Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Stosunek pól figur podobnych

Stosunek odpowiednich odcinków figur podobnych jest równy skali podobieństwa.

Zastanowimy się teraz, jaka jest zależność między polami takich figur.

Przykład 1

Przyjmijmy, że pole niebieskiego kwadratu jest równe 1. Kwadrat ten jest podobny do każdego z pozostałych kwadratów. Pod rysunkami zapisana jest skala podobieństwa danego kwadratu do kwadratu niebieskiego. Zapisane są też pola tych figur. Co zauważasz?

R1HAA3H1SkEat1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź: Pole każdego z narysowanych kwadratów jest iloczynem pola najmniejszego kwadratu i kwadratu skali podobieństwa.

1
Przykład 2
RIZWOj1ehMjMV1
Animacja ilustruje wyprowadzenie wzoru na pola figur podobnych. Dany jest kwadrat o boku 1, jego pole P = 1. Powiększamy dwukrotnie bok kwadratu, otrzymujemy kwadrat powiększony dwukrotnie (składający się z czterech kwadratów o boku 1). Pole kwadratu zwiększyło się czterokrotnie. Następnie budujemy kwadrat o boku, którego długość powiększyła się trzykrotnie (składający się z dziewięciu kwadratów o boku 1). Pole tego kwadratu zwiększyło się dziewięciokrotnie. Bok kolejnego kwadratu powiększony został czterokrotnie (składający się z szesnastu kwadratów o boku 1), a jego pole zwiększyło się szesnastokrotnie. Zauważamy, że jeżeli kwadrat przekształcimy w skali k, wówczas jego pole zmieni się k do potęgi drugiej razy. Kwadrat o boku a ma pole P = a do potęgi drugiej. Kwadrat o boku k razy a ma pole P = k do potęgi drugiej razy a do potęgi drugiej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 3

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 4 dm6 dm. Każdą z przyprostokątnych zmniejszamy dwukrotnie. Oblicz stosunek pola pomniejszonego trójkąta do pola danego trójkąta.

Każdy z boków trójkąta zmniejszono dwukrotnie. Zatem skala podobieństwa trójkąta otrzymanego do trójkąta danego jest równa 12. Wynika z tego, że przyprostokątne trójkąta pomniejszonego mają długości 2 dm3 dm.

Oznaczmy:

  • P – pole danego trójkąta,

  • P1 – pole trójkąta pomniejszonego.

P=462=12
P= 12 dm2
 P1=232=3
P1 = 3dm2
P1P=312=14.

Stosunek pól tych trójkątów jest równy 14, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 4

Prostokątna kartka w notesie ma wymiary 10 cm8 cm. Kartka w książce ma wymiary 30 cm24 cm. Ile razy pole powierzchni kartki w książce jest większe od pola powierzchni kartki w notesie?

Zauważmy, że prostokąty, w kształcie których są kartki, są podobne. Skala podobieństwa prostokąta w kształcie którego jest kartka w książce do prostokąta, w kształcie którego jest kartka w notesie, jest równa

3010=248=3.

Obliczamy stosunek pól tych prostokątów.

30 cm24 cm10 cm8 cm=9.

Stosunek pól powierzchni kartek jest równy 9, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Na podstawie powyższych przykładów możemy wnioskować, że jeśli figura F jest podobna do figury G w skali k, to stosunek pól tych figur jest równy k2.

Sprawdźmy nasze przypuszczenia jeszcze na kilku przykładach.

Ważne!

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 5

Pięciokąt M jest podobny do pięciokąta K w skali 1:8. Pole pięciokąta M jest równe 2. Oblicz pole pięciokąta K.

Korzystamy z tego, że stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Stąd

2P=182
2P=164
P=128.

Pole pięciokąta K jest równe 128.

Przykład 6

Jedną z największych atrakcji turystycznych Gdańska jest Bazylika Mariacka, na której znajduje się największy w Polsce zegar. Został on zbudowany w 1637 r.

Pole powierzchni tarczy tego zegara jest równe około 16 m2. Pole powierzchni tarczy zegarka na rękę jest równe około 16 cm2. Określ skalę podobieństwa tych tarcz.

Zapisujemy oba pola w  tej samej jednostce pola.

16 m2 = 16100100cm2 = 160 000cm2

Dzielimy pole powierzchni większej tarczy przez pole powierzchni mniejszej tarczy. Obliczamy w ten sposób kwadrat skali podobieństwa tarcz.

k2=16000016=10000.

