Ciąg geometryczny - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Materiał ten poświęcony jest ciągowi geometrycznemu. Poznasz definicję oraz niektóre własności ciągów geometrycznych. Analizując zawarte tu przykłady, dowiesz się jak sprawdzić czy podany ciąg jest geometryczny oraz jak obliczyć dowolny wyraz takiego ciągu.

Przykład 1

Spotykamy się czasem ze stwierdzeniem, że zeszyt, w którym piszemy, ma format $A 4$ albo $A 5$ . Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje $3$ serie formatów $A$ , $B$ i $C$ , przy czym formaty $C$ związane są z określeniami formatów kopert.

Format $A 0$ odpowiada prostokątowi o powierzchni $1 m^{2}$ , przy czym jego wymiary są tak dobrane, żeby stosunek dłuższego boku do krótszego był równy $\sqrt{2}$ . Mamy więc wymiary arkusza formatu $A 0$ : $1188 mm$ i $\frac{1188}{\sqrt{2}} mm$ . Format $A 1$ jest połową formatu $A 0$ , czyli krótszy bok arkusza formatu $A 0$ to dłuższy bok arkusza formatu $A 1$ i stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy $\sqrt{2}$ . Zatem kartka formatu $A 1$ ma wymiary: $\frac{1188}{\sqrt{2}} mm$ i $\frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{2}} mm$ .

Otrzymujemy ciąg liczb, z których każda następna, oprócz pierwszej, jest $\sqrt{2}$ razy mniejsza od poprzedniej, czyli $(1188, \frac{1188}{\sqrt{2}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{2}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{3}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{4}}, . . .)$ .

Jakie wymiary będzie miał arkusz formatu $A 5$ ?

Wymiary arkusza formatu $A 5$ będą szóstą i siódmą liczbą w tym ciągu. Obliczamy

a_{6} = \frac{a_{5}}{\sqrt{2}} = \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{5}} = \frac{297}{\sqrt{2}}

oraz

a_{7} = \frac{a_{6}}{\sqrt{2}} = \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{6}} = \frac{1188}{8} = 148, 5

Zatem kartka formatu $A 5$ ma wymiary $\frac{297}{\sqrt{2}} mm$ i $\frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{6}} = 148, 5 mm$ .

W praktyce wymiary arkuszy są zaokrąglane do pełnych milimetrów. Otrzymujemy w ten sposób ciąg $(1188, 840, 594, 420, 297, . . .)$ .

RT9QMkKTjGgdb1

Rysunek prostokąta o bokach 841 mm i 1189 mm, który jest przykładem formatu A0 papieru. Prostokąt podzielono na prostokąty będące znormalizowanymi formatami papieru A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 opisanymi powyżej. Format A1 to połowa formatu A0 wyznaczona prostą równoległą do krótszego boku kartki tego formatu. Wymiary formatu A1 to 841 mm wysokości i 594 mm szerokości. Każdy format o kolejnym numerze to połowa formatu o numerze go poprzedzającym wyznaczona prostą równoległą do krótszego boku kartki tego formatu. Wymiary formatu A2 to 594 mm wysokości i 420 mm szerokości. Wymiary formatu A3 to 420 mm wysokości i 297 mm szerokości. Wymiary formatu A4 to 297 mm wysokości i 210 mm szerokości. Wymiary formatu A5 to 210 mm wysokości i 148 mm szerokości. Wymiary formatu A6 to 148 mm wysokości i 105 mm szerokości. Wymiary formatu A7 to 105 mm wysokości i 74 mm szerokości. Wymiary formatu A8 to 74 mm wysokości i 52 mm szerokości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oba przykłady opisują ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną ustaloną liczbę. Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi.

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej $3$ wyrazy; jego pierwszy wyraz jest różny od $0$ , a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez $q$ .

