Zadania obliczeniowe oraz wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresu

Ten materiał poświęcony jest zadaniom związanym z obliczaniem i wyznaczaniem wzoru funkcji na podstawie jej wykresu. Przed przystąpieniem do rozwiązywania ćwiczeń możesz przeanalizować przykłady zawarte w materiałach o tej samej tematyce:

Proporcjonalność prostaD152ECUTnProporcjonalność prosta,
Przykłady zależności opisanych proporcjonalnością prostąDESCItwBpPrzykłady zależności opisanych proporcjonalnością prostą,
Definicja funkcji liniowejDA625ouQFDefinicja funkcji liniowej.

Zadania obliczeniowe

Proporcjonalność prosta

Definicja: Proporcjonalność prosta

Dwie wielkości nazywamy wprost proporcjonalnymi, gdy wraz ze wzrostem jednej wartości, druga rośnie tyle samo razy. Działa to też w drugą stronę: gdy pierwsza wielkość maleje, to druga maleje tyle samo razy.

R4ItHCkZkzozc1

Ćwiczenie 1

za $4$ kostki zapłacimy $16,80 z ł$
za $1$ kostkę zapłacimy $6,30 z ł$
za $6$ kostek zapłacimy więcej niż $20 z ł$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

W poniższej tabeli prezentowane są wprost proporcjonalne wielkości $x$ i $y$ .

**Funkcja liniowa**
$x$ :	$x_{1} = 1$	$x_{2} = 2$	$x_{3}$	$x_{4} = 10$
$y$ :	$y_{1}$	$y_{2} = 3$	$y_{3} = 9$	$y_{4}$

R13Gc42wXyUu8

$y_{1} = 2$
$x_{3} = 3$
$y_{4} = 15$
$\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości $x_{2}$ i $y_{2}$

$a = \frac{y_{2}}{x_{2}} = \frac{3}{2}$ .

Wynika stąd, że:

$y_{1} = a \cdot x_{1} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$ ,

$y_{3} = a \cdot x_{3} = \frac{3}{2} \cdot x_{3}$ ,

skąd:

$9 = \frac{3}{2} \cdot x_{3}$ ,
czyli:

$x_{3} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$

$y_{4} = a \cdot x_{4} = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15$ .

R6OjsSTvzjQ8y1

Ćwiczenie 3

obwód i średnica koła
krawędź sześcianu i jego objętość
bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt
pole kwadratu i pole koła na nim opisanego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1A7sHCEhOnaf1

Ćwiczenie 4

w ciągu $2$ godzin przejedzie $140 km$
w ciągu $30$ minut przejedzie $30 km$
w ciągu $10$ minut przejedzie $7 km$
w ciągu $5$ minut przejedzie więcej niż $5 km$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresu

Funkcja liniowa

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem

f (x) = a \cdot x + b

Ważne!

Wykresem funkcji liniowej zawsze jest pewna prosta.

Zapamiętaj!

Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a $b$ nazywamy jej współczynnikiem przesunięcia.

Do wyznaczenia wzoru funkcji liniowej przedstawionej na wykresie potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów, które należą do tego wykresu. Następnie budujemy dwa równania, podstawiając do wzoru funkcji liniowej współrzędne obu punktów, i tworzymy z nich układ równań. Rozwiązaniem takiego układu są współczynniki $a$ i $b$ .

Jeżeli w treści zadania mamy podane jakieś dodatkowe informacje na temat jednego ze współczynników, to do wyznaczenia wzoru funkcji wystarczy nam jeden punkt.

Rc5q2XYgr6Y9c1

Ćwiczenie 5

jest równoległy do prostej o równaniu $y = 2$
przechodzi przez punkt $(\sqrt{2}, 4)$
przecina wykres funkcji $g (x) = - 3 x + 2$ w punkcie leżącym na osi $Oy$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R14aWf3JwxrLL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres funkcji $y = 3 x + 2$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $3$ – jej wykres jest na rysunku $II$ .
Wykres funkcji $y = - 3 x + 2$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $(- 3)$ – jej wykres jest na rysunku $III$ .
Wykres funkcji $y = 3 x - 2$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $3$ – jej wykres jest na rysunku $I$ .
Prosta na rysunku $IV$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $(- 3)$ – jest to więc funkcja liniowa określona wzorem $y = - 3 x - 2$ .

