Kąty w figurach, przekątne

W tym materiale zawarte są wiadomosci dotyczące kątów, przekątnych i pól wielokątów. Poznasz:

• twierdzenie o liczbie przekątnych wielokąta i jego zastosowanie,

• twierdzenia dotyczące sumy miar kątów w różnych wielokątach.

Suma miar kątów trójkąta

Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa $180°$.

Dowód

Rozważmy dowolny trójkąt $ABC$. Rysujemy prostą równoległą do boku $AB$, która przechodzi przez wierzchołek $C$.

R2G0uZFMGsNWi1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi kątami wewnętrznymi alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B i gamma przy wierzchołku C. Narysowana prosta równoległa do boku AB przechodzi przez wierzchołek C. Pomiędzy bokiem AC trójkąta a prostą jest kąt zewnętrzny delta a pomiędzy bokiem BC a prostą kąt zewnętrzny epsilon.

Kąty $\delta$ i $\alpha$ są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie $\epsilon =\beta$.

R13ZJsr5C4SLz1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi kątami wewnętrznymi alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B i gamma przy wierzchołku C. Narysowana prosta równoległa do boku AB przechodzi przez wierzchołek C. Pomiędzy bokiem AC trójkąta a prostą jest kąt zewnętrzny delta a pomiędzy bokiem BC a prostą kąt zewnętrzny epsilon.

Suma miar kątów $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ jest równa $180°$.

Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$. Zastanówmy się teraz, czy można znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego.
W  tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.

R19M3GmnHo1WG1

Rysunki trzech wielokątów: czworokąt z jedną przekątną, pięciokąt z dwoma przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka, sześciokąt z trzema przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka. Wszystkie wielokąty zostały podzielone na trójkąty.

Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o $2$ mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta.
Zatem $n$ - kąt wypukły można podzielić na $\left(n-2\right)$ trójkąty. Suma miar kątów $n$ - kąta jest więc równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa $180°$.

Ciekawostka

Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypadku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można postąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten podział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wychodzące z jednego wierzchołka.

R8se7JR9RPLBF1

Rysunek przedstawia jedenastokąt, który jest wklęsły. Podzielonego go na 9 różnych trójkątów. Przedstawiona figura ma nieregularne kształty.

Ten wielokąt został podzielony na $9$ trójkątów, suma miar jego kątów jest równa $1620°$.

Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?

R1Kefbe1K9bxG1

Rysunek przedstawia dziewięciokąt o bokach różnej długości. Z jednego z wierzchołków dziewięciokąta poprowadzono wszystkie możliwe przekątne tej figury. Powstało w ten sposób sześć przekątnych.

Ten wielokąt ma $9$ wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić $6$ przekątnych. Z wybranego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do tego wybranego wierzchołka.
Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $3$. Rozpatrzmy dowolny $n$-kąt wypukły. Ponieważ mamy $n$ wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić $n-3$ przekątne, więc ze wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić $n\left(n-3\right)$ przekątne. Jednak w ten sposób każdą z przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych $n$ - kąta wypukłego jest równa

RMFwWJqbkUAxn1

Rysunek dziewięciokąta z zaznaczonymi wszystkimi przekątnymi.

Przekątna $AB$ wychodzi zarówno z wierzchołka $A$, jak i z wierzchołka $B$.

Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach.
Rozważmy dowolny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.

R4UyhWeN81jXt1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego wszystkie boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono wewnętrzny kąt ostry alfa.

Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi $\alpha .$ Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe, zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.

R1DmI94YkR9nB1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt ostry alfa. Przy pozostałych wierzchołkach B, C, D zaznaczono kąty zewnętrzne odpowiadające kątowi alfa.

Kąty $BCD$ i $\alpha$ są wierzchołkowe, więc $\left|\sphericalangle BCD\right|=\alpha$.
Oznaczmy miarę kąta $ADC$ przez $\beta$. Miara kąta $CBA$ także jest równa $\beta$.

R1emSIahbb8bH1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołkach A i C zaznaczono kąt ostry alfa. Przy wierzchołkach B i D zaznaczono kąt rozwarty beta oraz kąt zewnętrzny odpowiadający kątowi alfa.

Kąty $\beta$ i $\alpha$ są przyległe, zatem $\alpha +\beta =180°$.

