Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Materiał zawiera ćwiczenia sprawdzające umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu. Jeśli potrzebujesz informacji jak należy postępować, aby odczytać z wykresu wartości największe i najmniejsze, dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe skorzystaj z poniższej ilustracji interaktywnej lub zajrzyj do materiału Odczytywanie własności funkcji z wykresu - przykładyDhpHrPMp5Odczytywanie własności funkcji z wykresu - przykłady.

RfpNh2Iu3JJmI

Ilustracja interaktywna 1. Zbiór wartości funkcji Zbiór wartości to zbiór wszystkich igreków dla których wykres „rozciąga się” wzdłuż osi

Y

. Może być on zbiorem punktów, przedziałem lub sumą przedziałów. Końce przedziałów mogą być domknięte lub otwarte., 2. Największa wartość funkcji Największa wartość funkcji odczytywana jest z osi

Y

. Może być osiągana dla jednego argumentu, ale również dla całego przedziału., 3. Dziedzina funkcji Dziedzina jest zbiorem argumentów i określamy ją biorąc pod uwagę, w jakim zbiorze przedstawiony wykres „rozciąga się” wzdłuż osi

X

. Dziedzina funkcji może być zbiorem punktów, przedziałem lub sumą przedziałów. Końce przedziałów mogą być otwarte lub domknięte., 4. Najmniejsza wartość funkcji Najmniejsza wartość funkcji odczytywana jest z osi

Y

. Może być osiągana dla jednego argumentu, ale również dla całego przedziału., 5. Miejsca zerowe funkcji Miejsce zerowe to pierwsza współrzędna (odcięta) punktu, który jest miejscem przecięcia wykresu z osią

X

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższymi pojęciami na podstawie wykresu funkcji.

Opis wykresu:

Na rysunku przedstawiona jest pozioma oś X od minus sześć do sześć oraz pionowa oś Y od minus czterech do pięciu. Wykres funkcji składa się z trzech ukośnych i jednego poziomego odcinka. Pierwszy odcinek ma obydwa końce w zamalowanych punktach o współrzędnych $(- 4, - 3)$ oraz $(1, 2)$ . Drugi odcinek ma obydwa końce w zalakowanych punktach o współrzędnych $(1, 2)$ oraz $(2, 2)$ . Trzeci odcinek ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych $(2, 2)$ oraz $(3, - 1)$ . Ostatni odciek również ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych $(3, - 1)$ oraz $(5, 5)$ . Na wykresie jest zaznaczony jest zbiór wartości i jest to przedział od $⟨ - 3, 5 ⟩$ , największa wartość osiągana jest dla argumentu $x = 5$ i jest równa $5$ . Dziedziną funkcji jest przedział $⟨ - 4, 5 ⟩$ . Miejscami zerowymi są: $x = - 1$ , $x = 2 \frac{2}{3}$ oraz $x = 3 \frac{1}{3}$ . Najmniejsza wartość osiągana jest dla argumentu $x = - 4$ i jest równa $- 3$ .

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości to zbiór wszystkich „igreków” dla których wykres „rozciąga się” wzdłuż osi $Y$ . Może być on zbiorem punktów, przedziałem lub sumą przedziałów. Końce przedziałów mogą być domknięte lub otwarte.

Największa wartość funkcji:

Największa wartość funkcji odczytywana jest z osi $Y$ . Może być osiągana dla jednego argumentu, ale również dla całego przedziału.

Dziedzina funkcji :

Dziedzina jest zbiorem argumentów i określamy ją biorąc pod uwagę, w jakim zbiorze przedstawiony wykres „rozciąga się” wzdłuż osi $X$ . Dziedzina funkcji może być zbiorem punktów, przedziałem lub sumą przedziałów. Końce przedziałów mogą być otwarte lub domknięte.

Najmniejsza wartość funkcji:

Najmniejsza wartość funkcji odczytywana jest z osi $Y$ . Może być osiągana dla jednego argumentu, ale również dla całego przedziału.