RR3dAnZ5i0Q3k2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary opisy wykresów funkcji z odpowiadającymi im wzorami. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, 2)

i ma współczynnik kierunkowy

3

. Możliwe odpowiedzi: 1.

y = 3 x - 2

, 2.

y = 3 x + 2

, 3.

y = - 3 x - 2

, 4.

y = - 3 x + 2

Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, 2)

i ma współczynnik kierunkowy

- 3

. Możliwe odpowiedzi: 1.

y = 3 x - 2

, 2.

y = 3 x + 2

, 3.

y = - 3 x - 2

, 4.

y = - 3 x + 2

Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

3

. Możliwe odpowiedzi: 1.

y = 3 x - 2

, 2.

y = 3 x + 2

, 3.

y = - 3 x - 2

, 4.

y = - 3 x + 2

Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

- 3

. Możliwe odpowiedzi: 1.

y = 3 x - 2

, 2.

y = 3 x + 2

, 3.

y = - 3 x - 2

, 4.

y = - 3 x + 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SG7OJrnH2id2

Ćwiczenie 7

$A = (0, 2)$ , $B = (20, 2)$ , $C = (- 20, 2)$
$A = (0, 1)$ , $B = (1, 11)$ , $C = (2, 21)$
$A = (0, - 1)$ , $B = (- 1, - 3)$ , $C = (- 2, - 5)$
$A = (0, 1)$ , $B = (1, 2)$ , $C = (2, 4)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13jvLOi02Wc12

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1Oz2TPYcsGWK2

$0$
$- 3$
$- 6$
$- 9$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz współczynnik kierunkowy $a$ podstawiając do wzoru funkcji współrzędne podanego puntku $A$ , a następnie oblicz wartość tej funkcji dla argumentu $- 2$ .

R12b5965Si5ne2

Ćwiczenie 10

$24 zł$
$16 zł 80 gr$
$14 zł 20 gr$
$11 zł 20 gr$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Przedstawiona na rysunku prosta jest wykresem funkcji $f$ .

RaDAqcKY4YDzR1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji będący ukośną prostą przebiegającą na przykład przez punkty 0;0 oraz 2;5. Drugi z tych punktów jest zrzutowany na obie osie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LthdG6bizAJ

$f (x) = 2 x$
$f (x) = 5 x$
$f (x) = \frac{5}{2} x$
$f (x) = \frac{2}{5} x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc32qVye7AeOL2

Ćwiczenie 12

$(\frac{1}{2}, 2)$
$(\frac{1}{2}, 3)$
$(\frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2})$
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuOmAjbsQZkPu2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO3t1HBp5PgBw2

Ćwiczenie 14

$g (x) = 2 x - 3$
$g (x) = 2 x + 3$
$g (x) = 2 x - 6$
$g (x) = 2 x + 6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk3TXivDbVK6o2

Ćwiczenie 15

$m = 5$
$m = 3$
$m = - 3$
$m = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

RBrsOPzZ0BsU5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości $x$ i $y$

a = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{10}{- 6} = \frac{5}{- 3}

Wynika stąd, że:

$y_{1} = a \cdot x_{1} = - \frac{5}{3} \cdot (- 6) = 10$ , $y_{2} = a \cdot x_{2} = - \frac{5}{3} \cdot (- 3) = 5$ ,

$y_{3} = a \cdot x_{3} = - \frac{5}{3} \cdot (- 2) = \frac{10}{3}$ , $y_{4} = a \cdot x_{4} = - \frac{5}{3} \cdot (- 1) = \frac{5}{3}$ ,

$y_{5} = a \cdot x_{5} = - \frac{5}{3} \cdot 0 = 0$ , $y_{6} = a \cdot x_{6} = - \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{- 5}{3}$ ,

$y_{7} = a \cdot x_{7} = - \frac{5}{3} \cdot 2 = - \frac{10}{3}$ , $y_{8} = a \cdot x_{8} = - \frac{5}{3} \cdot 3 = - 5$ ,

$y_{9} = a \cdot x_{9} = - \frac{5}{3} \cdot 6 = - 10$ , $y_{10} = a \cdot x_{10} = - \frac{5}{3} \cdot 15 = - 25$ ,

$y_{11} = a \cdot x_{11} = - \frac{5}{3} \cdot 33 = - 55$ .

Ćwiczenie 17

Każda z prostych prezentowanych na rysunkach określona jest równaniem $y = a x$ . Wyznacz $a$ , a następnie wpisz je w odpowiednie miejsca na grafikach. Ułamki wpisuj w postaci dziesiętnej.

R1OMti31zaCV4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rr40YhGHpqhsk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LHJ0KZHFwQa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rtaon3F74YDaN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda z opisanych prostych określona jest równaniem $y = a x$ . Wyznacz $a$ , a następnie uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Ułamki wpisuj w postaci dziesiętnej.

R18NTQoH1RB7y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17QoE5YPuMcA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RphwabfIfO8RZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBHl0XZrsdrRE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że $f (1) = 3$ , czyli $a \cdot 1 = 3$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $3$ .
Zauważmy, że $f (- 1) = 2$ , czyli $a \cdot (- 1) = 2$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $- 2$ .
Zauważmy, że $f (4) = 3$ , czyli $a \cdot 4 = 3$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $\frac{3}{4}$ .
Zauważmy, że $f (- 4) = 5$ , czyli $a \cdot (- 4) = 5$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $- \frac{5}{4}$ .

