Odległość punktów na osi liczbowej

Przykład 1

Odległością punktów $A = (a)$ i $B = (b)$ , zaznaczonych na osi liczbowej, jest długość odcinka $A B$ .
Długość ta jest równa wartości bezwzględnej różnicy współrzędnych punktów $A$ i $B$ .

RJuL6XyHZgfWU1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(a), B =(b). Zapis: Wartość bezwzględna AB = wartość bezwzględna (b –a). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R1WtSnpofLYix1

Rysunki trzech osi liczbowych z zaznaczonymi liczbami całkowitymi od -5 do 5. Odcinek jednostkowy równy jest 1. Na pierwszej osi zaznaczone punkty o współrzędnych A =(-1) i M =(3). Zapis: wartość bezwzględna AM = wartość bezwzględna [3 -( -1)] =4. Na drugiej osi zaznaczone punkty o współrzędnych Z =(0) i W =(4). Zapis: wartość bezwzględna WZ = wartość bezwzględna (0 -4) =4. Na trzeciej osi zaznaczone punkty o współrzędnych R =(-2), S =(2). Zapis: wartość bezwzględna SR = wartość bezwzględna (-2 -2) =4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5cgqr3HlszIf11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhHpNTsDk6Fgo11

Ważne!

Własności odległości punktów.
Jeśli $A$ , $B$ , $C$ są dowolnymi punktami na płaszczyźnie, to

$|A B| \geq 0$ oraz $|A B| = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A = B$ ,
$|A B| = |B A|$ ,
$|A C| \leq |A B| + |B C|$ .

Odcinek w układzie współrzędnych

W przypadku, gdy odcinek $A B$ leży w układzie współrzędnych na jednej z osi liczbowych, jego długość jest równa odległości punktów $A$ i $B$ .

RpJx3ZLi4r5bU1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi odcinkami AB i CD, którego końce wyznaczają punkty o współrzędnych A =(0, 3), B =(0, -2), R =(-6, 0), W =(-3, 0). Długość odcinka AB =wartość bezwzględna (-2 -3) =5. Długość odcinka RW =wartość bezwzględna [-3 –( -6)] =3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Znajdziemy długości odcinków $A B$ i $C D$ , gdy $A = (- 4, 2)$ , $B = (2, 2)$ , $C = (3, 4)$ , $D = (3, - 3)$ .

RvK8AvTHsUO7i1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami: A , B, C, D. Długość odcinka AB =wartość bezwzględna [2 –( -4)]=4. Długość odcinka CD =wartość bezwzględna (-3 –4) =7. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ . Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$ .

|A B| = |2 - (- 4)| = 6

Odcinek $C D$ jest równoległy do osi $Y$ . Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy drugich współrzędnych punktów $C$ i $D$ .

|C D| = |- 3 - 4| = 7

Ciekawostka

W praktyce, chcąc przejść z jednego miejsca do drugiego, rzadko poruszamy się po trasie, jaką wyznaczylibyśmy na planie jako najkrótszą. Na drodze bowiem znajdują się różne przeszkody, np. domy, jeziora, itp. Schemat ulic w miastach często przypomina kratownicę. Najkrótsza odległość w mieście będzie więc nieco inna niż ta teoretyczna, wykorzystywana na lekcjach geometrii.
W tym przypadku do obliczenia odległości posługujemy się tzw. metryką miejską. W tej metryce najkrótsza droga między dwoma punktami to suma wartości bezwzględnych różnic współrzędnych punktu początkowego i końcowego.

Wielokąty w układzie współrzędnych

W niektórych wypadkach, aby obliczyć długości boków wielokąta, wygodnie jest umieścić go w układzie współrzędnych. Dla uproszczenia obliczeń staramy się, aby wierzchołki wielokąta miały współrzędne całkowite (jeśli jest to możliwe).

Przypomnijmy wzory na pola i obwody wielokątów.

Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1L783StcOheW11

RiLVhmsBxjm7b

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RiayrglTy1TTV11

RaOTKn3NCxWhG

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W układzie współrzędnych zaznaczono kwadrat

A B C D

o wierzchołkach w punktach:

A = (1, 2)

B = (6, 2)

C = (6, 7)

oraz

D = (1, 7)

, więc obwód tego kwadratu wynosi 1.

18

, 2.

36

, 3.

42

, 4.

25

.Gdyby wierzchołki kwadratu byłby w punktach

A = (0, 1)

B = (9, 1)

C = (9, 10)

oraz

D = (0, 10)

, to obwód byłby równy 1.

18

, 2.

36

, 3.

42

, 4.

25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RUjWwjA2n26Xs1

RRPdsjmwEsPzU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R98Njvv7b81ej1

RHw9S9ECXXahe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RXrDTU5xP6MGd1

R32NRXVpUwc5t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1RVt40NJOxJe1

R1Qr1NPJOdYRo

W układzie współrzędnych zaznaczono sześciokąt

A B C D E F

o wierzchołkach w punktach

A = (1, 0)

B = (7, 0)

C = (7, 9)

D = (3, 9)

E = (3, 6)

F = (1, 6)

. Połącz odpowiednie nazwy boków z ich długością, zakładając, że jedna jednostka w układzie współrzędnych to

1 cm

|A B| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

|B C| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

|C D| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

|D E| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

|E F| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

|F A| =

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 cm

, 2.

6 cm

, 3.

4 cm

, 4.

3 cm

, 5.

7 cm

, 6.

9 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RhQmnPsVocyfn1

RIsbOHdFiifI8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

W układzie współrzędnych dane są punkty: $A = (- 4, - 1)$ , $B = (- 2, 2)$ , $C = (3, 2)$ . Znajdziemy taki punkt $D$ , aby wielokąt $A B C D$ był równoległobokiem.

R1a2Chjcfga6z1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych: A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy: $D = (a, b)$ .
Zauważmy, że $|B C| = |3 - (- 2)| = 5$ . W równoległoboku boki przeciwległe są zawsze równoległe, a ich długości są równe. Odcinek $A D$ leży na prostej równoległej do prostej $B C$ , a więc i do osi $X$ . Zatem $|A D| = 5$ .
Korzystając z tego, znajdziemy pierwszą współrzędną punktu $D$ .

| a - (- 4) | = | a + 4 | = 5

Z rysunku widać, że liczba $a$ jest dodatnia, zatem większa od $(- 4)$ . Ponieważ
$|a + 4| = 5$ , więc $a + 4 = 5$ lub $a + 4 = - 5$ . Stąd
$a = 1$ lub $a = - 9$ .
Ponieważ $a > - 4$ , więc $a = 1$ .
Liczba $b$ jest równa drugiej współrzędnej punktu $A$ (bo odcinek $A D$ jest równoległy do osi $X$ ), więc
$b = - 1$ .
Odpowiedź: Szukanym punktem jest punkt $D = (1, - 1)$ .

RCcLqoMLys2ko1

Rysunek równoległoboku A B C D o współrzędnych wierzchołków A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2), D =(1, -1) leżącego w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R14km46Qe181u1

R1V4InZp91hBH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R17OxzJHUbIMy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KR0rYIFUF2v11

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtBY3pxnXwYFt

Ćwiczenie 10

Połącz w pary nazwy figur z właściwymi wzorami na ich pole oraz obwód. kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1.

P = a^{2}, L = 4 a

, 2.

P = a b, L = 2 a + 2 b

, 3.

P = \frac{1}{2} p q, L = 4 a

, 4.

P = a h, L = 2 a + 2 b

romb Możliwe odpowiedzi: 1.

P = a^{2}, L = 4 a

, 2.

P = a b, L = 2 a + 2 b

, 3.

P = \frac{1}{2} p q, L = 4 a

, 4.

