją kwadratową zmiennej $x$ nazywamy funkcję określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a$ , $b$ oraz $c$ to liczby rzeczywiste, przy czym liczba $a$ jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie $a$ , $p$ oraz $q$ to liczby rzeczywiste i $a \neq 0$ .

Funkcja wykładnicza

Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a$ jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od $1$ .

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $(a \neq 0)$

ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik $∆$ jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,
gdzie $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .
ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ = 0$ . W tym przypadku wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdzie $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ < 0$ . Wtedy wzoru funkcji $f$ nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

a x^{2} + b x + c = 0

nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ < 0$ ,
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ = 0$ ,
ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste $x_{1} =$ $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ > 0$ .

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem $\log_{a} c$ dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ nazywamy wykładnik $b$ potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $c$ .
$\log_{a} c = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{b} = c$ .

Logarytm iloczynu

Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba $a$ jest dodatnia i różna od $1$ , to dla dowolnych liczb dodatnich $x$ i $y$

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy $c = \log_{a} x$ oraz $d = \log_{a} y$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ oraz $a^{d} = y$ . Zatem

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} (a^{c} \cdot a^{d}) = \log_{a} a^{c + d} = c + d

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

To kończy dowód.

Logarytm ilorazu

Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ dla dowolnych liczb $x > 0$ i $y > 0$ prawdziwa jest równość

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy $c = \log_{a} x$ oraz $d = \log_{a} y$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ oraz $a^{d} = y$ . Zatem

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} \frac{a^{c}}{a^{d}} = \log_{a} a^{c - d} = c - d

czyli stosując przyjęte oznaczenia

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

To kończy dowód.

Logarytm potęgi

Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ dla dowolnej liczby $x > 0$ prawdziwa jest równość

\log_{a} x^{r} = r \cdot \log_{a} x

Dowód

Oznaczmy $c = \log_{a} x$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ . Zatem

\log_{a} x^{r} = \log_{a} {(a^{c})}^{r} = \log_{a} a^{r \cdot c} = r \cdot c

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

\log_{a} x^{r} = r \cdot \log_{a} x

To kończy dowód.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe $a_{1}$ .

O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa $S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) r}{2} \cdot n = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$ .

Oś symetrii funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ i $x_{2}$ , to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ ma równanie

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Dowód

Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , to jednocześnie symetralna odcinka o końcach w punktach $(x_{1}, 0)$ i $(x_{2}, 0)$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, 0)$ . Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = p

Ponieważ

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ} + (- b + \sqrt{Δ})}{2 a} = \frac{- b}{a}

więc

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- b}{2 a} = p

Proporcjonalność odwrotna

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Funkcja $f$ opisująca zależność między dodatnimi wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ nazywana jest proporcjonalnością odwrotną, a iloczyn $x \cdot y = a$ nazywany jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Z faktu, że liczby $x$ i $y$ są dodatnie, wynika, że współczynnik $a$ także jest dodatni.
Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ możemy zapisać również w postaci $y = \frac{a}{x}$ .

Proste prostopadłe

Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach $m$ : $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $k$ : $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Proste równoległe

Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

$m$ : $y = a_{1} x + b_{1}$
$k$ : $y = a_{2} x + b_{2}$

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a_{1} = a_{2}

Rozwiązanie równania

x^{n} = a

Twierdzenie: Rozwiązanie równania

x^{n} = a

Dla liczby naturalnej dodatniej $n$ , większej od $1$ , oraz liczby rzeczywistej $a \neq 0$ równanie $x^{n} = a$ ma

jedno rozwiązanie równe $x = \sqrt[n]{a}$ , gdy $n$ jest liczbą nieparzystą,
dwa rozwiązania równe $x = \sqrt[n]{a}$ oraz $x = - \sqrt[n]{a}$ , gdy $n$ jest liczbą parzystą oraz $a$ jest liczbą dodatnią,
zero rozwiązań, gdy $n$ jest liczbą parzystą oraz $a$ jest liczbą ujemną.

Równanie ogólne prostej

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ , $B$ i $C$ są liczbami rzeczywistymi oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

Twierdzenie o sumie

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Twierdzenie o sumie

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to suma $S_{n}$ jego $n$ początkowych wyrazów jest równa
$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ albo $S_{n} = n a_{1}$ dla $q = 1$ .

Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego $n > 1$ oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k < n$ mamy

a_{n} = \frac{a_{n - k} + a_{n + k}}{2}

Zauważmy, że wyrazy $a_{n - k}$ , $a_{n}$ , $a_{n + k}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $r = k$ . Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Definicja: Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Mówimy, że dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera.

Wielomian

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej $x$ stopnia $n$ ( $n$ – liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

gdzie $x \in R$ , $a_{n} \neq 0$ oraz $a_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{1}, a_{0}$ są liczbami rzeczywistymi. Liczby ${a_{n}, a}_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{1}, a_{0}$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała $W (x) = a_{0}$ , gdzie $a_{0} \neq 0$ , jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową $W (x) = 0$ nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.
Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy $a \neq 0$ , a funkcja kwadratowa

g (x) = a x^{2} + b x + c

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście $a \neq 0$ , gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
$a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}$ dla $n > 1$
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1}

Własność ciągu geometrycznego

Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ o wyrazach różnych od $0$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej $n$ ( $n > 1$ ) prawdziwa jest równość

{a_{n}}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}

Jeżeli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami dodatnimi, to równość ${a_{n}}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ możemy zapisać w postaci $a_{n} = \sqrt{a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}}$ .
Oznacza to, że wyraz $a_{n}$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest równy $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ .
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość $a_{n + 1} = a_{n} + r$ możemy też zapisać w postaci równoważnej $a_{n + 1} - a_{n} = r$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli $a_{1}$ jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ i $q$ jest ilorazem tego ciągu, to dla dowolnej liczby całkowitej $n > 1$ mamy $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .