Wyrażenia wymierne. Równania wymierne - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Wyrażenia wymierne

Rozważając zależności między różnymi wielkościami, mamy do czynienia również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne. Na przykład wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu w ruchu jednostajnym, w którym ta droga została przebyta.

Przykład 1

Miejscowości $A$ i $B$ są odległe o $154 km$ . W połowie drogi między nimi znajduje się miejscowość $C$ . Rowerzysta przejechał drogę z $A$ do $C$ , przy czym wartość jego średniej prędkości na trasie z $A$ do $C$ była o $6 \frac{km}{h}$ większa niż wartość średniej prędkości na trasie z $C$ do $B$ .

Przyjmując, że wartość średniej prędkości tego rowerzysty na trasie z $C$ do $B$ była równa $v \frac{km}{h}$ , wyrazimy za pomocą $v$ wartość jego średniej prędkości na całej trasie z $A$ do $B$ .

Z warunków zadania wnioskujemy, że czas $t_{1}$ (w godzinach) przejazdu rowerzysty z $A$ do $C$ to

t_{1} = \frac{77}{v + 6}

Natomiast czas $t_{2}$ (w godzinach) jego przejazdu z $C$ do $B$ to

t_{2} = \frac{77}{v}

Zatem średnia prędkość $V$ tego rowerzysty na trasie z $A$ do $B$ jest równa

V = \frac{154}{\frac{77}{v + 6} + \frac{77}{v}}

Wyrażenie to przekształcamy następująco

\frac{154}{\frac{77}{v + 6} + \frac{77}{v}} = \frac{154}{\frac{77 v + 77 (v + 6)}{(v + 6) v}} = \frac{154 (v + 6) v}{77 (v + v + 6)} = \frac{154 (v + 6) v}{77 \cdot 2 (v + 3)} = \frac{(v + 6) v}{v + 3}

Wobec tego

V = \frac{(v + 6) v}{v + 3}

W powyższym przykładzie, przy zapisie czasów $t_{1}$ i $t_{2}$ oraz prędkości średniej $V$ , wystąpiły wyrażenia wymierne $t_{1} = \frac{77}{v + 6}$ , $t_{2} = \frac{77}{v}$ , $V = \frac{(v + 6) v}{v + 3}$ . Każde z nich jest zapisane w postaci ilorazu, a w mianowniku każdego z tych wyrażeń występuje zmienna $v$ .

Zauważmy, że dla każdej wartości $v$ (która jako wartość prędkości jest dodatnia), wyrażenia te są określone. Gdyby na przykład ten rowerzysta jechał z $C$ do $B$ ze średnią prędkością $v = 22 \frac{km}{h}$ , to jego średnia prędkość na trasie z $A$ do $C$ byłaby równa $28 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość na całej trasie z $A$ do $B - V = \frac{28 \cdot 22}{25} \frac{km}{h} = 24,64 \frac{km}{h}$ . Nie jest to, jak widać, średnia arytmetyczna wartości prędkości na trasach z $A$ do $B$ i z $B$ do $C$ .

Przykład 2

Rowerzysta przejechał drogę z $A$ do $B$ . W połowie drogi między miejscowościami $A$ i $B$ znajduje się miejscowość $C$ . Przyjmując, że na trasie z $A$ do $C$ rowerzysta jechał ze średnią prędkością $v_{1} \frac{km}{h}$ , a na trasie z $C$ do $B$ – ze średnią prędkością $v_{2} \frac{km}{h}$ , zapiszemy wartość jego średniej prędkości na całej trasie z $A$ do $B$ .

Oznaczmy przez $s$ drogę z $A$ do $B$ .

Z warunków zadania wnioskujemy, że czas $t_{1}$ (w godzinach) przejazdu rowerzysty z $A$ do $C$ to

t_{1} = \frac{\frac{s}{2}}{v_{1}} = \frac{s}{2 v_{1}}

Natomiast czas $t_{2}$ (w godzinach) jego przejazdu z $C$ do $B$ to

t_{2} = \frac{\frac{s}{2}}{v_{2}} = \frac{s}{2 v_{2}}

Zatem średnia prędkość $V$ tego rowerzysty na trasie z $A$ do $B$ jest równa

V = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{\frac{s}{2 v_{1}} + \frac{s}{2 v_{2}}} = \frac{s}{\frac{s v_{2} + s v_{1}}{2 v_{1} v_{2}}} = \frac{s \cdot 2 v_{1} v_{2}}{s (v_{1} + v_{2})}

czyli wyraża się wzorem

V = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}

Liczba $\frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$ to tzw. średnia harmoniczna liczb dodatnich $v_{1}$ , $v_{2}$ .

