Walec. Pole powierzchni walca - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące walców - budowy, przekrojów, siatek, pola powierzchni. Utrwalisz zdobytą wiedzę, wykonując ćwiczenia.

Budowa walca

Przykład 1

W jakim kształcie są wieże na zdjęciach? Jakie bryły geometryczne przypominają?

R1dkQ2KROdwtt1

Zdjęcia trzech różnych budowli w kształcie okrągłej wieży. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykładem walca mogą być wieże zamkowe popularne w architekturze na przestrzeni wieków.

Przykład 2

Zmieniaj wymiary obracającego się prostokąta. Jaka jest zależność między wysokością otrzymywanego walca, a jego tworzącą? Jaka jest zależność między promieniem podstawy walca, a długością boku prostokąta prostopadłego do osi obrotu?

R13CNM2YrjUmf1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W wyniku obrotu prostokąta wokół prostej, przechodzącej przez jeden z boków, otrzymujemy bryłę zwaną walcem.

Zapoznaj się z opisem apletu, a następnie z wnioskami.

Aplet przedstawia konstrukcję walca na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest prostokąt, którego jeden bok zawiera się w promieniu okręgu, a drugi leży na osi obrotu. Obracając prostokąt wokół jednego z boków, otrzymujemy walec.

Zatem, aby otrzymać walec, należy wyznaczyć oś obrotu i osadzić na niej prostokąt, który w wyniku obrotu wokół tej osi tworzy walec.

Walec ma dwie równoległe podstawy w kształcie przystających kół. Odcinek łączący podstawy walca i prostopadły do tych podstaw to wysokość walca. Wysokość jest równa odległości podstaw walca.

Każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach należących do podstaw walca nazywamy tworzącą. Długość tworzącej walca jest równa jego wysokości.

Polecenie 1

Określ dla każdego z walców jego wysokość, długość tworzącej, promień podstawy i średnicę podstawy.

R1D0s1hQlYlM71

Ilustracja przedstawia cztery różne walce, każdy z nich ma podaną wysokość i średnicę podstawy. Pierwszy walec od lewej ma wysokość 31 centymetrów i średnicę podstawy 6 centymetrów. Drugi walec ma wysokość 19 milimetrów i średnicę podstawy 7 milimetrów. Trzeci walec ma wysokość 15 centymetrów i średnicę podstawy 17 centymetrów, a czwarty ma wysokość 2 decymetry i średnicę podstawy pół decymetra. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszy walec ma wysokość i długość tworzącej równą $31 cm$ , średnicę podstawy równą $6 cm$ i promień równy $3 cm$ .
Drugi walec ma wysokość i długość tworzącej równą $19 mm$ , średnicę podstawy równą $7 mm$ i promień równy $3, 5 mm$ .
Trzeci walec ma wysokość i długość tworzącej równą $15 cm$ , średnicę podstawy równą $17 cm$ i promień równy $8, 5 cm$ .
Czwarty walec ma wysokość i długość tworzącej równą $2 dm$ , średnicę podstawy równą $0, 5 dm$ i promień równy $0, 25 dm$ .

Przekroje walca

Przykład 3

R15BERfvVupU01

Przykład 4

R9GsY10YyZZ0G1

Przykład 5

Poniższa ilustracja pokazuje jak wygląda przekrój poprzeczny walca.

Re1f43hG299xV1

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Po lewej mamy walec w przekroju poprzecznym (przekrojem jest koło o promieniu r). Po prawej mamy przekrój walca, czyli koło o promieniu r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Poniższa ilustracja pokazuje jak wygląda przekrój osiowy walca.

R1Pp50rAjBtWx1

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Po lewej mamy walec o wysokości H z zaznaczonym przekrojem osiowym (w kształcie prostokąta), po prawej znajduje się przekrój walca, czyli prostokąt o pionowym boku H i poziomym boku 2 r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

R1SWUKyotQGzt1

Przykład 8

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o szerokości $9 cm$ . Pole tego przekroju jest równe $108 {cm}^{2}$ .