Miejsca zerowe funkcji:

Miejsca zerowe funkcji to miejsca przecięcia wykresu z osią $X$ .

R22CAAKkS4gcU1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzBNhy2Cp4moI1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $y = f (x)$ .

R1IridJdNXNms1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Wykres funkcji f składa się z czterech ukośnych odcinków. Od lewej mamy: odcinek pierwszy ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych -3,2 i -2,1, odcinek drugi ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych -2,1 i 0,3, odcinek trzeci jest lewostronnie otwarty i z lewej strony ogranicza go niezamalowany punkt o współrzędnych 0,0, a jego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych 1,-1. Czwarty odcinek ma końce w zamalowanych punktach o współrzędnych 1,-1 oraz 3,-2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RveAbTAFLhHXc

$"⟨"- 3, 3"⟩"$
$"⟨"- 2, 3"⟩"$
$"⟨"- 2, 0"⟩" \cup "⟨"1, 3"⟩"$
$"⟨"- 2"", ""0) \cup "⟨"1, 3"⟩"$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Rysunek przedstawia wykres funkcji $g$ .

RLmjAtpB9nEFp1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Wykres funkcji g składa się z łamanej o końcach w zamalowanych punktach. Kolejne wierzchołki czytane od lewej mają współrzędne: -4,2, -3,2, -1,1, 2,-2, 3,3 oraz 4,-1.. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dana jest funkcja wzorem $g (x) = - 2 x - 1$ .

RUtAxodBxMlRD

$g (- 3) < g (- 4)$
$g (- 2) < g (4)$
$g (1) < g (- 1)$
$g (0) < g (2)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R2ZxnfHWcOab1

Magda postanowiła stworzyć wykres funkcji pokazujący jak w pierwszych pięciu dniach stycznia zmieniała się temperatura powietrza. Dane zapisała w tabeli

dzień	temperatura
$1$	$- 1$
$2$	$2$
$3$	$1$
$4$	$0$
$5$	$- 3$

Rw9FeMeTCTgHt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $k$ .

RfHtpAvp6tJrt1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Wykres funkcji k składa się z czterech ukośnych odcinków i jednego pionowego odcinka. Pierwszy odcinek ma obydwa krańce w zamalowanym punkcie o współrzędnych -2,2 oraz -1,-2, drugi odcinek ma krańce w zamalowanych punktach o współrzędnych -1,-2 oraz 0,0. Trzeci odcinek jest pionowy o krańcach w zamalowanych punktach 0,0 oraz 2,0. Czwarty odcinek ma również dwa krańce w zamalowanych punktach 2,0 oraz 212,-1. Ostatni odcinek ma krańce w zamalowanych punktach 212,-1 oraz <math3,3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1H7iPavA8aAv

$k (x) = - 0,5$
$k (x) = 0$
$k (x) = 0,5$
$k (x) = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $h$ .

R1KywV8GqIIBZ1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Wykres funkcji h składa się z czterech ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek ma obydwa krańce w zamalowanych punktach o współrzędnych -3,-1 oraz -1,2, drugi odcinek ma krańce w zamalowanych punktach o współrzędnych -1,2 oraz 0,0, trzeci odciek ma krańce w zamalowanych punktach o współrzędnych 0,0 oraz 1,-3. Ostatni odcinek ma krańce w zamalowanych punktach o współrzędnych 1,-3 oraz 3,1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfCOtk8Kbq2u5

$1$
$0$
$- 1$
$2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNtvByvVHQKJY2

Ćwiczenie 7

R1TU30HkVo8IW2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RnaZ0a2kG0MeL1

R1PNyfqC6lGOA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g$ .

RuuWEUQRuTukA1

R1GEVQI0XXSO3

Uzupełnij poniższe zdania korzystając z wykresu funkcji. Wpisz odpowiednie liczby w luki. Funkcja

g

przyjmuje wartość równą

0

dla

x =

Tu uzupełnij oraz dla każdego

x

z przedziału

⟨

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

. Funkcja

g

przyjmuje wartość równą

1

dla

x =

Tu uzupełnij oraz dla

x =

Tu uzupełnij. Funkcja

g

przyjmuje wartość równą

- 1

dla każdego

x

z przedziału

⟨

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

⟩

. Funkcja

g

przyjmuje wartość równą

2

dla

x =

Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Z wykresu funkcji $h$ odczytaj

najmniejszą wartość tej funkcji,
dla jakich $x$ funkcja $h$ przyjmuje wartości niedodatnie,
jakie wartości przyjmuje funkcja $h$ dla każdego z argumentów dodatnich.

R109gxeMEIv8Q1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funkcji składa się z siedmiu punktów leżących w pierwszej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Są to punkty o współrzędnych (-3,-1), (-2,-1), (-1,-2), (0,-1), (1,0), (2,1) oraz (3,3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16wAA7q360lz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeanalizuj punkty zaznaczone na wykresie i sprawdź, który z nich ma najmniejszą wartość.
Wartości niedodatnie to takie, które są mniejsze lub równe zero.

Argumenty dodatnie to $1$ , $2$ , $3$ i $4$ . Odczytaj z wykresu odpowiadające im wartości.

Argumenty dodatnie to te większe od zera. Odczytaj z podanych współrzędnych odpowiadające im wartości.

$- 2$
dla $x \in \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 4\}$
$h (1) = 0$ , $h (2) = 1$ , $h (3) = 3$ , $h (4) = 0$

Ćwiczenie 11

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $k$ .

R1IAPTukhE4Kf1

Wykres funkcji w postaci krzywej leżącej w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Największą wartość funkcja przyjmuje w punkcie o współrzędnych (1, 2). Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie o współrzędnych (-1, -2). Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych (-2, 0), (3, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcmNaYTTJRkMZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12ZLg1tZ0mEy2

Ćwiczenie 11

Połącz w pary elementy tak aby tworzyły zdania prawdziwe. Funkcja

f (x) = x - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. nie jest wykresem funkcji ciągłej., 2. osiąga zero, jedno lub dwa miejsca zerowe., 3. osiąga wartość największą i najmniejsza na swojej dziedzinie., 4. przyjmuje wartość

0

dla argumentu

x = - 2

x = 0

oraz

x = 2

. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, zatem funkcja Możliwe odpowiedzi: 1. nie jest wykresem funkcji ciągłej., 2. osiąga zero, jedno lub dwa miejsca zerowe., 3. osiąga wartość największą i najmniejsza na swojej dziedzinie., 4. przyjmuje wartość

0

dla argumentu

x = - 2

x = 0

oraz

x = 2

. Wykres funkcji w postaci punktów Możliwe odpowiedzi: 1. nie jest wykresem funkcji ciągłej., 2. osiąga zero, jedno lub dwa miejsca zerowe., 3. osiąga wartość największą i najmniejsza na swojej dziedzinie., 4. przyjmuje wartość

0

dla argumentu

x = - 2

x = 0

oraz

x = 2

. Funkcja

f (x) = 2 x^{3} - 8 x

0

dla argumentu

x = - 2

x = 0

oraz

x = 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $t$ .

R5QmdPQXTtkje1

R1KpdlNx0c5N8

Uzupełnij poniższe zdania korzystając z wykresu funkcji. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłową liczbę. Najmniejszą wartością funkcji

t

w przedziale

⟨- 3, - 1⟩

jest 1.

- 2

, 2.

2

, 3.

- 2

, 4.

3

, 5.

0

, 6.

2

, 7.

1

, 8.

- 1

.
Najmniejszą wartością funkcji

t

w przedziale

⟨- 1, 1⟩

jest 1.

- 2

, 2.

2

, 3.

- 2

, 4.

3

, 5.

0

, 6.

2

, 7.

1

, 8.

- 1

.
Najmniejszą wartością funkcji

t

w przedziale

⟨0, 2⟩

jest 1.

- 2

, 2.

2

, 3.

- 2

, 4.

3

, 5.

0

, 6.

2

, 7.

1

, 8.

- 1

.
Najmniejszą wartością funkcji

t

w przedziale

⟨1, 3⟩

jest 1.

- 2

, 2.

2

, 3.

- 2

, 4.

3

, 5.

0

, 6.

2

, 7.

1

, 8.

- 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Dany jest wykres funkcji $f$ .

R7GmHJMDdFLmQ1

RVm5z7jN9wkCW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji, odczytaj:

zbiór wartości tej funkcji,
wszystkie argumenty, dla których funkcja $h$ przyjmuje wartości ujemne,
dla ilu argumentów funkcja $h$ przyjmuje wartość $2$ ,
wszystkie argumenty, dla których funkcja $h$ przyjmuje wartości większe od $1$ .

RexC694RHQwhv1

Wyznacz przedział, w którym znajdują się wszystkie wartości tej funkcji.
Odczytaj, dla jakich argumentów wykres funkcji leży pod osią $X$ .
Określ, ile punktów na wykresie ma drugą współrzędną równą $2$ .
Odczytaj argumenty, dla których wykres funkcji leży nad prostą $y = 1$ .

Zbiorem wartości funkcji $h$ jest suma przedziałów $⟨- 1, 0) \cup ⟨1, 3)$ .
Funkcja $h$ przyjmuje wartości ujemne dla argumentów $x \in ⟨1, 2)$ .
Funkcja przyjmuje wartość $2$ dla dwóch argumentów.
Funkcja $h$ osiąga wartości większe od $1$ dla argumentów $x \in (- 3, - 2) \cup (2, 4)$ .

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $t$ . Odczytaj z wykresu

wartość $t (\sqrt{2})$
znak $t (- 0, 3)$
wartość iloczynu $t (\frac{25}{17}) \cdot t (- \frac{34}{29})$
znak różnicy $t (π) - t (3 - π)$

R16G3pFalDMW91

RtDIkYYRbuXn3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z przybliżonej wartości $\sqrt{2}$ , aby wyznaczyć wartość dla podanego argumentu
Oceń, na jakim przedziale występuję podany argument. Oceniając znak punktu nie trzeba znać jego dokładnej wartości.
Oceń, do jakich przedziałów należą podane wartości i oblicz ich iloczyn.
Aby wyznaczyć znak różnicy, skorzystaj z przybliżonej wartości liczby $π = 3, 14$ .

$1$
$t (- 0, 3) < 0$
$0$
$t (π) - t (3 - π) > 0$

Ćwiczenie 16

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RRZmnRuzVnToQ1

RCR0fZHpd8foe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Wykres funkcji $g$ przedstawiony jest na rysunku. Ustal liczbę rozwiązań równania $g (x) = m$ w zależności od $m$ .

RTyTJmMqF4NGn1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Wykres funkcji g składa się z dwóch ukośnych odcinków, krzywej oraz jednego punktu leżącego poza wymionami obiektami. Pierwszy odcinek jest prawostronnie otwarty, czy lewy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych -2,3, a prawy koniec jest ograniczony przez punkt -1,-1. Lewy koniec krzywej jest ograniczony przez punkt -1,-1 a prawy znajduje się w punkcie 2,-1. Krzywa ma kształt łuku o wierzchołku w punkcie 12,1. Końce drugiego odcinka znajdują się w zamalowanych punktach o współrzędnych 2,-1 oraz 3,2. Punkt ma współrzędne -1,2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuzzEPZTLzyBQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeanalizuj podany wykres pod kątem liczby rozwiązań. Ustal, dla jakich wartości parametru $m$ prosta $y = m$ przecina wykres w czterech, trzech, dwóch, jednym lub żadnym punkcie. Rozważ wszystkie przypadki.

dla $m < - 1$ lub $m > 3$ liczba rozwiązań jest równa $0$ (równanie nie ma rozwiązań),

dla $m = - 1$ oraz $m \in (2, 3⟩$ jest $1$ rozwiązanie,

dla $m \in (1, 2)$ są $2$ rozwiązania,

dla $m = 1$ oraz dla $m = 2$ są $3$ rozwiązania,

dla $m \in (- 1, 1)$ są $4$ rozwiązania.