Przykład 3

Wielkość dodatnia $a$ jest wyrażona w zależności od wielkości dodatnich $b$ i $c$ następującym wzorem

a = \frac{3 b c}{b + 2 c}

Przyjmując, że to jest możliwe, wyrazimy

$b$ w zależności od $a$ i $c$ ,
$c$ w zależności od $a$ i $b$ .

Przekształcamy dany wzór do postaci $a (b + 2 c) = 3 b c$ , stąd $a b + 2 a c = 3 b c$ . Zatem

$2 a c = 3 b c - a b$ , a więc $b \cdot (3 c - a) = 2 a c$ , co oznacza, że $b = \frac{2 a c}{3 c - a}$ , gdy $3 c - a \neq 0$ ,
$a b = 3 b c - 2 a c$ , a więc $c \cdot (3 b - 2 a) = a b$ , co oznacza, że $c = \frac{a b}{3 b - 2 a}$ , gdy $3 b - 2 a \neq 0$ .

Równanie wymierne

Równaniem wymiernym z niewiadomą $x$ nazywamy równanie, które można sprowadzić do postaci

\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} = 0

gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ są wielomianami, przy czym $W_{2}$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia

W_{2} (x) \neq 0

Rozwiążemy kilka takich równań.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie

\frac{2}{3 x + 1} = \frac{1}{8}

Wyrażenie $\frac{2}{3 x + 1}$ , zapisane po lewej stronie równania, jest określone, gdy $x \neq - \frac{1}{3}$ .

Mnożymy obie strony danego równania przez $8 \cdot (3 x + 1)$ bo $8 \cdot (3 x + 1) \neq 0$ , stąd

3 x + 1 = 2 \cdot 8

Oznacza to, że $3 x = 15$ , czyli $x = 5$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone, więc liczba $5$ jest szukanym rozwiązaniem danego równania.

Uwaga. Po zapisaniu warunku $x \neq - \frac{1}{3}$ można skorzystać z własności proporcji i w ten sposób przekształcić równoważnie dane równanie do postaci

3 x + 1 = 2 \cdot 8

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x - 2}

Wyrażenia zapisane w równaniu: $\frac{2}{x + 1}$ i $\frac{3}{x - 2}$ są określone, gdy $x \neq - 1$ i $x \neq 2$ .

Ponieważ $(x + 1) (x - 2) \neq 0$ , to mnożymy obie strony danego równania przez $(x + 1) \cdot (x - 2)$ , stąd

2 (x - 2) = 3 (x + 1)

Otrzymujemy $2 x - 3 x = 3 + 4$ , czyli $x = - 7$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone, więc liczba $x = - 7$ jest szukanym rozwiązaniem danego równania.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

\frac{x + 1}{x - 5} = \frac{3 x - 8}{2 x + 8}

Wyrażenia zapisane w równaniu: $\frac{x + 1}{x - 5}$ i $\frac{3 x - 8}{2 x + 8}$ są określone, gdy $x \neq 5$ i $x \neq - 4$ .

Mnożymy obie strony danego równania przez $(x - 5) \cdot (2 x + 8)$ , stąd

(2 x + 8) (x + 1) = (x - 5) (3 x - 8)

Wobec tego

2 x^{2} + 10 x + 8 = 3 x^{2} - 23 x + 40

x^{2} - 33 x + 32 = 0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: $Δ = 3 3^{2} - 4 \cdot 32 = 961 = 3 1^{2}$ , więc równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{33 - 31}{2} = 1$ oraz $x_{2} = \frac{33 + 31}{2} = 32$ .

Dla tych wartości $x$ obie strony równania są określone, więc równanie $\frac{x + 1}{x - 5} = \frac{3 x - 8}{2 x + 8}$ ma dwa rozwiązania: $1$ oraz $32$ .

Przykład 7

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $\frac{x}{x - 1} = 2 x - 3$ .

Wyrażenie $\frac{x}{x - 1}$ jest określone, gdy $x \neq 1$ .