P = a h, L = 2 a + 2 b

prostokąt Możliwe odpowiedzi: 1.

P = a^{2}, L = 4 a

, 2.

P = a b, L = 2 a + 2 b

, 3.

P = \frac{1}{2} p q, L = 4 a

, 4.

P = a h, L = 2 a + 2 b

równoległobok Możliwe odpowiedzi: 1.

P = a^{2}, L = 4 a

, 2.

P = a b, L = 2 a + 2 b

, 3.

P = \frac{1}{2} p q, L = 4 a

, 4.

P = a h, L = 2 a + 2 b

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli na obu osiach układu współrzędnych jest ta sama jednostka, to za jednostkę pola przyjmujemy kwadrat o boku, którego długość jest równa jednostce każdej osi.

Przykład 5

Obliczymy pole trapezu $A B C D$ , gdzie $A = (- 4, 1)$ , $B = (4, 1)$ , $C = (1, - 2)$ , $D = (- 1, - 2)$ .

R5VHqMMAXnojT1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) , B = ( 4, 1 ) , C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Zauważmy, że trapez jest równoramienny, więc jego pole jest równe polu prostokąta $B E D F$ , długości $5$ i szerokości $3$ . Zatem pole tego prostokąta, a więc i pole trapezu, jest równe $15$ .

R1QWPJqQ6tW6V1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) , B = ( 4, 1 ) , C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczone punkty E i F, które utworzył prostokąt B E D F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $II$

Obliczamy długości $a$ , $b$ podstaw oraz wysokość $h$ trapezu i korzystamy ze wzoru

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

ROw5ydNbsjWcZ1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4,1 ) , B = ( 4,1 ) , C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt E . Odcinek DE jest wysokością trapezu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a = |A B| = |4 - (- 4)| = 8

b = |C D| = |1 - (- 1)| = 2

h = |D E| = |1 - (- 2)| = 3

P = \frac{1}{2} (8 + 2) \cdot 3 = 15

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe $15$ .

Ćwiczenie 11

RMWlXt1Pl7QV9

trójkąt prostokątny
trójkąt rozwartokątny
trójkąt ostrokątny
trójkąt równoramienny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że odcinki $A B$ i $B C$ są prostopadłe.

Ćwiczenie 12

RwUTFsSsUcZkV

$(- 2, 5)$
$(5, 2)$
$(2, 5)$
$(- 3, 10)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że odcinki $A B$ i $A C$ są bokami tego kwadratu i mają długość $5$ .

Ćwiczenie 13

Zaznacz w układzie współrzędnych podane punkty: $A = (- 2, 1)$ , $B = (5, 3)$ , $C = (2, 5)$ oraz taki punkt $D$ , aby otrzymany czworokąt był

równoległobokiem, który nie jest prostokątem?
prostokątem, który nie jest kwadratem?
kwadratem?
rombem, który nie jest kwadratem?

Uzasadnij swój wybór. Czy w każdym przypadku udało Ci się znaleźć rozwiązanie?

R1AT5ZNt3DBav

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W układzie współrzędnych zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami pewnego wielokąta: $A = (- 2, 1)$ , $B = (5, 3)$ , $C = (2, 5)$ . Jakie współrzędne powinien mieć wierzchołek $D$ , aby otrzymany czworokąt był:

równoległobokiem, który nie jest prostokątem?
prostokątem, który nie jest kwadratem?
kwadratem?
rombem, który nie jest kwadratem?

Uzasadnij swój wybór. Czy w każdym przypadku udało Ci się znaleźć rozwiązanie?

Narysuj w układzie współrzędnych zaznaczone punkty. Łącz ze sobą w różnej kombinacji punkty $A$ , $B$ i $C$ . Zastanów się, jakie długości mają odcinki $A B$ , $A C$ , $B C$ i czy jest możliwość wyznaczenia współrzędnych wierzchołka $D$ , tak aby utworzyć wszystkie figury z treści zadania.