Określ wysokość i promień podstawy walca.

Obliczamy długość prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca.

\frac{108 {cm}^{2}}{9 cm} = 12 cm

Prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, ma wymiary $9 cm$ na $12 cm$ .

Możliwe są dwa przypadki.

RhMmB1OwRvkTk1

Ilustracja przedstawia dwa rysunki walców z wyróżnionym przekrojem osiowym. Po lewo mamy rysunek podpisany jako przypadek pierwszy. Tutaj walec ma wysokość H równą 9 centymetrów i średnicę podstawy d równą 12 centymetrów. Po prawo rozpatrzony jest przypadek drugi. Ten walce ma wysokości H równą 12 centymetrów i średnicę podstawy d równą 9 centymetrów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$I$ przypadek:
Wysokość walca jest równa $9 cm$ , a promień jego podstawy jest równy $\frac{12 cm}{2} = 6 cm$ .
$II$ przypadek:
Wysokość walca jest równa $12 cm$ , a promień jego podstawy jest równy $\frac{9 cm}{2} = 4, 5 cm$ .

Przykład 9

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna długości $20 cm$ jest nachylona do dłuższego boku pod kątem $30 °$ . Wysokość walca jest równa długości tego prostokąta. Oblicz pole podstawy walca.

R19gaoJWfIgIG1

Ilustracja przedstawia walec z zaznaczonym przekrojem osiowym w kształcie prostokąta. Przekątna przekroju ma długość 20 centymetrów. Zaznaczono kąt, jaki tworzy przekątna prostokąta z wysokością bryły, jest to kąt 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna dzieli prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Przeciwprostokątna w tak otrzymanym trójkącie ma długość $20 cm$ , a jeden z kątów ostrych ma miarę $30 °$ .

W takim trójkącie naprzeciw kąta o mierze $30 °$ leży przyprostokątna dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku o długości $\frac{20 cm}{2} = 10 cm$ .

Druga z przyprostokątnych ma długość $10 \sqrt{3} cm$ .

R1KwN7Aym9bbl1

Ilustracja przedstawia walec z przekrojem osiowym i kilka zaznaczonych wielkości. Średnica podstawy walca wynosi 10 centymetrów, wysokość walca wynosi 103 centymetrów, przekątna przekroju bryły wynosi 20 centymetrów, a kąt między wysokością walca a przekątną jego przekroju wynosi 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy walca jest więc równy $\frac{10 cm}{2} = 5 cm$ .

Obliczamy pole koła, będącego podstawą walca

P = π \cdot 5^{2}

P = 25 π {cm}^{2}

Pole podstawy walca jest równe $25 π {cm}^{2}$ .

Przykład 10

Obwód koła, będącego przekrojem poprzecznym walca, jest równy $34 π {d m}^{}$ . Stosunek wysokości walca do promienia podstawy jest równy $7 : 9$ . Oblicz wysokość walca.

Obliczamy promień $r$ podstawy walca

2 π r = 34 π | : 2 π

r = 17 dm

Korzystamy z tego, że stosunek wysokości $H$ walca do promienia jego podstawy jest równy $7 : 9$

\frac{H}{r} = \frac{7}{9}

\frac{H}{17} = \frac{7}{9}

H = \frac{119}{9}

H = 13 \frac{2}{9} dm

Wysokość walca jest równa $13 \frac{2}{9} d m$ .

Siatka walca. Pole powierzchni walca

RcPLrL8xWUoIW1

ROsbV7N6fQw4G1

Przykład 11

Obserwuj, jak wraz ze zmianą wysokości i promienia podstawy walca, zmieniają się wymiary figur tworzących siatkę walca. Co zauważasz?

