Jak zamienić ułamek zwykły na postać dziesiętną? Niektóre ułamki zwykłe bardzo ławo zamienić na liczby dziesiętne, czyli zapisać je w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.
Najłatwiej zrobić to z ułamkami dziesiętnymi, bo mają w mianowniku 10 , 100 , 1000 , … itd.
Na przykład:
7 10 = 0 ,7 ,
43 100 = 0 ,43 ,
25 1000 = 0 ,025 .
Jeżeli ułamek nie ma mianownika równego 10 , 100 , 1000 , … itd., ale da się go rozszerzyć do takiego mianownika, to zamiana również nie jest zbyt trudna.
Na przykład:
4 5 = 8 10 = 0 ,8 ,
9 20 = 45 100 = 0 ,45 ,
103 125 = 824 1000 = 0 ,824 .
Zamieniając liczbę mieszaną na liczbę dziesiętną, trzeba zająć się tylko zamianą ułamka. Całości po prostu przepisujemy.
Na przykład:
2 9 100 = 2 ,09 ,
16 7 250 = 16 28 1000 = 16 ,028 .
Aby zrozumieć poruszane w tym materiale zagadnienia, przypomnij sobie:
Ułamki zwykłe można zamieniać na liczby dziesiętne, dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.
7 8 = 0 ,875 , bo:
R1KC240D0fIOX 1 Rysunek przedstawia przykład: siedem ósmych = 0,875 bo siedem dzielone przez 8 = 0,875.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
9 2 = 4 ,5 , bo:
R1TtlEGk39dh8 1 Rysunek przedstawia przykład: dziewięć drugich = 4,5 bo 9 dzielone przez 2 = 4,5.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rb4LVfDuUSNz8 1 1
Ćwiczenie 1
Zapisz ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego. Uzupełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie wartości w puste pola.
Zapisz ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego. Uzupełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie wartości w puste pola.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1CN1t21IpVVU 1 1
Ćwiczenie 2
Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiedniej grupy ułamków zwykłych. 3 50 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 11 25 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 7 200 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 9 500 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44
Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiedniej grupy ułamków zwykłych. 3 50 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 11 25 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 7 200 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44 9 500 Możliwe odpowiedzi: 1. 0 , 035 , 2. 0 , 018 , 3. 0 , 06 , 4. 44 100 , 5. 35 1000 , 6. 18 1000 , 7. 6 100 , 8. 0 , 44
Przeciągnij i upuść ułamek dziesiętny oraz postać dziesiętną do odpowiednich ułamków zwykłych.
<span aria-label="początek ułamka, sześć, mianownik, sto, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mn>6</mn><mn>100</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, osiemnaście, mianownik, tysiąc, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mn>18</mn><mn>1000</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, tysiąc, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mn>35</mn><mn>1000</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="zero kropka cztery cztery" role="math"><math><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>44</mn></math></span>, <span aria-label="zero kropka zero jeden osiem" role="math"><math><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>018</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, czterdzieści cztery, mianownik, sto, koniec ułamka" role="math"><math><mfrac><mn>44</mn><mn>100</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="zero kropka zero trzy pięć" role="math"><math><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>035</mn></math></span>, <span aria-label="zero kropka zero sześć" role="math"><math><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>06</mn></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16DIObqDHVb3 1 1
Ćwiczenie 3
Zapisz liczby w postaci dziesiętnej. Wpisz rozwiązanie w puste pole. 1 3 5 = Tu uzupełnij4 1 2 = Tu uzupełnij8 7 20 = Tu uzupełnij10 12 50 = Tu uzupełnij15 6 25 = Tu uzupełnij22 11 200 = Tu uzupełnij83 23 500 = Tu uzupełnij100 3 250 = Tu uzupełnij
Zapisz liczby w postaci dziesiętnej. Wpisz rozwiązanie w puste pole. 1 3 5 = Tu uzupełnij4 1 2 = Tu uzupełnij8 7 20 = Tu uzupełnij10 12 50 = Tu uzupełnij15 6 25 = Tu uzupełnij22 11 200 = Tu uzupełnij83 23 500 = Tu uzupełnij100 3 250 = Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bgzESrCH9VY 1 1
Ćwiczenie 4
Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary liczby, które są sobie równe. 0 , 312 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 875 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 325 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 375 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 872 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8
Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary liczby, które są sobie równe. 0 , 312 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 875 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 325 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 375 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8 0 , 872 Możliwe odpowiedzi: 1. 3 8 , 2. 109 125 , 3. 13 40 , 4. 39 125 , 5. 7 8
Połącz w pary równe liczby.
<math><mfrac><mn>39</mn><mn>125</mn></mfrac></math>, <math><mfrac><mn>13</mn><mn>40</mn></mfrac></math>, <math><mfrac><mn>7</mn><mn>8</mn></mfrac></math>, <math><mfrac><mn>3</mn><mn>8</mn></mfrac></math>, <math><mfrac><mn>109</mn><mn>125</mn></mfrac></math>
0 , 312
0 , 875
0 , 325
0 , 375
0 , 872
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Co to jest rozwinięcie dziesiętne liczby? Zamieniając ułamek na postać dziesiętną, możemy postępować na dwa sposoby:
rozszerzyć ułamek do mianownika 10 , 100 , 1000 , … itd. i zapisać go z użyciem przecinka,
podzielić licznik przez mianownik ułamka, bo kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.
Przykład 1
RKidVCDM6mNOa Animacja
Animacja
Zamiana ułamków zwykłych na postać dziesiętną
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RKidVCDM6mNOa
Zamiana ułamków zwykłych na postać dziesiętną
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Przykład 2
Zamieńmy ułamek 3 40 na postać dziesiętną dwoma sposobami.