Rozważmy trapez $ABCD$.
Niech $\alpha$, $\beta$ będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego trapezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów $\alpha$ i $\beta$. Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, to miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.

R17CCUi9UvIJ71

Rysunek trapezu A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie kąt alfa i kąt beta są kątami zewnętrznymi trapezu.

Kąt $CDA$ jest przyległy do kąta $\alpha$, zatem

Kąt $BCD$ jest przyległy do kąta $\beta$, zatem

RlLNijNHNicjy1

Rysunek trapezu A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie kąt alfa i kąt beta są kątami zewnętrznymi trapezu. Kąty wewnętrzne przy górnej podstawie są kątami przyległymi do alfa i beta, więc ich miary są równe 180 stopni minus alfa i 180 stopni minus beta.

 Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu

Twierdzenie:  Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa $180°$.

RqkAeFHeI0YgS1

Rysunek trapezu A B C D. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie miara kątów wynosi 180 stopni minus alfa i 180 stopni minus beta.

Rozpatrzmy romb $ABCD$. Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty naprzemianległe. Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

RZvojQxIzSg5j1

Rysunek rombu A B C D, którego przekątna AC dzieli kąt ostry rombu na dwa kąty alfa i beta.

W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt $ACD$ jest równoramienny, a jako równoramienny ma kąty przy podstawie $AC$ równe, czyli $\alpha =\beta$. Przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $DCB$ i $DAB$. Podobnie, przekątna $DB$ zawiera się w dwusiecznej kąta $ADC$ i $ABC$.
Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc

RaovWesc7FxLz1

Rysunek rombu A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD oraz katami wewnętrznymi 2 alfa i 180 minus 2 alfa. Przekątne przecinają się w punkcie S.

W trójkącie $ADS$ kąt $DAS$ ma miarę $\alpha$, a kąt $ADS$ ma miarę $90°-\alpha$.
Zatem miara kąta $ASD$ jest równa

Możemy więc sformułować twierdzenie

Pola wielokątów

Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.

• Pole równoległoboku

gdzie $a$ jest długością jednego z boków oraz $h$ jest wysokością opuszczoną na ten bok.

R1Hlj5jIJA5cz1

Rysunek równoległoboku A B C D umieszczonego w prostokącie A E C F.

Umieśćmy równoległobok $ABCD$ w prostokącie $AECF$, jak pokazano na rysunku. Trójkąty $ADF$ i $CBE$ są przystające, czyli

Oznaczmy $\left|BE\right|=x$.
Pole równoległoboku obliczamy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów $ADF$ i $CBE$. Z tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach $h$, $x$. Pole równoległoboku jest równe

• Pole trójkąta

gdzie $a$ jest jednym z boków trójkąta, a $h$ jest wysokością opuszczoną na ten bok.

R14ozVWgIlXAG1

Rysunek trójkątów A B D i B C D, które mają wspólny bok BD. Trójkąt A B C ma podstawę długości a i wysokość opuszczoną na ten bok h.

Podzielmy równoległobok $ABCD$ przekątną $DB$ na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty $ABD$ i $BCD$ są przystające, ponieważ mają boki tej samej długości. Zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.

• Pole trapezu

gdzie $a$, $b$ są długościami podstaw trapezu, a $h$ jest jego wysokością.

RYyM0WthjnNzV1

Rysunek trapezu A B C D podzielonego przekątną BD na dwa trójkąty o polach P z indeksem dolnym jeden i P z indeksem dolnym dwa.

Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę $a$, drugi podstawę $b$ oraz oba mają tę samą wysokość $h$.

Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym

gdzie $d_1$, $d_2$ są przekątnymi tego czworokąta.

RZMD7KBt5TmuU1

Rysunek czworokąta A B C D umieszczonego w prostokącie E F G H. W czworokącie zaznaczono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie S.

Czworokąt $ABCD$ umieścimy w prostokącie $EFGH$, którego boki są równoległe do przekątnych. Prostokąt $EFGH$ jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przystających:

• trójkąt $ASD$ jest przystający do trójkąta $DHA$,

• trójkąt $CSD$ jest przystający do trójkąta $DGC$,

• trójkąt $CSB$ jest przystający do trójkąta $BFC$,

• trójkąt $ASB$ jest przystający do trójkąta $BEA$.

Pole czworokąta $ABCD$ jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta $EFGH$, skąd otrzymujemy