RlQ8xTwQhwqDZ1

Siatka walca składa się z dwóch przystających kół i prostokąta. Promień każdego z tych kół jest równy promieniowi podstawy walca. Boki prostopadłe prostokąta są równe odpowiednio wysokości walca i obwodowi koła, będącego podstawą.

R1VhKwxCbbUIA1

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Po lewej mamy walec o wysokości H i promieniu podstawy r. Po prawej mamy rozłożone pole powierzchni walca, czyli rozwinięte na płaszczyźnie pole boczne bryły, które jest prostokątem o poziomym boku równym H. Po obu stronach przy pionowych bokach prostokąta mamy dwa równe koła o promieniu r, które są podstawami bryły. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole $P$ powierzchni walca o wysokości $H$ i promieniu podstawy $r$ jest równe

P = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

gdzie:

$P_{p}$ – pole podstawy,
$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej,
$P = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot H$ .

Przykład 12

Ile ${cm}^{2}$ blachy zużyto na wykonanie metalowej puszki w kształcie walca o wysokości $20 cm$ i średnicy $8 cm$ ? Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Promień podstawy walca jest równy $\frac{8 cm}{2} = 4 cm$ . Obliczamy, ile blachy zużyto na wykonanie denka puszki

P = π r^{2}

P_{p} = π \cdot 4^{2}

P_{p} = 16 π {cm}^{2}

Obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie powierzchni bocznej puszki

P_{b} = 2 π \cdot 4 \cdot 20

P_{b} = 160 π {cm}^{2}

Teraz obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie całej puszki

P = 2 \cdot 16 π + 160 π = 192 π

Liczbę $π$ zastępujemy jej przybliżeniem

P \approx 192 \cdot 3, 14 = 602, 88

P \approx 602, 88 {cm}^{2}

Na wykonanie puszki zużyto około $602, 88 {cm}^{2}$ blachy.

Przykład 13

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o wymiarach $15 cm \times 24 cm$ . Oblicz promień podstawy walca, wiedząc, że wysokość walca jest równa $15 cm$ .

Obwód koła, który jest podstawą walca, jest równy długości prostokąta, w kształcie którego jest powierzchnia boczna walca

2 π r = 24

r = \frac{24}{2 π} = \frac{12}{π}

Promień podstawy walca jest równy $\frac{12}{π} cm$ .

Przykład 14

Tort ma kształt walca o wysokości $25 cm$ i średnicy podstawy $30 cm$ . Na pokrycie $100 {cm}^{2}$ powierzchni tortu potrzeba $8 dag$ polewy. Oblicz, ile $dag$ polewy należy przygotować na pokrycie powierzchni tortu.

Polewą będzie pokryta podstawa górna walca, w kształcie którego jest tort i jego powierzchnia boczna. Obliczamy pole powierzchni do pokrycia

P = 2 π \cdot (\frac{30}{2}) 25 + π \cdot {(\frac{30}{2})}^{2}

P = 750 π + 225 π = 975 π

P \approx 975 \cdot 3, 14 = 3061, 5

P \approx 3061, 5 {cm}^{2}

Obliczamy, ile $dag$ polewy potrzeba

(3061, 5 : 100) \cdot 8 = 30, 615 \cdot 8 = 244, 92

Liczbę $π$ zaokrągliliśmy z dołu, zatem żeby nie zabrakło polewy, należy przygotować jej trochę więcej niż $244, 92 dag$ .

Ćwiczenie 1

Kwadrat obracamy wokół prostej $p$ . Określ wysokość i promień podstawy tak otrzymanego walca.

R1Tx8NpEg9T1K1

Rysunki czterech kwadratów o osiach obrotu zawierających bok figury. Podpunkt a: oś pozioma p z kwadratem o boku a. Podpunkt b: oś pionowa p z kwadratem o boku siedem. Podpunkt c: oś pionowa p z kwadratem o przekątnej równej trzy. Podpunkt d: oś pozioma p z kwadratem o przekątnej równej a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1METYAuPPPEL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri6MDPhtjqAbq11

Ćwiczenie 2

$10 cm$
$4 cm$
$20 cm$
$8 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15Hvmh08V5021

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu

0, 25 {dm}^{2}

. Promień podstawy tego walca jest równy 1.