Jeśli ciąg jest skończony i ma $k \geq 3$ wyrazów, to $a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ dla dowolnej liczby całkowitej $1 \leq n \leq k - 1$ . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to $a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Z definicji wynika, że:
jeśli $q \neq 0$ , to, wobec warunku $a_{1} \neq 0$ , wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ są różne od zera,
jeśli $q = 0$ , to wyrazy ciągu $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , ... są równe $0$ , czyli jest to ciąg postaci $a_{1}$ , $0$ , $0$ , $0$ , ...
Ciąg geometryczny w pewnym sensie jest podobny do ciągu arytmetycznego. W ciągu arytmetycznym kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. W ciągu geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej ustalonej liczby. Dlatego techniki, którymi będziemy się posługiwać w rozwiązywaniu zadań dotyczących ciągów geometrycznych i ciągów arytmetycznych, będą podobne, lecz wykonywane obliczenia będą inne.
Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, postępujemy podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego. Tam badaliśmy, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała. W przypadku ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od zera, wystarczy zbadać, czy iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ jest stały dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} \neq 0$ i $a_{n} \neq 0$ , spełniają równość $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ , którą możemy zapisać w postaci
$a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ .

RxB1AJlXmUY9J11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własność ciągu geometrycznego

Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ o wyrazach różnych od $0$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej $n > 1$ ( $1 < n < k$ ) ciąg $(a_{n})$ jest $k$ –wyrazowy i prawdziwa jest równość:

a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}

Jeżeli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami dodatnimi, to równość $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ możemy zapisać w postaci $a_{n} = \sqrt{a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}}$ .
Oznacza to, że wyraz $a_{n}$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Zauważmy, że jeżeli w ciągu $(a_{n})$ jest $a_{1} \neq 0$ oraz istnieją wyrazy równe $0$ i wyrazy różne od $0$ , to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ .

Na przykład ciąg $(2, 0, 0, 3)$ spełnia warunki $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ oraz $a_{3}^{2} = a_{2} \cdot a_{4}$ , lecz nie jest to ciąg geometryczny.

Przykład 2

Sprawdź, czy ciąg $(\sqrt{2} - 1, 1, \sqrt{2} + 1)$ jest ciągiem geometrycznym.

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ .
Iloczyn

a_{1} \cdot a_{3} = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1 = 1^{2} = a_{2}^{2}

więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.

Przykład 3

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mają postać

a_{1}

a_{2} = a_{1} q

a_{3} = {a_{2} q = (a_{1} q) \cdot q = a}_{1} q^{2}

a_{4} = a_{3} q = (a_{1} q^{2}) \cdot q = a_{1} q^{3}

i tak dalej.

Zauważmy, że każdy kolejny wyraz ciągu jest iloczynem wyrazu pierwszego oraz pewnej liczby czynników $q$ . Czynników $q$ jest o $1$ mniej, niż wynosi numer wyrazu, który chcemy obliczyć, a więc wyraz $a_{n}$ jest iloczynem wyrazu $a_{1}$ oraz $n - 1$ czynników $q$ . Zatem $n$ –ty wyraz ciągu jest równy $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli $a_{1}$ jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ i $q$ jest ilorazem tego ciągu, to dla dowolnej liczby całkowitej $n > 1$ mamy $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

R3mrQULYEpJGb11

Przykład 4

Oblicz ósmy wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 81$ oraz $q = - \frac{1}{3}$ .

Zastosujemy podany wcześniej wzór na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego. Ósmy wyraz ciągu jest więc równy

a_{8} = a_{1} q^{7} = 81 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{7} = - 3^{4} \cdot 3^{- 7} = - 3^{- 3} = - \frac{1}{27}

Przykład 5

Którym wyrazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $q = 5$ , jest liczba $1875$ ?

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego mamy $3 \cdot 5^{n - 1} = 1875$ . Stąd otrzymujemy $5^{n - 1} = 625 = 5^{4}$ .