Rozszerzamy ułamek przez 25 .
3 40 = 75 1000 = 0 ,075
Dzielimy 3 przez 40 sposobem pisemnym.
3 40 = 0 ,075
RwVpT84drymod 1 Rysunek przedstawia przykład: trzy czterdzieste = 0,075 bo 3 dzielone przez 40 = 0,075.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3
Zamieńmy na postać dziesiętną ułamek 2 15 .
Możemy posłużyć się tylko drugim sposobem, dzieląc licznik przez mianownik.
2 15 = 0 ,133 …
RLM8rk3cKUDpk 1 Rysunek przedstawia przykład: dwie piętnaste = 0,133… bo 2 dzielone przez 15 = 0,133…
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W tym przypadku dzielenie się nie kończy. Gdybyśmy wykonywali je dalej, to cały czas powtarzałaby się cyfra 3 .
Ważne!
Rozwinięcie dziesiętne liczby, to zapis tej liczby w postaci dziesiętnej – z przecinkiem.
Niektóre liczby mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a niektóre nieskończone.
Przykłady liczb i ich rozwinięć dziesiętnych skończonych:
3 40 = 0 ,075 ,
5 3 40 = 5 ,075 .
2
Ćwiczenie 5
Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka, dzieląc pisemnie jego licznik przez mianownik.
19 20
37 50
13 25
29 125
2 3
5 6
2 11
4 9
RBxBjLn65F3iT (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Podziel pisemnie licznik przez mianownik. Jeżeli w trakcie dzielenia zauważysz, że pewna grupa cyfr znajdujących się po przecinku powtarza się, oznacza to, że jest to rozwinięcie okresowe.
Pokaż odpowiedź
0 ,95 ,
0 ,74 ,
0 ,52 ,
0 ,232 ,
0 ,66 … ,
0 ,833 … ,
0 ,1818 … ,
0 ,44 …
Jakie ułamki mają rozwinięcie skończone? RhXqJW6IO6Bt7 2 1
Ćwiczenie 6
Oblicz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych, dzieląc licznik przez mianownik. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości. 13 16 = Tu uzupełnij 57 80 = Tu uzupełnij 35 64 = Tu uzupełnij 39 40 = Tu uzupełnij 122 125 = Tu uzupełnij 61 250 = Tu uzupełnij
Oblicz rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych, dzieląc licznik przez mianownik. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości. 13 16 = Tu uzupełnij 57 80 = Tu uzupełnij 35 64 = Tu uzupełnij 39 40 = Tu uzupełnij 122 125 = Tu uzupełnij 61 250 = Tu uzupełnij
Uzupełnij rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków zwykłych, dzieląc licznik przez mianownik. Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator.
a) 13 16 = ............
b) 57 80 = ............
c) 35 64 = ................
d) 39 40 = ............
e) 122 125 = ............
f) 61 250 = ............
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W powyższym zadaniu wszystkie ułamki miały rozwinięcie dziesiętne skończone. O tym, że dzielenie licznika przez mianownik się skończy, decyduje mianownik ułamka.
Jeżeli rozłożymy mianowniki tych ułamków na czynniki pierwsze, to zauważymy pewną prawidłowość. Spróbuj ją odkryć rozwiązując kolejne zadanie.
2
Ćwiczenie 7
Rozłóż mianowniki podanych ułamków na czynniki pierwsze. Wykorzystaj metodę „z pionową kreską”.
13 16 ,
57 80 ,
35 64 ,
39 40 ,
122 125 ,
61 250 .
R1R56MqUM05Ob (Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, należy daną liczbę dzielić (bez reszty) przez liczby pierwsze do momentu, aż zostanie tylko liczba 1.
Pokaż odpowiedź
13 2 · 2 · 2 · 2 ,
57 2 · 2 · 2 · 2 · 5 ,
35 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ,
39 2 · 2 · 2 · 5 ,
122 5 · 5 · 5 ,
61 2 · 5 · 5 · 5 .
R1JxjNHG2qIny 3 1
Ćwiczenie 8
Z poniższych ułamków zaznacz te, które mają rozwinięcie dziesiętne skończone. Możliwe odpowiedzi: 1. 6 15 , 2. 5 32 , 3. 7 15 , 4. 35 56 , 5. 9 28 , 6. 13 16
6 15
5 32
7 15
35 56
9 28
13 16
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapisywanie liczb w różnej postaci RVhbmHtOdqmnW 3 1
Ćwiczenie 9
Uporządkuj poniższe ułamki od najmniejszego do największego. Elementy do uszeregowania: 1. 50 99 , 2. 377 750 , 3. 65 128 , 4. 53 105
Uporządkuj poniższe ułamki od najmniejszego do największego. Elementy do uszeregowania: 1. 50 99 , 2. 377 750 , 3. 65 128 , 4. 53 105
Uporządkuj ułamki od najmniejszego do największego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14xxRFNCyNU1 3
Ćwiczenie 10
Dostępne opcje do wyboru: > , > , < , < , > , < , > , < . Polecenie: Określ, która liczba jest większa. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiedni znak. 2 9 luka do uzupełnienia 0 , 22 13 20 luka do uzupełnienia 0 , 646 12 25 luka do uzupełnienia 0 , 44 5 6 luka do uzupełnienia 0 , 88 50 99 luka do uzupełnienia 0 , 0505
Dostępne opcje do wyboru: > , > , < , < , > , < , > , < . Polecenie: Określ, która liczba jest większa. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiedni znak. 2 9 luka do uzupełnienia 0 , 22 13 20 luka do uzupełnienia 0 , 646 12 25 luka do uzupełnienia 0 , 44 5 6 luka do uzupełnienia 0 , 88 50 99 luka do uzupełnienia 0 , 0505
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.