0, 50

, 2.

0, 35

, 3.

10

, 4.

18

, 5.

0, 25

, 6.

14

, 7.

8

, 8.

12

, 9.

16

dm

. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Pole podstawy walca jest równe

81 π

. Wysokość tego walca jest równa 1.

0, 50

, 2.

0, 35

, 3.

10

, 4.

18

, 5.

0, 25

, 6.

14

, 7.

8

, 8.

12

, 9.

16

. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Średnica podstawy walca jest równa

12 cm

. Wysokość walca jest równa 1.

0, 50

, 2.

0, 35

, 3.

10

, 4.

18

, 5.

0, 25

, 6.

14

, 7.

8

, 8.

12

, 9.

16

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1IZwbqOchJaY2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUKjieoPVkLug

Oblicz odpowiednie wielkości w walcach, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wysokość pewnego walca wynosi

6

, a pole jego przekroju osiowego wynosi

30 π

. Oznacza to, że średnica podstawy tego walca wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy w tym walcu wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, a długość przekątnej przekroju osiowego tego walca wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

. Pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy w pewnym walcu wynosi

16 π

, a długość przekątnej jego przekroju osiowego wynosi

10

. Oznacza to, że wysokość tego walca wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, średnica jego podstawy to 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, a pole jego przekroju osiowego wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

. Średnica podstawy pewnego walca wynosi

12

, a pole jego przekroju osiowego to

120

. Oznacza to, że wysokość tego walca to 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

i długość przekątnej przekroju osiowego to 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

. Wysokość pewnego walca wynosi

1, 2

, a jego pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy to

1, 44 π

. Oznacza to, że średnica podstawy tego walca wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, pole przekroju osiowego to 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

, a długość przekątnej przekroju osiowego wynosi 1.

3 \sqrt{0, 8}

, 2.

48

, 3.

36 π

, 4.

6

, 5.

2, 4

, 6.

10

, 7.

6 π

, 8.

8

, 9.

\sqrt{25 + 36 π^{2}}

, 10.

9 π^{3}

, 11.

2 \sqrt{61}

, 12.

2, 88

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1XQCyrcRDHaZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

RyjZhXYuk0Rke

Przyjmując, że

π = 3, 14

, dopasuj pola powierzchni bocznej do określonych poniżej walców. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Dany jest walec o wysokości równej

H = 14 cm

i promieniu podstawy równym

r = 2 cm

. Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi

P_{b} =

904, 32 {cm}^{2}

, 2.

502, 4 {cm}^{2}

, 3.

175, 84 {cm}^{2}

, 4.

125, 6 {cm}^{2}

.Dany jest walec o wysokości równej

H = 24 cm

i promieniu podstawy równym

r = 6 cm

. Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi

P_{b} =

904, 32 {cm}^{2}

, 2.

502, 4 {cm}^{2}

, 3.

175, 84 {cm}^{2}

, 4.

125, 6 {cm}^{2}

.Dany jest walec o wysokości równej

H = 4 cm

i średnicy podstawy równym

d = 10 cm

. Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi

P_{b} =

904, 32 {cm}^{2}

, 2.

502, 4 {cm}^{2}

, 3.

175, 84 {cm}^{2}

, 4.

125, 6 {cm}^{2}

.Dany jest walec o wysokości równej

H = 20 cm

i średnicy podstawy równym

d = 8 cm

. Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi

P_{b} =

904, 32 {cm}^{2}

, 2.

502, 4 {cm}^{2}

, 3.

175, 84 {cm}^{2}

, 4.