Zatem $n - 1 = 4$ , czyli $n = 5$ . Liczba $1875$ jest więc piątym wyrazem ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 6

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $a_{1} = 1$ , a trzeci wyraz tego ciągu jest o $2$ większy od drugiego wyrazu tego ciągu. Oblicz iloraz $q$ tego ciągu.

Drugi i trzeci wyraz ciągu są równe ${a_{2} = a}_{1} q$ , ${a_{3} = a}_{1} q^{2}$ .

Ponieważ $a_{1} = 1$ , to $a_{2} = 1 \cdot q = q$ oraz $a_{3} = 1 \cdot q^{2} = q^{2}$ . Wyrazy te różnią się o $2$ , czyli $a_{3} - a_{2} = 2$ , więc $q^{2} - q = 2$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą $q$ . Ma ono dwa rozwiązania $q_{1} = - 1$ oraz $q_{2} = 2$ .

Są więc dwa takie ciągi geometryczne o ilorazach $q_{1} = - 1$ oraz $q_{2} = 2$ .

Przykład 7

Pomiędzy liczby $\frac{64}{3}$ oraz $9$ wstaw takie dwie liczby, żeby otrzymać czterowyrazowy ciąg geometryczny.

Liczba $9$ jest czwartym, a liczba $\frac{64}{3}$ pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Stąd $9 = \frac{64}{3} q^{3}$ , gdzie $q$ oznacza iloraz tego ciągu.

Zatem $q = \frac{3}{4}$ .

Drugi wyraz tego ciągu jest więc równy $x = \frac{64}{3} \cdot q = \frac{64}{3} \cdot \frac{3}{4} = 16$ , a trzeci $y = x \cdot q = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$ .

Przykład 8

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{6} + a_{5} = 1944$ oraz $a_{6} - a_{4} = 1296$ .

Korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego, kolejne wyrazy ciągu geometrycznego zapisujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , $a_{5} = a_{1} q^{4}$ , $a_{6} = a_{1} q^{5}$ . Równania dane w zadaniu zapisujemy więc w postaci układu równań

\{\begin{matrix} a_{1} q^{5} + a_{1} q^{4} = 1944 \\ a_{1} q^{5} - a_{1} q^{3} = 1296 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944 \\ a_{1} q^{3} (q^{2} - 1) = 1296 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944 \\ a_{1} q^{3} (q - 1) (q + 1) = 1296 \end{matrix}

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0$ , $q \neq 0$ oraz $q + 1 \neq 0$ . Gdyby tak nie było, równanie byłoby sprzeczne, gdyż po lewej stronie mielibyśmy $0$ , a po prawej $1944$ . Dzielimy więc stronami drugie równanie przez pierwsze. Wtedy otrzymujemy

\frac{a_{1} q^{3} (q - 1) (q + 1)}{a_{1} q^{4} (q + 1)} = \frac{1296}{1944}

czyli

\frac{q - 1}{q} = \frac{2}{3}

Stąd $3 q - 3 = 2 q$ . Zatem $q = 3$ .

Z równania $a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944$ i $q = 3$ , otrzymujemy

a_{1} = \frac{1944}{q^{4} (q + 1)} = \frac{1944}{3^{4} (3 + 1)} = 6

Ciąg geometryczny może być malejący, rosnący, stały, niemalejący, nierosnący albo w ogóle może nie być monotoniczny. Zależy to od wartości ilorazu oraz znaku pierwszego wyrazu. Na przykład ciąg geometryczny, w którym $a_{1} = 4$ oraz $q = 2$ , a więc ciąg $(4, 8, 16, 32, 64, \dots)$ jest rosnący, gdyż każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego i pierwszy wyraz jest dodatni.

Korzystając z poniższego apletu, zbadaj monotoniczność kilku ciągów geometrycznych.