Obliczamy teraz skalę podobieństwa.

k=10000=100.

Skala podobieństwa tarczy gdańskiego zegara do tarczy zegarka na rękę wynosi
100.

1
Przykład 7
R1UfZqE8DRFeb1
Animacja przedstawia dwa kwadraty narysowane w skali 1 do 1, każdy o polu równym 1 centymetr kwadratowy. Należy zmieniać skalę i obserwować stosunek pól w zależności od skali. Dla skali 1 do 2 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 4. Dla skali 1 do 3 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 9. Dla skali 1 do 4 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 16. Dla skali 1 do 5 stosunek pól w zależności od skali wynosi 1 do 25.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1

Obliczanie pól figur podobnych

Zauważmy, że jeżeli figura F jest podobna do figury G w skali k, pole figury F jest równe P, a pole figury G jest równe P1, to P=k2P1 oraz P1=1k2P.

Wykorzystamy teraz podane równości w zadaniach.

Przykład 8

Figury FG są podobne. Pole figury G jest równe 7. Oblicz pole figury F.

RvZxoFsZf8Pf21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Określamy najpierw skalę podobieństwa figur. W tym celu zaznaczamy w obu figurach odpowiadające sobie odcinki. Skala podobieństwa figury F do figury G jest równa stosunkowi długości tych odcinków.

RKeTeFGWF9OMA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli przyjmiemy, że długość małej kratki jest równa a, to

k=12a3a=4.

Zatem PF=k2PG, gdzie

PF – pole figury F

PG – pole figury G.

Stąd

PF=427=167=112.

Pole figury F jest równe 112.

Przykład 9

Pole rombu F jest równe 125. Romb ten jest podobny do rombu G, którego przekątne mają długości 25. Znajdź sumę długości przekątnych rombu F.
Oznaczmy:

  • PF – pole rombu F,

  • PG - pole rombu G,

  • k- skala podobieństwa rombu F do rombu G.

Wtedy

PF=k2PG
125=k21225
k2=25
k=25=5

bo

k>0.

Skala podobieństwa rombów jest równa 5. Oznacza to, że każda z przekątnych rombu F jest 5 razy dłuższa od odpowiedniej przekątnej rombu G.

Zatem długości przekątnych rombu F są równe 1025.

Suma długości tych przekątnych jest równa 35.

Przykład 10

Dwa wielokąty są podobne. Obwód pierwszego z nich jest równy 12, a pole 14. Obwód drugiego wielokąta jest równy 2. Oblicz pole drugiego wielokąta.

Obliczamy skalę k podobieństwa wielokątów.

k=122=6.

Obliczamy pole P2 drugiego wielokąta.

P2=16214
P2=1436=718.

Pole drugiego wielokąta jest równe 718.

Przykład 11

Skala podobieństwa dwóch kwadratów jest równa 0,5. Oblicz długość boku mniejszego kwadratu, jeżeli różnica pól tych kwadratów wynosi 27.

Niech P oznacza pole mniejszego kwadratu. Wtedy pole większego kwadratu PW to

PW=10,52P.

Zatem

PW=1122P=22P=4P.

Korzystamy z tego, że różnica pól tych kwadratów jest równa 27 i wyznaczamy pole mniejszego kwadratu i długość a jego boku.

PW-P=27
4P-P=27
3P=27
P=9
a2=9
a=3

bo

a>0.

Długość boku mniejszego kwadratu jest równa 3.

Przykład 12

Podstawy trapezu równoramiennego ABCD mają długości 10 cm18 cm.

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie E. Wysokość trójkąta DEC jest równa 4 cm. Oblicz pole trapezu.

RnZW8ym3PRKvA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że trójkąty AEBDEC mają równe kąty: kąty AEBDEC to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary, kąty EDCEBA to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych, podobnie kąty EABDCA. Na podstawie cechy kkk stwierdzamy, że trójkąty AEBDEC są podobne.

Skala podobieństwa k tych trójkątów jest równa stosunkowi długości ich podstaw.

k=1810=95.

Stosunek wysokości tych trójkątów jest równy skali podobieństwa.

Hh=k
H4=95
5H=36/:5
H=7,2 cm.

Wysokość trapezu jest równa sumie wysokości trójkątów AEBDEC.