125, 6 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1D2OrQmpBEJW21

Ćwiczenie 6

$49$
$7$
$10$
$8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoGxjgE7sKs1J2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq19wgHSsAgTo21

Ćwiczenie 8

Pole powierzchni bocznej walca $W$ jest większe od pola powierzchni bocznej walca $W 1$ .
Wysokość walca $W$ jest większa od wysokości walca $W 1$ .
Pole podstawy górnej walca $W$ jest równe polu podstawy dolnej walca $W 1$ .
Średnica podstawy walca $W$ jest mniejsza od średnicy podstawy walca $W 1$ .
Pola powierzchni całkowitej walca $W$ jest równe polu powierzchni całkowitej walca $W 1$ .
Pole przekroju osiowego walca $W$ jest większe od pola przekroju osiowego walca $W 1$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxxT6Ai5JkjAx2

Ćwiczenie 9

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość

4 \sqrt{2} cm

. Przekątna ta tworzy kąt o mierze

45 °

z jednym z boków prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni całkowitej walca wynosi 1.

22 π

, 2.

20 π

, 3.

28 π

, 4.

26 π

, 5.

24 π

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RG8fepK1G11Ao2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk91aoylZOp9E2

Ćwiczenie 11

Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. Przekątna tego prostokąta ma długość

5 cm

i jest nachylona do jego boku pod kątem

60 °

. Oblicz pole powierzchni bocznej walca, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni bocznej walca wynosi 1.

\frac{20 π \sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{50 π \sqrt{3}}{4}

, 3.

\frac{35 π \sqrt{3}}{4}

, 4.

\frac{25 π \sqrt{3}}{2}

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CZ6MJgPJxBX21

Ćwiczenie 12

Każdy przekrój poprzeczny walca jest kołem.
Tworzące walca mogą mieć różne długości.
Istnieje przekrój walca , który nie jest kołem ani prostokątem.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że wszystkie przekroje poprzeczne walca są przystającymi kołami.

RmA3xvRoUpJXk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Prostokąt o wymiarach $a cm \times b cm$ obrócono wokół boku o długości $a cm$ i otrzymano walec $W_{1}$ . Ten sam prostokąt obrócono wokół boku o długości $b cm$ i otrzymano walec $W_{2}$ . Walce $W_{1}$ i $W_{2}$ mają równe pola powierzchni całkowitej. Wykaż, że prostokąt ten jest kwadratem.

R1NWIrsbmgkUc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyrównaj ze sobą wzory na pola całkowite obu tych figur i wyprowadź zależność między $a$ i $b$ .

$2 π a b + 2 π b^{2} = 2 π a b + 2 π a^{2}$ , stąd $a = b$ .

R1cLganNNTNG02

Ćwiczenie 15

Dwa prostokąty

P_{1}

P_{2}

są podobne w skali

1 : 2

. Prostokąt

P_{1}

ma wymiary

5 cm \times 10 cm

. Oblicz pole powierzchni bocznej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta

P_{2}

wokół dłuższego boku, a następnie uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni bocznej wynosi 1.

400 π

, 2.

600 π

, 3.

200 π

, 4.

800 π

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RStzgik3OVO1Y3

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRgXpJYP75nmm3

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Udowodnij, że stosunek powierzchni bocznej dowolnego walca do powierzchni przekroju osiowego tego walca jest zawsze taki sam.

RpCj8nG2cax7h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole powierzchni bocznej walca jest równe: $P_{b} = 2 π r \cdot H$ .

Pole powierzchni przekroju osiowego walca jest równe: $P_{p} = 2 r \cdot H$ .

Zatem stosunek powierzchni bocznej dowolnego walca do powierzchni przekroju osiowego jest równy:

$\frac{P_{b}}{P_{p}} = \frac{2 π r \cdot H}{2 r \cdot H} = π$ .

Rw95Jv1hEZxlD3

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1APzTBVWk7mA3

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.