Ćwiczenie 18

Sporządź przykładowy wykres funkcji, której dziedziną jest zbiór $\{- 2, 3\}$ , a zbiorem wartości jest zbiór $\{- 3, 1\}$ .

RxENKcxS99AEr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję przykładowego wykresu funkcji, którego dziedziną jest zbiór $\{- 2, 3\}$ , a zbiorem wartości jest zbiór $\{- 3, 1\}$ .

R1GPvb7FdQo7w1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Wykres funkcji składa się z dwóch punktów -2,-3 oraz 3,1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Sporządź przykładowy wykres funkcji, która posiada dwa miejsca zerowe, a jej dziedziną jest zbiór $\{- 4; 0\}$ .

RC9hRqB2sbedR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję przykładowego wykresu funkcji, który posiada dwa miejsca zerowe, a jej dziedziną jest zbiór $\{- 4; 0\}$ .

RhQcqbN6optWO1

Ćwiczenie 20

Sporządź przykładowy wykres funkcji, której największa wartość wynosi $3$ , a najmniejsza wartość wynosi $- 1$ .

Rx6v8Pt4kOqW3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję przykładowego wykresu funkcji, której największa wartość wynosi $3$ , a najmniejsza wartość wynosi $- 1$ .

RXNTsCmlzooHW1

Przykładowe rozwiązanie : Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Wykres funkcji składa się z jednego ukośnego odcinka. Odcinek jest domknięty, którego oba krańce znajdują się w zamalowanych punktach $(- 1, 3)$ oraz $(2, - 1)$ .

Ćwiczenie 21

Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:

Opisz konstrukcję przykładowego wykresu funkcji spełniającego warunki:

w przedziale $(- 4, 0)$ funkcja jest dodatnia
dziedzina funkcji to $(- 4, 0) \cup (0, 5⟩$
zbiór wartości funkcji to $\{- 2, 0, 1\}$

R1FTawHLjRkCs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz podaną dziedzinę i zbiór wartości w układzie współrzędnych. Uwzględnij fakt, że funkcja w przedziale $(- 4, 0)$ ma być dodatnia, czyli z podanego zbioru wartości może przyjmować jedynie wartość równą $1$ .

Uwzględnij podaną dziedzinę i zbiór wartości w układzie współrzędnych. Pamiętaj, że funkcja w przedziale $(- 4, 0)$ ma być dodatnia, czyli z podanego zbioru wartości może przyjmować jedynie wartość równą $1$ .

RNlD4qoBGQQaL1

Ćwiczenie 22

Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane warunki:

Opisz konstrukcję przykładowego wykresu funkcji spełniającego warunki:

dziedziną funkcji jest $(- 1, 1) \cup (1, 5⟩$
zbiór wartości to $\{- 2, 0, 1\}$
funkcja posiada dwa miejsca zerowe
funkcja osiąga minimum tylko dla $x = 2$

RWsqOGOaB4dpo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCS0b7yfj65MR

Przykładowe rozwiązanie : przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z poziomego odcinka, z którego wyjęto 5 punktów oraz z trzech punktów leżących poza odcinkiem. Początek odcinka ma współrzędne -1,1 i oznaczony jest niezamalowanym punktem, koniec odcinka ma współrzędne5,1 i oznaczony jest zamalowanym punktem. Z odcinka wyjęto 4 punkty, które oznaczono na odcinku niezamalowanymi punktami. Mają one następujące współrzędne: 1,1, 2,1, 3,1 oraz 4,1. Kolejne składowe wykresu to 3 punkty o współrzędnych 2,-23,0 oraz 4,0. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.