H+h=7,2+4
H+h=11,2cm.

Obliczamy pole trapezu.

P=1218+1011,2
P=122811,2
P=1411,2
P=156,8 cm2.

Pole trapezu jest równe 156,8 cm2.

Przykład 13

Jezioro Śniardwy to największe jezioro w Polsce. Powierzchnia tego jeziora jest równa około 113,4 km2. Na mapie powierzchnia ta jest równa 0,126 cm2. W jakiej skali wykonana jest mapa?

Zapisujemy najpierw powierzchnię jeziora w cm2.

1 km = 1000 m= 1000100 cm= 100000 cm = 105 cm 
1 km2 = 105105 cm2 = 1010 cm2
113,4 km2 =113,41010 cm2.

Obliczamy kwadrat skali podobieństwa figury, w kształcie której jest jezioro na mapie, i figury, w kształcie której jest powierzchnia jeziora w rzeczywistości.

k2=0,126113,41010=19001010=191012.

Obliczamy skalę podobieństwa tych figur.

k=19000000000000=13000000.

Skala mapy jest równa obliczonej skali podobieństwa.

Mapa wykonana jest więc w skali 1 : 3 000 000.

R12ilPd0jwtBw1
Ćwiczenie 1
Figura F jest podobna do figury G w skali 1:7. Ile wynosi stosunek pola figury G do pola figury F? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 1:49 , 2. 1:7 , 3. 7:1 , 4. 49:1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R47dXsVsUxWY32
Ćwiczenie 2
Wiadomo, że A=-5,2, B=1,2, C=1,6. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta EFG w skali 2:1. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole trójkąta ABC jest dwukrotnie mniejsze od pola trójkąta EFG., 2. Pole trójkąta EFG jest dwukrotnie mniejsze od pola trójkąta ABC., 3. Suma pola trójkąta ABC i pola trójkąta EFG jest równa 15 ., 4. Różnica pola trójkąta ABC i pola trójkąta EFG jest mniejsza od 10 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsiTEI2Sqwd0v1
Ćwiczenie 3
Pole koła zwiększono stukrotnie. Co z tego wynika? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Promień koła zwiększono stukrotnie., 2. Obwód koła zwiększono dziesięciokrotnie., 3. Średnicę koła zwiększono dwudziestokrotnie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rjpo9rcFFz3SY2
Ćwiczenie 4
Pole powierzchni kwadratowej działki pani A jest 25 razy większe od pola kwadratowej działki pani B. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Należy kupić Tu uzupełnij razy więcej siatki na odgrodzenie działki pani A, niż działki pani B.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RvUF4WbfrQGNi1
Ćwiczenie 5
Stosunek obwodów dwóch kół jest równy 0,75. Ile wynosi stosunek pola większego koła do mniejszego? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 25:16 , 2. 16:9 , 3. 4:3 , 4. 7:5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Płytka terakoty jest w kształcie sześciokąta foremnego. Płytka glazury ma również kształt sześciokąta foremnego.