Mnożymy obie strony danego równania przez liczbę $x - 1$ różną od zera, stąd

x = (2 x - 3) (x - 1)

Wobec tego

x = 2 x^{2} - 3 x - 2 x + 3

2 x^{2} - 6 x + 3 = 0

Wyróżnik tego równania jest dodatni: $Δ = 36 - 24 = 12$ , więc równanie ma dwa rozwiązania.

Ponieważ $\sqrt{Δ} = 2 \sqrt{3}$ jest liczbą niewymierną, to każde z tych rozwiązań

$x_{1} = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

jest liczbą niewymierną. Zatem równanie $\frac{x}{x - 1} = 2 x - 3$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie $\frac{2}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{4}{x (x + 1)} + \frac{3 x - 2}{x (x - 1)}$ .

Wyrażenia $\frac{2}{(x - 1) (x + 1)}, \frac{4}{x (x + 1)}$ i $\frac{3 x - 2}{x (x - 1)}$ zapisane w równaniu są określone, gdy $x \neq 0, x \neq 1$ i $x \neq - 1 .$

Mnożymy obie strony danego równania przez $x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ wyrażenie różne od zera, stąd

2 x = 4 (x - 1) + (3 x - 2) (x + 1)

Wobec tego

2 x = 4 x - 4 + 3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2

3 x^{2} + 3 x - 6 = 0

x^{2} + x - 2 = 0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: $∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 2) = 9 = 3^{2}$ , więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 .$

Tylko dla wartości $x = - 2$ obie strony równania $\frac{2}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{4}{x (x + 1)} + \frac{3 x - 2}{x (x - 1)}$ są określone, więc to równanie ma jedno rozwiązanie: $x_{1} = - 2$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{(x - 4) (x - 1)} + \frac{1}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12} .$

Na początku odnotujmy, że wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq 4$ , $x \neq 1$ , $x \neq - 2$ , $x \neq - 5$ .

Przedstawimy dwa sposoby rozwiązania tego równania.

sposób $I$

Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy najpierw pierwszy składnik do drugiego, a następnie otrzymaną sumę dodajemy do składnika trzeciego:

(\frac{x + 2}{(x - 4) (x - 1) (x + 2)} + \frac{x - 4}{(x - 4) (x - 1) (x + 2)}) + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}

\frac{2 (x - 1)}{(x - 4) (x - 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}

Pierwszy ułamek możemy skrócić, bo $x - 1 \neq 0$

\frac{2}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}

\frac{2 (x + 5)}{(x - 4) (x + 2) (x + 5)} + \frac{x - 4}{(x - 4) (x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}

\frac{3 (x + 2)}{(x - 4) (x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}

\frac{3}{(x - 4) (x + 5)} = \frac{1}{12}

Stąd

(x - 4) (x + 5) = 36

czyli

x^{2} + x - 56 = 0 .

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 7$ oraz $x_{2} = - 8$ . Dla tych wartości $x$ obie strony danego równania są określone, zatem są to jedyne rozwiązania danego równania.

sposób $II$

Zauważmy, że różnice wyrażeń zapisanych w mianownikach każdego z trzech ułamków stojących po lewej stronie równania są stałe i równe $3$ . Wykorzystamy ten fakt do przekształcenia równania. Pomnożymy najpierw obie strony równania przez $3$ :

\frac{3}{(x - 4) (x - 1)} + \frac{3}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{4}

Następnie zapiszemy w liczniku różnice wyrażeń z mianownika

\frac{(x - 1) - (x - 4)}{(x - 4) (x - 1)} + \frac{(x + 2) - (x - 1)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{(x + 5) - (x + 2)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{4}

Każde z trzech wyrażeń zapiszemy jako różnicę dwóch ułamków

\frac{(x - 1)}{(x - 4) (x - 1)} - \frac{(x - 4)}{(x - 4) (x - 1)} + \frac{(x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{(x - 1)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{(x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} - \frac{(x + 2)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{4}

a po skróceniu otrzymanych ułamków uporządkujemy lewą stronę równania

\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}

\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}

Po pomnożeniu obu stron otrzymanego równania przez $4 (x - 4) (x + 5)$ otrzymujemy:

4 (x + 5) - 4 (x - 4) = (x + 5) (x - 4)

4 x + 20 - 4 x + 16 = x^{2} + 5 x - 4 x - 20

x^{2} + x - 56 = 0

Jak wiemy z rozwiązania poprzednim sposobem, to równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 7$ oraz $x_{2} = - 8 .$ Są to jedyne rozwiązania równania $\frac{1}{(x - 4) (x - 1)} + \frac{1}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{1}{12}$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie

\frac{1}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x + 5} + \frac{1}{2 x + 6} = 0

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - \frac{3}{2}$ , $x \neq - 2$ , $x \neq - \frac{5}{2}$ , $x \neq - 3$ .

Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia parami: pierwsze do ostatniego, a drugie do trzeciego:

\frac{2 x + 6 + 2 x + 3}{(2 x + 3) (2 x + 6)} + \frac{2 x + 5 + 2 x + 4}{(2 x + 4) (2 x + 5)} = 0

Stąd

\frac{4 x + 9}{(2 x + 3) (2 x + 6)} + \frac{4 x + 9}{(2 x + 4) (2 x + 5)} = 0

(4 x + 9) (\frac{1}{(2 x + 3) (2 x + 6)} + \frac{1}{(2 x + 4) (2 x + 5)}) = 0

a więc $4 x + 9 = 0$ lub $\frac{1}{(2 x + 3) (2 x + 6)} + \frac{1}{(2 x + 4) (2 x + 5)} = 0$ .

Rozwiązując równanie $\frac{1}{(2 x + 3) (2 x + 6)} + \frac{1}{(2 x + 4) (2 x + 5)} = 0$ , otrzymujemy

\frac{1}{(2 x + 3) (2 x + 6)} = \frac{- 1}{(2 x + 4) (2 x + 5)}

(2 x + 4) (2 x + 5) = - (2 x + 3) (2 x + 6)

4 x^{2} + 18 x + 19 = 0

Stąd $x_{1} = - \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}, x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} .$ Zatem równanie ma dwa rozwiązania: $- \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}$ oraz $- \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}$ .

Ćwiczenie 1

RYSMYEObFJeWT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFZtTWVXXTu8r

Dopasuj asymptoty pionowe do podanych funkcji.

f (x) = \frac{1}{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

f (x) = \frac{1}{x + 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

f (x) = 2 + \frac{1}{x - \frac{1}{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

f (x) = - 1 - \frac{1}{x + 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

f (x) = 1 - \frac{1}{x + 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

f (x) = 1 - \frac{1}{x - 3, 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 3 \frac{1}{2}

, 3.

x = - 4

, 4.

x = \frac{1}{2}

, 5.

x = 0

, 6.

x = - 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcRlnePQwcSSy1

Ćwiczenie 2

$\frac{1}{2 x + 3}$
$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$
$\frac{3 x}{(x + 1) (x + 2)}$
$\frac{2 x + 3}{(x + 1) (x + 2)}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16FkdPhzU8eN1

Ćwiczenie 3

$- 11$
$- 4$
$4$
$11$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKeNg1eg3IB251

Ćwiczenie 4

nie ma rozwiązań
ma dokładnie jedno rozwiązanie
ma dokładnie dwa rozwiązania
ma dokładnie trzy rozwiązania

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnJRtFSyHcGtL1

Ćwiczenie 5

$- 1$
$1$
$3$
$5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10n1ELPVW6CC1

Ćwiczenie 6

$x = \frac{3 yz}{2 - z}$
$x = \frac{2 - z}{3 yz}$
$x = \frac{z - 2}{3 yz}$
$x = \frac{3 yz}{z - 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaTRPl3UW4t121

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSRZPqSxbgT2H1

Ćwiczenie 8

$2$
$1$
$0$
$- 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5TJ2jIbFHbPd1

Ćwiczenie 9

nie ma rozwiązań
ma dokładnie jedno rozwiązanie
ma dokładnie dwa rozwiązania
ma dokładnie trzy rozwiązania

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RORORT33RMdTY

Rozwiąż równania, a następnie uzupełnij je, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{7}{x - 2} = \frac{6}{x + 3}

, rozwiązanie to

x =

13

, 2.

- \frac{17}{2}

, 3.

- \frac{19}{2}

, 4.

- 35

, 5.

- 33

, 6.

2

, 7.

4

, 8.

11

\frac{3}{x - 5} = \frac{1}{x + 4}

, rozwiązanie to

x =

13

, 2.

- \frac{17}{2}

, 3.

- \frac{19}{2}

, 4.

- 35

, 5.

- 33

, 6.

2

, 7.

4

, 8.

11

\frac{12}{7 x + 10} = \frac{5}{3 x + 4}

, rozwiązanie to

x =

13

, 2.