Przeanalizuj położenie podanych wierzchołków z treści zadania i zastanów się: jak dobrać wierzchołek $D$ , jakie długości mają odcinki $A B$ , $A C$ , $B C$ i czy jest możliwość wyznaczenia współrzędnych wierzchołka $D$ , tak aby utworzyć wszystkie figury z treści zadania.

R1VP77a9Rt1GG

lub

RBRCNUQRBa6o6

RNx0g3bTAP0AN

1. $D = (- 5, 1)$

2. $D = (1, - 3)$

3. oraz 4. – nie da się skonstruować, ponieważ podane wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ nie utworzą w żadnej kombinacji pary boków równej długości.

RdPYgB8b0e91L2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

W układzie współrzędnych umieszczono równoległobok, tak jak na rysunku.

Rj9fjlLvEDcGR1

Rysunek równoległoboku A B C D o wierzchołkach A =(1, 4), B =(4, 4), C =(3, -3), D =(0, -3) leżącego w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROSjFO3uzrhrD

Punkt o współrzędnych $(2, 4)$ należy do równoległoboku $ABCD$ .
Punkt o współrzędnych $(0, - 3)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$ .
Pierwsze współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ są równe.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rch4EDyyiM6Hs2

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Narysuj w układzie współrzędnych prostokąt, którego przekątne przecinają się w punkcie $P = (4, 5)$ i jeden z jego wierzchołków ma współrzędne $(- 2, 3)$ , a drugi z jego wierzchołków ma współrzędnie $(- 2, 7)$ . Odczytaj współrzędne wierzchołków tego prostokąta.

RIAaH24KWMO0I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W układzie współrzędnych zaznaczono prostokąt $A B C D$ , którego przekątne przecinają się w punkcie $P = (4, 5)$ i wierzchołek $A$ ma współrzędne $(- 2, 3)$ , a wierzchołek $D$ ma współrzędne $(- 2, 7)$ . Podaj współrzędne wierzchołków tego prostokąta.

ReJTao8SeAvxK

Współrzędne wierzchołków $A = (- 2, 3)$ , $B = (10, 3)$ , $C = (10, 7)$ oraz $D = (- 2, 7)$ .

Ćwiczenie 17

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R15Sf1cDZYajX1

R1HxcJZJzPYgO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RsoXs7MGCdf0s1

REOy3T4k3u1Iv

Połącz dwie pary punktów, tak aby były kolejnymi wierzchołkami prostokąta w układzie współrzędnych o polu równym

20

A = (0, 0), B = (5, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (4, 5), D = (0, 5)

, 2.

C = (2, 10), D = (0, 10)

, 3.

C = (5, 4), D = (0, 4)

, 4.

C = (10, 2), D = (0, 2)

A = (0, 0), B = (4, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (4, 5), D = (0, 5)

, 2.

C = (2, 10), D = (0, 10)

, 3.

C = (5, 4), D = (0, 4)

, 4.

C = (10, 2), D = (0, 2)

A = (0, 0), B = (10, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (4, 5), D = (0, 5)

, 2.

C = (2, 10), D = (0, 10)

, 3.

C = (5, 4), D = (0, 4)

, 4.

C = (10, 2), D = (0, 2)

A = (0, 0), B = (2, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (4, 5), D = (0, 5)

, 2.

C = (2, 10), D = (0, 10)

, 3.

C = (5, 4), D = (0, 4)

, 4.

C = (10, 2), D = (0, 2)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

R1MjPUytFNsce1

R1Vcnhn9IhetM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RLGvOxPlLAy3a1

Rxa5PfvgZpUrm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Zapoznaj się z apletem i postępuj zgodnie z poleceniami.

RGlmxpYLDM4Ww1

R5iHCSqSedIy0

Wstaw w tekst odpowiednią wartość pola kwadratu. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz odpowiednią wartość. Punkty

A = (0, 0)

B = (7, 0)

C = (7, 7)

D = (0, 7)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu o polu równym 1.