R1N57P42R5sxV11

R8ZVAkUVwL5y8

Ćwiczenie 1

Pogrupuj ciągi przesuwając w odpowiednie miejsce ich wzór ogólny. Ciąg arytmetyczny: Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1}}

, 2.

a_{n} = \frac{7^{n}}{3}

, 3.

a_{n} = - \frac{3}{4} n + 5

, 4.

a_{n} = 5 n

, 5.

a_{n} = 6 + n

, 6.

a_{n} = 2^{n - 2}

, 7.

a_{n} = \frac{1}{2} n - 3

, 8.

a_{n} = 5^{n}

, 9.

a_{n} = 5 + 2 n

, 10.

a_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n}

, 11.

a_{n} = \frac{3 n - 5}{2}

Ciąg geometryczny: Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1}}

, 2.

a_{n} = \frac{7^{n}}{3}

, 3.

a_{n} = - \frac{3}{4} n + 5

, 4.

a_{n} = 5 n

, 5.

a_{n} = 6 + n

, 6.

a_{n} = 2^{n - 2}

, 7.

a_{n} = \frac{1}{2} n - 3

, 8.

a_{n} = 5^{n}

, 9.

a_{n} = 5 + 2 n

, 10.

a_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n}

, 11.

a_{n} = \frac{3 n - 5}{2}

Przeciągnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

ciąg arytmetyczny
ciąg geometryczny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ryx6taq4IJwfP11

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wzór ogólny ciągu geometrycznego z odpowiednimi wartościami

a_{1}

q

a_{n} = 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

a_{n} = 16 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

a_{n} = 16 \cdot {(\frac{1}{8})}^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

a_{n} = - 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

a_{n} = - 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

a_{n} = \frac{1}{16} \cdot 8^{n}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{1} = 8

q = - \frac{1}{2}

, 2.

a_{1} = 4

q = \frac{1}{4}

, 3.

a_{1} = 2

q = \frac{1}{8}

, 4.

a_{1} = 8

q = \frac{1}{2}

, 5.

a_{1} = - 8

q = \frac{1}{2}

, 6.

a_{1} = \frac{1}{2}

q = 8

Połącz w pary wzór ogólny ciągu geometrycznego z odpowiednimi wartościami $a_{1}$ i $q$ .

$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$
$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{8})}^{n}$
$a_{n} =$ $- 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $- 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $\frac{1}{16} \cdot 8^{n}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny. Jeżeli jest, to znajdź jego iloraz.

$a_{n} = {(0, 3)}^{n}$ ,
$b_{n} = \frac{2^{n}}{7}$ ,
$c_{n} = 3^{n + 4}$ .

RpPFNIIMCikkq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę na to, jaką postać mają wzory na $n$ -ty wyraz ciągu. Wyznacz ilorazy ciągów, korzystając z odpowiedniej własności.

Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(0, 3)}^{n + 1}}{{(0, 3)}^{n}} = 0, 3$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $0, 3$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $0, 3$ .
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{\frac{2^{n + 1}}{7}}{\frac{2^{n}}{7}} = 2$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $2$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $2$ .
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{3^{n + 5}}{3^{n + 4}} = 3$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $3$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $3$ .

RdbjlOGd18Lt211

Ćwiczenie 4

Połącz w pary ciąg geometryczny z odpowiadającym mu ilorazem.

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

\frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

- 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

- \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

3

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

- 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

(3, 6, 12, \dots)

, 2.

(12, 6, 3, \dots)

, 3.

(3, - 6, 12, \dots)

, 4.

(2, 6, 18, \dots)

, 5.

(- 12, 6, - 3, \dots)

, 6.

(- 2, 6, - 18, \dots)

Połącz w pary ciąg geometryczny z odpowiadającym mu ilorazem.