- \frac{17}{2}

, 3.

- \frac{19}{2}

, 4.

- 35

, 5.

- 33

, 6.

2

, 7.

4

, 8.

11

\frac{7}{4 - 3 x} = \frac{5}{1 - 2 x}

, rozwiązanie to

x =

13

, 2.

- \frac{17}{2}

, 3.

- \frac{19}{2}

, 4.

- 35

, 5.

- 33

, 6.

2

, 7.

4

, 8.

11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $7 (x + 3) = 6 (x - 2)$ , stąd $x = - 33$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $3 (x + 4) = x - 5$ , stąd $x = - \frac{17}{2}$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $12 (3 x + 4) = 5 (7 x + 10)$ , stąd $x = 2$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $7 (1 - 2 x) = 5 (4 - 3 x)$ , stąd $x = 13$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.

Ćwiczenie 11

RpZhZ6WAGDmrR

Rozwiąż równania, a następnie uzupełnij je, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{x}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 3}

, rozwiązanie to

x =

\frac{13}{11}

, 2.

- \frac{1}{3}

, 3.

\frac{17}{13}

, 4.

\frac{50}{83}

, 5.

\frac{25}{81}

, 6.

- \frac{1}{5}

\frac{8 x + 9}{11 - 4 x} = \frac{7 - 2 x}{x + 3}

, rozwiązanie to

x =

\frac{13}{11}

, 2.

- \frac{1}{3}

, 3.

\frac{17}{13}

, 4.

\frac{50}{83}

, 5.

\frac{25}{81}

, 6.

- \frac{1}{5}

\frac{3 x - 4}{2 - x} = \frac{7 - 6 x}{2 x + 5}

, rozwiązanie to

x =

\frac{13}{11}

, 2.

- \frac{1}{3}

, 3.

\frac{17}{13}

, 4.

\frac{50}{83}

, 5.

\frac{25}{81}

, 6.

- \frac{1}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $x (x + 3) = (x - 1) (x + 1)$ , stąd $x^{2} + 3 x = x^{2} - 1$ , a więc $x = - \frac{1}{3}$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $(8 x + 9) (x + 3) = (11 - 4 x) (7 - 2 x)$ , stąd $8 x^{2} + 33 x + 27 = 8 x^{2} - 50 x + 77$ , a więc $x = \frac{50}{83}$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $(3 x - 4) (2 x + 5) = (7 - 6 x) (2 - x)$ , stąd ${6 x}^{2} + 7 x - 20 = {6 x}^{2} - 19 x + 14$ , a więc $x = \frac{17}{13}$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.

Ćwiczenie 12

Wielkości $x$ , $y$ łączy zależność $x y + 2 x - 3 y + 5 = 0$ . Wyraź:

$x$ w zależności od $y$ i ustal, dla jakich $y$ otrzymane wyrażenie jest określone,
$y$ w zależności od $x$ i ustal, dla jakich $x$ otrzymane wyrażenie jest określone.

R1JgBMPS261v8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz z danego równania najpierw $x$ , a potem $y$ .

$x = \frac{3 y - 5}{y + 2}$ , dla $y \neq - 2$ ,
$y = \frac{- 2 x - 5}{x - 3}$ , dla $x \neq 3$ .

Ćwiczenie 13

Wielkości dodatnie $a$ , $b$ , $c$ łączy zależność $a = \frac{b + 2 c}{b - c}$ . Wyraź

$b$ w zależności od $a$ i $c$ ,
$c$ w zależności od $a$ i $b$ .

RTvoc8Sv8Zc6T

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz z danego równania najpierw $b$ , a potem $c$ .

$b = \frac{2 c + a c}{a - 1}$ , dla $a \neq 1$ ,
$c = \frac{b (a - 1)}{a + 2}$ , dla $a \neq - 2$ .

Ćwiczenie 14

R1RC5ZC1kWggi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $x = (x + 1) (x + 4)$ , stąd $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ , a więc $x = - 2$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $3 x - 1 = (x - 5) (4 x - 7)$ , stąd ${2 x}^{2} - 15 x + 18 = 0$ , a więc $x = \frac{3}{2}$ lub $x = 6$ . Dla każdej z tych wartości $x$ obie strony równania są określone.

Ćwiczenie 15

R1aic4GDtZrQ0

Rozwiąż równania. Przeciągnij w luki odpowiednie wyrażenia lub wybierz te wyrażenia z listy rozwijalnej.