25

, 2.

18

, 3.

24

, 4.

49

, 5.

16

, 6.

36

.
Punkty

A = (0, 0)

B = (5, 0)

C = (5, 5)

D = (0, 5)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu o polu równym 1.

25

, 2.

18

, 3.

24

, 4.

49

, 5.

16

, 6.

36

.
Punkty

A = (0, 0)

B = (4, 0)

C = (4, 4)

D = (0, 4)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu o polu równym 1.

25

, 2.

18

, 3.

24

, 4.

49

, 5.

16

, 6.

36

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

R9IM3aUevYbGj

Pole trójkąta

A B C

jest równe

24

. Podstawą trójkąta jest odcinek

A B

, gdzie

A = (- 3, - 2)

B = (1, - 2)

. Dopasuj współrzędne punktu

C

do trójkąta

A B C

wiedząc, że jest to: trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (- 3, - 14)

, 2.

C = (- 1, 10)

, 3.

C = (1, 10)

, 4.

C = (5, 10)

, 5.

C = (10, 10)

, 6.

C = (- 3, 10)

, 7.

C = (1, - 14)

, 8.

C = (2, - 14)

, 9.

C = (- 1, - 14)

trójkąt równoramienny Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (- 3, - 14)

, 2.

C = (- 1, 10)

, 3.

C = (1, 10)

, 4.

C = (5, 10)

, 5.

C = (10, 10)

, 6.

C = (- 3, 10)

, 7.

C = (1, - 14)

, 8.

C = (2, - 14)

, 9.

C = (- 1, - 14)

trójkąt różnoboczny Możliwe odpowiedzi: 1.

C = (- 3, - 14)

, 2.

C = (- 1, 10)

, 3.

C = (1, 10)

, 4.

C = (5, 10)

, 5.

C = (10, 10)

, 6.

C = (- 3, 10)

, 7.

C = (1, - 14)

, 8.

C = (2, - 14)

, 9.

C = (- 1, - 14)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dla trójkąta różnobocznego podano tylko przykładowe współrzędne wierzchołka $C$ . Istnieje nieskończenie wiele takich punktów – każdy punkt, którego rzędna jest równa $10$ lub $(- 14)$ (poza wyjątkami, gdy jest to trójkąt równoramienny).

Ćwiczenie 23

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: $O = (0, 0)$ , $A = (3, 0)$ , $B = (5, 4)$ , $C = (0, 4)$ , $D = (- 2, 0)$ . Oblicz pole

czworokąta $O A B C$ ,
czworokąta $A B C D$ .

Rrxu982dx8Fta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty: $O = (0, 0)$ , $A = (3, 0)$ , $B = (5, 4)$ , $C = (0, 4)$ , $D = (- 2, 0)$ . Oblicz pole

czworokąta $O A B C$ ,
czworokąta $A B C D$ .

R7mJxDGHSiQqv

$P = 16$

RPlNKxe00muC3

$P = 20$

$P = 16$
$P = 20$

Ćwiczenie 24

R1OkoUreeArrF3

$32$
$16$
$12$
$8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od wyznaczenia długości podstawy $A C$ , a następnie wyznacz wysokość tego trójkąta. Zauważ, że punkt przecięcia wysokości z podstawą będzie leżał na osi $X$ tak jak punkty $A$ i $C$ . Następnie wykorzystaj wzór na pole trójkąta.

REUufd4e9QswI3

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

RgFgZ4Faocqoq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że odcinek $A B$ jest bokiem tego kwadratu i ma długość $3$ .

Układ współrzędnych6950Brawo! Udało Ci się zaliczyć test.Niestety, nie udało Ci się zaliczyć testu.

Test

Układ współrzędnych

Liczba pytań:

Limit czasu:

9 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Układ współrzędnych

Pytanie 1/6

Twój ostatni wynik -

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.