RtRdrDvBBY7DI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RtTbu3KApaRs1
W sześciokątach tych dłuższe przekątne są odpowiednio równe 10 cm8 cm. Ile razy większe jest pole powierzchni płytki terakoty od pola powierzchni płytki glazury? Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. Pt=2516Pg, 2. Pt=54Pg, 3. Pt=108Pg, 4. Pt=1512Pg
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoS2GMbC5NqZt2
Ćwiczenie 7
Trapez ABCD jest podobny do trapezu EFGH w skali 4,5. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Obwód trapezu ABCD jest 4,5 razy większy od obwodu trapezu  EFGH., 2. Wysokość trapezu  EFGH stanowi 49 wysokości trapezu ABCD., 3. Pole trapezu ABCD stanowi 814 pola trapezu EFGH., 4. Pole trapezu ABCD jest o 7781 większe od pola trapezu EFGH.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8
R1ZrcojCBNOKV
Trójkąt ABC o bokach długości 15 cm, 17 cm, 8 cm jest podobny do trójkąta EFG. Pole trójkąta EFG jest równe 15 cm2. Jaką długość mają boki trójkąta EFG? Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. Długości boków trójkąta EFG wynoszą: 7,5 cm, 4 cm, 8,5 cm., 2. Długości boków trójkąta EFG wynoszą: 22,5 cm, 12 cm, 25,5 cm., 3. Długości boków trójkąta EFG wynoszą: 15 cm, 17 cm, 8 cm., 4. Długości boków trójkąta EFG wynoszą: 30 cm, 34 cm, 16 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXLQn9uPE4hc41
Ćwiczenie 9
Przekątne rombu R są równe 24 cm12 cm. Pole rombu W jest równe 64 cm2. Jaką długość ma dłuższa przekątna rombu W? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 10 2 3  cm  , 2. 12  cm  , 3. 16  cm  , 4. 36  cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
R1BtAqaEOcfhY
Prostokąt ABCD jest podobny w skali k do prostokąta ABCD, którego pole wynosi 144 cm2. Oblicz pole prostokąta ABCD dla podanej skali. Połącz skalę z odpowiadającą jej wartością pola prostokąta. k=2 Możliwe odpowiedzi: 1. 1,44 cm2, 2. 288 cm2, 3. 576 cm2, 4. 9 cm2 k=14 Możliwe odpowiedzi: 1. 1,44 cm2, 2. 288 cm2, 3. 576 cm2, 4. 9 cm2 k=0,1 Możliwe odpowiedzi: 1. 1,44 cm2, 2. 288 cm2, 3. 576 cm2, 4. 9 cm2 k=2 Możliwe odpowiedzi: 1. 1,44 cm2, 2. 288 cm2, 3. 576 cm2, 4. 9 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 11
RH4xMerr5mv0x
Równoległobok ABCD jest podobny do równoległoboku ABCD w skali 32. Jaki jest stosunek pól tych równoległoboków? Zaznacz wszystkie odpowiedzi zawierające prawidłowe rozwiązania. Możliwe odpowiedzi: 1. 214, 2. 49, 3. 112, 4. 23
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1W8iX0WfATYN2
Ćwiczenie 12
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Dowolne dwa czworokąty o równych polach są podobne., 2. Dowolne dwa wielokąty podobne mają jednakowe pola., 3. Dowolne dwa sześciokąty foremne o jednakowych polach są podobne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 13
R1dxSXNn3ap2Y
W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną długości c na dwa odcinki, z których jeden ma długość x. Oblicz pole tego trójkąta. Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. P=c2xc-x, 2. P=12c-x2, 3. P=c2c-x, 4. P=12xc-x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1H2N93AY4Yiw3
Ćwiczenie 14
Prostokątną fotografię o wymiarach 12 cm na 18 cm powiększono na kserografie tak, że jej szerokość jest równa 21 cm. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Pole powiększonej fotografii wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
R45O7V9Wt7luf
Wycinek W koła o promieniu 6 cm ma pole równe 6π cm2. Wycinek M koła o promieniu 8 cm ma pole równe 32/3π cm2. Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Wycinki te 1. wynosi 2:4, 2. wynosi 1:4, 3. są, 4. nie istnieje, 5. wynosi 6:8, 6. nie są do siebie podobne. Zatem ich skala podobieństwa 1. wynosi 2:4, 2. wynosi 1:4, 3. są, 4. nie istnieje, 5. wynosi 6:8, 6. nie są.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16
Rw59DQVfhoIMo
Koło K1 jest podobne do koła K2 w skali k=3. Ile wynosi pole koła K2, jeśli wiadomo, że wycinkowi koła K1 o polu 6π odpowiada kąt środkowy o mierze 60°? Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 4π, 2. 9π, 3. 2π, 4. 8π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17
RJXJFCNdYnGA0
Dwa sześciokąty foremne mają pola równe 36 oraz 18. Oblicz długości boków tych sześciokątów oraz określ skalę podobieństwa promieni okręgów wpisanych w te sześciokąty. Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. Długości boków tych sześciokątów to odpowiednio 22342 34. Skala podobieństwa to k=2., 2. Długości boków tych sześciokątów to odpowiednio 2 2342 43. Skala podobieństwa to k=2., 3. Długości boków tych sześciokątów to odpowiednio 4 3243 32. Skala podobieństwa to k=3., 4. Długości boków tych sześciokątów to odpowiednio 4 2342 24. Skala podobieństwa to k=3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RejlDxygzMdfk
Ćwiczenie 18
Podstawami trapezu ABCD są odcinki ABCD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ASB jest równe 25, pole trójkąta DSC jest równe 9. Ile wynosi pole tego trapezu? Zaznacz odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 64, 2. 136, 3. 34, 4. 56
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.