\frac{2 x - 5}{x - 1} = \frac{3 x - 3}{x + 5}

, rozwiązanie to 1.

x = - 9

lub

x = - 2

, 2.

x = 6

lub

x = 2

, 3.

x = 2

lub

x = 5

, 4.

x = 7

lub

x = 9

, 5.

x = 5

lub

x = 7

, 6.

x = 4

lub

x = 7

\frac{2 x + 5}{x - 4} = \frac{5 x + 12}{3 x - 6}

, rozwiązanie to 1.

x = - 9

lub

x = - 2

, 2.

x = 6

lub

x = 2

, 3.

x = 2

lub

x = 5

, 4.

x = 7

lub

x = 9

, 5.

x = 5

lub

x = 7

, 6.

x = 4

lub

x = 7

\frac{3 x + 1}{x + 4} = \frac{9 x - 29}{4 x - 11}

, rozwiązanie to 1.

x = - 9

lub

x = - 2

, 2.

x = 6

lub

x = 2

, 3.

x = 2

lub

x = 5

, 4.

x = 7

lub

x = 9

, 5.

x = 5

lub

x = 7

, 6.

x = 4

lub

x = 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $(2 x - 5) (x + 5) = (3 x - 3) (x - 1)$ , stąd $x^{2} - 11 x + 28 = 0,$ a więc $x = 4$ lub $x = 7$ . Dla każdej z tych wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $(2 x + 5) (3 x - 6) = (x - 4) (5 x + 12)$ , stąd $x^{2} + 11 x + 18 = 0,$ a więc $x = - 2$ lub $x = - 9$ . Dla każdej z tych wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $(3 x + 1) (4 x - 11) = (x + 4) (9 x - 29)$ , stąd $x^{2} - 12 x + 35 = 0,$ a więc $x = 5$ lub $x = 7$ . Dla każdej z tych wartości $x$ obie strony równania są określone.

Ćwiczenie 16

RWoq0epqwsj3w

Rozwiąż każde z równań i połącz je z odpowiednim rozwiązaniem.

\frac{4}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} = \frac{5 x + 11}{x^{2} - 9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 1

, 2. Równanie nie ma rozwiązań, 3. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

2

i różną od

- 2

\frac{3}{x + 2} + \frac{4}{x - 2} = \frac{7 x + 2}{x^{2} - 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 1

, 2. Równanie nie ma rozwiązań, 3. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

2

i różną od

- 2

\frac{5}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3 x - 4}{x^{2} - 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 1

, 2. Równanie nie ma rozwiązań, 3. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

2

i różną od

- 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $4 (x - 3) + 6 (x + 3) = 5 x + 11$ , stąd $x = 1$ . Dla tej wartości $x$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $3 (x - 2) + 4 (x + 2) = 7 x + 2$ , stąd $7 x + 2 = 7 x + 2$ . Otrzymane równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od $2$ i różną od $- 2$ .
Przekształcamy równanie: $5 (x - 1) - 2 (x + 1) = 3 x - 4$ , stąd $3 x - 7 = 3 x - 4$ . Otrzymane równanie jest sprzeczne, zatem dane równanie nie ma rozwiązań.

Ćwiczenie 17

R1EA4wmLXLgh0

Rozwiąż równanie i połącz je z odpowiednimi rozwiązaniami.

\frac{4}{x + 2} - \frac{7}{2 - x} = \frac{11 x + 6}{x^{2} - 4}

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

- 2

i różną od

2

, 2.

x = - \frac{5}{2}

, 3. Równanie nie ma rozwiązań

\frac{x}{x + 2} - \frac{x - 4}{2 - x} = \frac{2 - 5 x}{x^{2} - 4}

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

- 2

i różną od

2

, 2.

x = - \frac{5}{2}

, 3. Równanie nie ma rozwiązań

\frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2 x - 12}{x^{2} - 9}

Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie jest spełnione przez każdą liczbę różną od

- 2

i różną od

2

, 2.

x = - \frac{5}{2}

, 3. Równanie nie ma rozwiązań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $4 (x - 2) + 7 (x + 2) = 11 x + 6$ , stąd $11 x + 6 = 11 x + 6$ . Otrzymane równanie jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą różną od $- 2$ i różną od $2$ .
Przekształcamy równanie: $x (x - 2) + (x - 4) (x + 2) = 2 - 5 x$ , stąd $2 x^{2} + x - 10 = 0$ , a więc $x = 2$ lub $x = - \frac{5}{2}$ . Tylko dla $x = - \frac{5}{2}$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $(x + 1) (x - 3) - (x - 2) (x + 3) = 2 x - 12,$ stąd $- 5 x = - 15,$ a więc $x = 3$ . Dla tej wartości $x$ nie są określone wyrażenia $\frac{x - 2}{x - 3}$ oraz $\frac{2 x - 12}{x^{2} - 9}$ , zatem dane równanie nie ma rozwiązań.

