W tym materiale zawarte są informacje na temat wielkości wprost proporcjonalnych. Poznasz definicję, podstawową własność oraz przykłady takich wielkości. Po przeanalizowaniu przykładów, możesz sprawdzić swoje umiejętności, samodzielnie rozwiązując ćwiczenia związane z tym tematem.

R1CKveG1Wwn8U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielkości wprost proporcjonalne

Definicja: Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości dodatnich jest stały.

Zapamiętaj!

Iloraz odpowiadających sobie wielkości wprost proporcjonalnych jest stały.

Przykład 1

Państwo Nowakowie postanowili zapakować wszystkie prezenty gwiazdkowe w jednakowe czerwone pudełka i udekorować je złotą wstążką. Ile metrów złotej wstążki powinni przygotować Nowakowie, jeżeli ich rodzina liczy $16$ osób, a na udekorowanie dwóch pudełek z prezentami należy przeznaczyć $5$ metrów wstążki? Każda osoba otrzymuje tylko jeden prezent gwiazdkowy.

Rozwiązanie:

Liczba gwiazdkowych prezentów i długość potrzebnej wstążki do udekorowania tych prezentów są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Długość wstążki potrzebnej do udekorowania jednego pudełka jest zawsze taka sama, bez względu na to, ile mamy prezentów. Jest ona równa ilorazowi długości potrzebnej wstążki przez liczbę udekorowanych nią gwiazdkowych prezentów.

Oznaczając przez $x$ długość wstążki potrzebnej do udekorowania $16$ prezentów, możemy ułożyć i rozwiązać odpowiednie równanie.

\frac{5}{2} = \frac{x}{16}

2 \cdot x = 16 \cdot 5

2 x = 80

x = 80 : 2

x = 40

Odpowiedź: Państwo Nowakowie powinni przygotować $40 m$ wstążki, aby udekorować $16$ prezentów gwiazdkowych.

Przykład 2

Agata kupiła $2 kg$ gruszek i zapłaciła $7,82 zł$ . Jej koleżanka Basia kupiła takie same gruszki i zapłaciła $19,55 zł$ . Wyznaczmy masę gruszek, które kupiła Basia.

Rozwiązanie:

Masa gruszek i kwota, którą trzeba za nie zapłacić to wielkości wprost proporcjonalne. Cena jednego kilograma gruszek kupionych przez Agatę i Basię jest taka sama. Jest ona równa ilorazowi kwoty zapłaconej za gruszki przez masę kupionych gruszek.

Oznaczając przez $x$ masę gruszek kupionych przez Basię, możemy ułożyć i rozwiązać równanie:

\frac{7,82}{2} = \frac{19,55}{x}

7, 82 \cdot x = 2 \cdot 19, 55

7,82 x = 39,1

x = 39,1 : 7,82

x = 5

Odpowiedź: Basia kupiła $5 kg$ gruszek.

RdAQ5cDnMSH7l1

Ćwiczenie 1

odległość na mapie i odpowiadająca jej odległość w terenie.
wiek człowieka i jego waga.
długość boku rombu i jego obwód.
cena soku i ilość soku, który możemy kupić za daną kwotę.
liczba psów i liczba nóg tych psów.
długość boku sześcianu i wartość jego pola powierzchni całkowitej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFHGe1UyJRUdO1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zastanów się i wymień wszystkie tabele, w których wielkości są wprost proporcjonalne.

Tabela $1$
$x$	$3$	$2$	$9$
$y$	$15$	$10$	$45$

Tabela $2$
$x$	$2$	$4$	$8$
$y$	$4$	$16$	$64$

Tabela $3$
$x$	$49$	$63$	$98$
$y$	$7$	$9$	$14$

Tabela $4$
$x$	$1, 4$	$5, 3$	$6, 68$
$y$	$0, 7$	$2, 55$	$3, 34$

Tabela $5$
$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$100$	$200$	$300$

Tabela $6$
$x$	$5$	$8$	$12$
$y$	$6$	$9$	$13$

R1RHTfuASYIYJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RFkVCecfjN3re

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy podane w tabeli wielkości są wprost proporcjonalne. Jeśli tak, to podaj współczynnik proporcjonalności.

Tabela $1$
$x$	$0, 2$	$1$	$7$	$3$	$24$
$y$	$0, 6$	$3$	$21$	$9$	$72$

Współczynnik proporcjonalności wyrażony jest wzorem $a = \frac{y}{x}$ .

Podane w tabeli wielkości są wprost proporcjonalne, a współczynnik proporcjonalności to $a = 3$ .

R1L4VEz6Gf7K42

Ćwiczenie 5

Z podanych składników można sporządzić około

60

sztuk faworków.
Składniki ciasta:

250 g

mąki,

150 ml

gęstej śmietany,

4

żółtka,

10 g

masła,

\frac{1}{2}

łyżeczki cukru,

\frac{1}{4}

łyżeczki soli,

1

łyżka octu jabłkowego. Ile powinniśmy użyć poszczególnych składników, aby otrzymać

90

sztuk faworków?
Uzupełnij listę składników, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Potrzebne składniki to:
1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

mąki,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

ml

gęstej śmietany,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

żółtek,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

masła,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki cukru,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki soli,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżki octu jabłkowego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9iM2vTfk2nIy2

Ćwiczenie 6

4 kg

świeżego masła otrzymamy, w wyniku przeróbki, około

2,8 kg

klarowanego masła oraz około

70 dag

pianki białkowej. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile dekagramów masła klarowanego otrzymamy z

1

kilograma świeżego masła, a ile z

250

gramów?
Odpowiedź: Otrzymamy z

1

kilograma 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

masła klarowanego, a z

250

gramów 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

masła klarowanego.
Ile kilogramów świeżego masła należy przerobić, aby otrzymać

10 kg

masła klarowanego? Ile otrzymamy wówczas pianki białkowej?
Odpowiedź: Należy przerobić około 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

kg

świeżego masła, a otrzymamy 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

pianki białkowej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NDqcSV1E5yq2

Ćwiczenie 7

W ciągu jednej minuty wskazówka sekundowa zegara obróci się o kąt

360 °

. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. O ile stopni obróci się wskazówka sekundowa w ciągu

15

sekund, a o ile w ciągu

200

sekund?
Odpowiedź: W ciągu

15

sekund obróci się o 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

, a w ciągu

200

sekund obróci się o 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

.
W jakim czasie wskazówka sekundowa obróci się o kąt

225 °

?
Odpowiedź: Wskazówka sekundowa obróci się o ten kąt w czasie 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

sekundy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rtfh6ybSdWQeT3

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GfxfoocZngO3

Ćwiczenie 9

Basen pływacki to sztuczny zbiornik wody w kształcie prostokąta. Ma on długość

25

metrów lub

50

metrów (basen olimpijski) oraz szerokość

12,5

metra. Ile wynosi powierzchnia basenu pływackiego o długości

25

metrów, a ile o długości

50

metrów na mapie sporządzonej w skali

1 : 20

? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby.
Odpowiedź: Powierzchnia basenu o długości

25

metrów na tej mapie wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

, a powierzchnia basenu o długości

50

metrów na tej mapie wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego203060Brawo! Udało Ci się poprawnie rozwiązać test.Niestety, nie udało Ci się poprawnie rozwiązać testu, spróbuj ponownie.

Test

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego

Liczba pytań:

Limit czasu:

30 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego

Pytanie 1/20

Twój ostatni wynik -

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.