Ćwiczenie 18

Wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo, wzdłuż osi $X$ . Podaj równanie otrzymanej prostej.

R1X965i4J75sP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po przesunięciu w prawo o $3$ jednostki wzdłuż osi $X$ wykresu funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ otrzymujemy prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt $(3, 0)$ . Zatem prosta ta ma równanie

y = - \frac{1}{3} x + b

Ponieważ $f (3) = 0$ , to $0 = - \frac{1}{3} \cdot 3 + b$ , zatem $b = 1$ . Stąd równanie prostej to

y = - \frac{1}{3} x + 1

$y = - \frac{1}{3} x + 1$ .

Ćwiczenie 19

Wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki, wzdłuż osi $Y$ . Podaj równanie otrzymanej prostej.

RbrvGT0wu9YHc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po przesunięciu o $3$ jednostki wzdłuż osi $Y$ wykresu funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ otrzymujemy prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt $(0, 3)$ . Zatem prosta ta ma równanie

y = - \frac{1}{3} x + b

Ponieważ $f (0) = 3$ , to $3 = - \frac{1}{3} \cdot 0 + b$ , zatem $b = 3$ . Stąd równanie prostej to:

y = - \frac{1}{3} x + 3

$y = - \frac{1}{3} x + 3$ .

Ćwiczenie 20

Na rysunku prezentowany jest wykres funkcji liniowej $f$ .

RjlZAIogf8wkX1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji będący ukośną prostą przebiegającą na przykład przez punkty 0;2 oraz 2;0. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RttcqstpwOBGB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że punkty $(0, 2)$ , $(2, 0)$ należą do wykresu funkcji. Zatem $f (0) = 2$ , czyli $2 = a \cdot 0 + b$ , stąd $b = 2$ . Biorąc pod uwagę punkt $(2, 0)$ , otrzymujemy $f (2) = 0$ , czyli $0 = a \cdot 2 + 2$ , stąd $a = - 1$ . Zatem funkcja ma postać:

f (x) = - x + 2

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f (- 4) = - (- 4) + 2 = 6

f (- 3) = - (- 3) + 2 = 5

f (- 2) = - (- 2) + 2 = 4

f (4) = - 4 + 2 = - 2

f (5) = - 5 + 2 = - 3

f (6) = - 6 + 2 = - 4

f (7) = - 7 + 2 = - 5

Ćwiczenie 21

R1ccwHODxQ7ZM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że punkty $(0, 2)$ , $(1, - 1)$ należą do wykresu funkcji liniowej. Zatem $f (0) = 2$ , czyli $2 = a \cdot 0 + b$ , stąd $b = 2$ . Biorąc pod uwagę punkt $(1, - 1)$ , otrzymujemy $f (1) = - 1$ , czyli $- 1 = a \cdot 1 + 2$ , stąd $a = - 3$ . Zatem funkcja ma postać:

f (x) = - 3 x + 2

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f (- 2) = - 3 (- 2) + 2 = 8

f (- 1) = - 3 (- 1) + 2 = 5

f (2) = - 3 \cdot 2 + 2 = - 4

f (3) = - 3 \cdot 3 + 2 = - 7

f (4) = - 3 \cdot 4 + 2 = - 10

Ćwiczenie 22

R1btHNgtRtbtN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XQxxc8dYN9i

Połącz wzory funkcji z odpowiadającymi im opisami ich wykresów.

y = x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

2

., 2. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

1

., 3. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

\frac{1}{2}

., 4. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

(- \frac{1}{2})

y = - \frac{1}{2} x - 2

Możliwe odpowiedzi: 1. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

2

., 2. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

1

., 3. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

\frac{1}{2}

., 4. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

(- \frac{1}{2})

y = 2 x - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

2

., 2. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

1

., 3. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

\frac{1}{2}

., 4. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

(- \frac{1}{2})

y = \frac{1}{2} x - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

2

., 2. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

1

., 3. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 1)

i ma współczynnik kierunkowy

\frac{1}{2}

., 4. Wykres przecina oś

Y

w punkcie

(0, - 2)

i ma współczynnik kierunkowy

(- \frac{1}{2})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

R1PgWK6R93rTg1

RgvXeeei3elCD

$a > 2$
$a < 0$
$b = 3$
punkt $(- 1, 5)$ należy do wykresu funkcji $f$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RT8QBYqc29g603

Ćwiczenie 24

Wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają się w punkcie $(0, 0)$ .
Wykresy funkcji $g$ i $h$ przecinają się w punkcie $(0, 3)$ .
Wykresy funkcji $f$ i $h$ są prostymi równoległymi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.