Ćwiczenie 18

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania
$\frac{2 x}{3 x - 2} = 4 x + 3$ .

RwLY0QVT49Jck

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód. Wyrażenie $\frac{2 x}{3 x - 2}$ jest określone, gdy $x \neq \frac{2}{3}$ .

Przekształcamy równanie: $2 x = (3 x - 2) (4 x + 3)$ , stąd $12 x^{2} - x - 6 = 0$ , więc $x = - \frac{2}{3}$ lub $x = \frac{3}{4}$ .

Żadna z tych liczb nie jest całkowita, co oznacza, że równanie $\frac{2 x}{3 x - 2} = 4 x + 3$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Ćwiczenie 19

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $\frac{x}{x + 1} = 3 x - 2$ .

R1OmU91TJMwkf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód. Wyrażenie $\frac{x}{x + 1}$ jest określone, gdy $x \neq - 1$ .

Przekształcamy równanie: $x = 3 x (x + 1) - 2 (x + 1)$ , stąd $3 x^{2} = 2$ , więc $x = - \sqrt{\frac{2}{3}}$ lub $x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Żadna z tych liczb nie jest całkowita, co oznacza, że równanie $\frac{x}{x + 1} = 3 x - 2$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Ćwiczenie 20

R18i8bmZxQnyn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równanie: $2 x - 5 (x + 3) = (x + 4) (x - 3)$ , stąd $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ , a więc $x = - 1$ lub $x = - 3$ . Tylko dla $x = - 1$ obie strony równania są określone.
Przekształcamy równanie: $7 x + (x - 4) (x + 5) = 4 (x - 2)$ , stąd $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ , a więc $x = - 6$ lub $x = 2$ . Tylko dla $x = - 6$ obie strony równania są określone.

Ćwiczenie 21

RExHSZoXzx032

Rozwiąż równanie i połącz je z odpowiednimi rozwiązaniami.

\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 4} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - \frac{7}{2}

x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}

, 2.

x = - \frac{5}{2}

x = \frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 5 - \sqrt{5}}{2}

, 3.

x = - \frac{9}{4}

x = \frac{- 9 + \sqrt{5}}{4}

x = \frac{- 9 - \sqrt{5}}{4}

, 4.

x = - \frac{1}{2}

x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

\frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 7} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - \frac{7}{2}

x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}

, 2.

x = - \frac{5}{2}

x = \frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 5 - \sqrt{5}}{2}

, 3.

x = - \frac{9}{4}

x = \frac{- 9 + \sqrt{5}}{4}

x = \frac{- 9 - \sqrt{5}}{4}

, 4.

x = - \frac{1}{2}

x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - \frac{7}{2}

x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}

, 2.

x = - \frac{5}{2}

x = \frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 5 - \sqrt{5}}{2}

, 3.

x = - \frac{9}{4}

x = \frac{- 9 + \sqrt{5}}{4}

x = \frac{- 9 - \sqrt{5}}{4}

, 4.

x = - \frac{1}{2}

x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

\frac{1}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x + 5} + \frac{1}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 6} = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - \frac{7}{2}

x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}

, 2.

x = - \frac{5}{2}

x = \frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 5 - \sqrt{5}}{2}

, 3.

x = - \frac{9}{4}

x = \frac{- 9 + \sqrt{5}}{4}

x = \frac{- 9 - \sqrt{5}}{4}

, 4.