2
$\frac{1}{2}$
-2
$- \frac{1}{2}$
3
-3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RB0GaHfkckQJF

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego

(a_{n})

, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ciąg geometryczny o wyrazach

a_{1} = 10

oraz

a_{6} = \frac{5}{16}

wyraża się wzorem
1.

a_{n} = \frac{1}{50} \cdot 5^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 10 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

, 3.

a_{n} = 12 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{3}{50} \cdot 5^{n - 3}

. Ciąg geometryczny o wyrazach

a_{3} = \frac{1}{2}

oraz

a_{6} = \frac{125}{2}

wyraża się wzorem 1.

a_{n} = \frac{1}{50} \cdot 5^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 10 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

, 3.

a_{n} = 12 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{3}{50} \cdot 5^{n - 3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na szósty wyraz ciągu geometrycznego $a_{6} = a_{1} \cdot q^{5}$ , czyli $\frac{5}{16} = 10 q^{5}$ , stąd $q^{5} = \frac{1}{32}$ , czyli $q = \frac{1}{2}$ . Wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu ma postać $a_{n} = 10 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .
Zauważmy, że $a_{6} = a_{3} \cdot q^{3}$ , więc $\frac{125}{2} = \frac{1}{2} q^{3}$ , stąd $q^{3} = 125$ . Zatem $q = 5$ . Ze wzoru na trzeci wyraz ciągu otrzymujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , czyli $\frac{1}{2} = a_{1} \cdot 5^{2}$ . Stąd $a_{1} = \frac{1}{50}$ . Wzór ogólny ciągu ma zatem postać $a_{n} = \frac{1}{50} \cdot 5^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 6

R5gWRhtYwmYaJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkxbgORctnEwk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R17q1AmkgHyIp

$a_{7} = 50$
$a_{4} = 5$
$q = 2$ lub $q = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a_{7} = 50$ .
Nie. Z warunku, jaki spełniają kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, mamy $a_{7}^{2} = a_{6} \cdot a_{8} = 20 \cdot 80 = 1600$ , czyli $a_{7} = 40$ lub $a_{7} = - 40$ .
$a_{4} = 5$ .
Tak. Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego mamy $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , $a_{6} = a_{1} q^{5}$ , $a_{8} = a_{1} q^{7}$ . Zatem $a_{4} \cdot a_{8} = a_{1} q^{3} \cdot a_{1} q^{7} = a_{1}^{2} q^{10} = {(a_{1} q^{5})}^{2} = a_{6}^{2}$ , czyli ciąg $(a_{4}, a_{6}, a_{8})$ jest geometryczny. Stąd $20^{2} = a_{4} \cdot 80$ , czyli $a_{4} = \frac{400}{80} = 5$ .
$q = 2$ lub $q = - 2$ .
Tak. Zauważmy, że $a_{8} = a_{6} q^{2}$ , czyli $q^{2} = \frac{a_{8}}{a_{6}} = \frac{80}{20} = 4$ , czyli $q = 2$ lub $q = - 2$ .

Ćwiczenie 8

R11HKFvfT0zkT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczby $x - 1$ , $2 x + 2$ , $6 x + 6$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc prawdziwa jest równość ${(2 x + 2)}^{2} = (x - 1) (6 x + 6)$ , czyli $4 x^{2} + 8 x + 4 = 6 x^{2} - 6 x + 6 x - 6$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe $- x^{2} + 4 x + 5 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 5$ oraz $x_{2} = - 1$ .

To oznacza, że mamy dwa ciągi $(4, 12, 36)$ oraz $(- 2, 0, 0)$ . Rosnący jest tylko ciąg pierwszy.

Ćwiczenie 9

RoyLLAJPIX2gO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dane są wzorami $a_{1}$ , $a_{1} q$ , $a_{1} q^{2}$ .

Iloczyn tych trzech wyrazów jest równy $a_{1} \cdot a_{1} q \cdot a_{1} q^{2} = 27$ , czyli ${(a_{1} q)}^{3} = 27$ . Stąd $a_{1} q = 3$ .

Suma wyrazów ciągu jest z kolei równa $a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} = - 7$ , więc $a_{1} + 3 + a_{1} q^{2} = - 7$ , a dalej $a_{1} + a_{1} q^{2} = - 10$ .

To możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{1} q \cdot q = - 10$ , czyli $a_{1} + 3 \cdot q = - 10$ . Stąd $a_{1} = - 3 q - 10$ .

