Zadania tekstowe z zastosowaniem równań wymiernych
W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego na jej wykonanie.
Praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra.
Efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna. W poniższych zadaniach jest to najczęściej towar lub usługa.
Wydajność pracy to wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).
Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam godziny, a następnie drugi pracował sam przez godzin, to wykonałyby razem całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
przez – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje całej pracy, drugi – całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu godzin, to
W ciągu godzin pierwszy automat wykonuje całej pracy, a drugi w ciągu godzin wykonuje całej pracy.
Ponadto po godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po godzinach samodzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie całej pracy, zatem
Wówczas
więc
Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy , stąd .
Odpowiedź: Pierwszy automat – godzin, drugi automat – godzin.
Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez godziny, to do zakończenia pracy musiałyby razem pracować jeszcze przez godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o godzin krótszym niż pierwszy automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Oznaczmy przez – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat. Wtedy to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Stąd
co prowadzi do równania
Tylko jedno rozwiązanie () otrzymanego równania spełnia warunki zadania.
Odpowiedź: Pierwszy automat – godzin, drugi automat – godzin.
Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o godzin i minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby pracy, którą wykonałby wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
przez – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Ponieważ w ciągu wspólnej pracy godziny automat wykonuje tego, co wykonuje drugi, to .
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje całej pracy, drugi – całej pracy.
Zatem kiedy automaty pracowały jeden po drugim, to pierwszy automat wykonał całej pracy.
Wobec tego drugi automat pracował wtedy przez godzin, czyli cała praca została wykonana w ciągu godzin.
Stąd gdyby oba automaty pracowały razem, to pracowałyby przez godzin. Ponieważ wtedy wykonałyby całą pracę, to
.
Odpowiedź: automat – godzin, automat – godzin.
Automat wykonał detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o detali więcej i wtedy wykona detali, pracując o minuty krócej.
W ciągu ilu godzin ten automat wykonał detali?
Rozwiązanie.
stąd , ( nie spełnia).
Odpowiedź: godziny.
Dwa automaty, pracując jednocześnie wykonały pewną liczbę detali. Aby wykonać taką liczbę detali, pracując samodzielnie pierwszy automat musiałby pracować razy dłużej, a drugi – o godzinę dłużej.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
Rozwiązanie.
stąd i .
Odpowiedź: automat: godzin, automat: godziny.