x = - \frac{1}{2}

x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{5}}{2}

x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - 1$ , $x \neq - 2$ , $x \neq - 3$ , $x \neq - 4$ .
Przekształcamy równanie: $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 4} = - (\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3})$ , stąd $\frac{2 x + 5}{(x + 1) (x + 4)} = - \frac{2 x + 5}{(x + 2) (x + 3)}$ . Zatem $x = - \frac{5}{2}$ lub $(x + 1) (x + 4) = - (x + 2) (x + 3)$ . To drugie równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{5}}{2}$ .
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
$x \neq \frac{5}{2}$ , $x \neq \frac{1}{2}$ , $x \neq - \frac{3}{2}$ , $x \neq - \frac{7}{2}$ .
Przekształcamy równanie: $\frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x + 7} = - (\frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{2 x + 3})$ , stąd $\frac{4 x + 2}{(2 x - 5) (2 x + 7)} = - \frac{4 x + 2}{(2 x - 1) (2 x + 3)}$ . Zatem $x = - \frac{1}{2}$ lub $(2 x - 5) (2 x + 7) = - (2 x - 1) (2 x + 3)$ . To drugie równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- 1 + 2 \sqrt{5}}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 1 - 2 \sqrt{5}}{2}$ .
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - 3$ , $x \neq - 4$ , $x \neq - 2$ , $x \neq - 5$ .
Przekształcamy równanie: $\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 4} = - (\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5})$ , stąd $\frac{2 x + 7}{(x + 3) (x + 4)} = - \frac{2 x + 7}{(x + 2) (x + 5)}$ . Zatem $x = - \frac{7}{2}$ lub $(x + 3) (x + 4) = - (x + 2) (x + 5)$ . To drugie równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$ .
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy
$x \neq - \frac{5}{2}$ , $x \neq - \frac{3}{2}$ , $x \neq - 3$ , $x \neq - 2$ .
Przekształcamy równanie: $\frac{1}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x + 5} = - (\frac{1}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 6})$ , stąd $\frac{4 x + 9}{(2 x + 4) (2 x + 5)} = - \frac{4 x + 9}{(2 x + 3) (2 x + 6)}$ . Zatem $x = - \frac{9}{4}$ lub $(2 x + 4) (2 x + 5) = - (2 x + 3) (2 x + 6)$ . To drugie równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = \frac{- 9 + \sqrt{5}}{4}$ oraz $x_{2} = \frac{- 9 - \sqrt{5}}{4}$ .

Ćwiczenie 22

R9aniydbltztb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - 1$ , $x \neq - 2$ , $x \neq - 3$ , $x \neq - 4$ .

Przekształcamy równanie:

\frac{(x + 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{(x + 3) - (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x + 4) - (x + 3)}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{3}{10}

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4} = \frac{3}{10}

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 4} = \frac{3}{10}

10 (x + 4) - 10 (x + 1) = 3 (x + 4) (x + 1)

x^{2} + 5 x - 6 = 0

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 1$ oraz $x_{2} = - 6$ .

Ćwiczenie 23

R1OoHtK52HmMW

Rozwiąż równanie, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{1}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 3)} = - \frac{1}{3}

, to równanie 1. ma rozwiązanie dla wszystkich liczb rzeczywistych, 2. ma rozwiązanie dla wszystkich liczb rzeczywistych, 3. jest sprzeczne, 4. nie ma rozwiązań, 5. jest sprzeczne, 6. ma dwa rozwiązania.

\frac{1}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{1}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{1}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - 3$ , $x \neq - 1$ , $x \neq 1$ , $x \neq 3$ , $x \neq 5$ . Przekształcamy równanie:
$\frac{x - 1 + x - 5}{(x - 5) (x - 3) (x - 1)} + \frac{x + 3 + x - 1}{(x - 1) (x + 1) (x + 3)} = - \frac{1}{3}$
$\frac{2}{(x - 5) (x - 1)} + \frac{2}{(x - 1) (x + 3)} = - \frac{1}{3}$
$\frac{2 x + 6 + 2 x - 10}{(x - 5) (x - 1) (x + 3)} = - \frac{1}{3}$
$\frac{4}{(x - 5) (x + 3)} = - \frac{1}{3}$
$(x - 5) (x + 3) = - 12$
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .
Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = 3$ . Żadna z tych liczb nie jest rozwiązaniem danego równania.
Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy $x \neq - 3$ , $x \neq - 1$ , $x \neq 1$ , $x \neq 3$ , $x \neq 5$ . Postępując podobnie, jak w poprzednim podpunkcie, przekształcamy równanie do postaci $\frac{4}{(x - 5) (x + 3)} = \frac{1}{5}$ , stąd $(x - 5) (x + 3) = 20$ , czyli $x^{2} - 2 x - 35 = 0$ . Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = - 5$ oraz $x_{2} = 7$ , oba są pierwiastkami danego równania.