Podstawiając w równaniu $a_{1} q = 3$ w miejsce $a_{1}$ wyrażenie $- 3 q - 10$ , otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $q$

(- 3 q - 10) q = 3

- 3 q^{2} - 10 q = 3

3 q^{2} + 10 q + 3 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania $q_{1} = - 3$ oraz $q_{2} = - \frac{1}{3}$ .

To oznacza, że są dwa ciągi geometryczne, spełniające podane w zadaniu warunki.

Iloraz jednego z tych ciągów jest równy $q = - 3$ , a pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = - 3 \cdot (- 3) - 10 = - 1$ .

Iloraz drugiego z ciągów jest równy $q = - \frac{1}{3}$ , a pierwszy wyraz $a_{1} = - 3 \cdot (- \frac{1}{3}) - 10 = - 9$ .

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że jeśli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, to dla każdej liczby całkowitej $n ⩾ 1$ prawdziwa jest równość $a_{n} a_{n + 3} = a_{n + 1} a_{n + 2}$ .

RdvJSM769GgHQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, więc mamy $a_{n + 1} = a_{n} q$ , $a_{n + 2} = a_{n} q^{2}$ , $a_{n + 3} = a_{n} q^{3}$ .

Obliczmy iloczyny $a_{n} a_{n + 3} = a_{n} \cdot a_{n} q^{3} = a_{n}^{2} q^{3}$ oraz $a_{n + 1} a_{n + 2} = a_{n} q \cdot a_{n} q^{2} = a_{n}^{2} q^{3}$ .

Mamy więc $a_{n} a_{n + 3} = a_{n + 1} a_{n + 2}$ , co było do udowodnienia.

RAWk96ufZsecj1

Ćwiczenie 11

$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{20}$
$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{19}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{20}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{19}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GU7YOLIesKs1

Ćwiczenie 12

$4$
$- 2$
$2$
$- 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NYbv1dc4MAw1

Ćwiczenie 13

$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{2 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{9}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RX2LiMu90R6ZJ1

Ćwiczenie 14

$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{4}{3}$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{9}{16}$
$a_{1} ∙ a_{3} = 1$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R2PTXTWMxM2C0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na czwarty wyraz ciągu geometrycznego, mamy $a_{4} = a_{1} \cdot q^{3}$ , czyli $192 = 3 q^{3}$ , i dalej $q^{3} = 64$ . Stąd wynika, że $q = 4$ .

Ćwiczenie 16

RabJivILFpenC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znając dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczamy iloraz tego ciągu $q = \frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{\frac{3}{4}}{1} = \frac{3}{4}$ .

Korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , czyli $1 = a_{1} {(\frac{3}{4})}^{2} = a_{1} \frac{9}{16}$ .

Stąd $a_{1} = \frac{16}{9}$ .

Ćwiczenie 17

RZlOhjFc5wFro

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że:

q^{2} = \frac{a_{6}}{a_{4}} = \frac{\frac{405}{4}}{\frac{45}{16}} = \frac{405}{4} \cdot \frac{16}{45} = 9 \cdot 4 = 36

stąd $q = 6$ lub $q = - 6$ .

Oznacza to, że są dwa ciągi geometryczne o podanych wyrazach. Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , stąd $a_{1} = \frac{a_{4}}{q^{3}}$ .

Gdy $q = 6$ , to $a_{1} = \frac{\frac{45}{16}}{6^{3}} = \frac{5}{384}$ , więc wtedy ciąg $(a_{n})$ ma wzór ogólny postaci $a_{n} = \frac{5 \cdot 6^{n - 1}}{384}$ , a gdy $q = - 6$ , to wówczas

a_{1} = \frac{\frac{45}{16}}{{(- 6)}^{3}} = - \frac{5}{384}

a wzór ogólny ma postać $a_{n} = - \frac{5 \cdot {(- 6)}^{n - 1}}{384}$ .

Ćwiczenie 18

R1S7vSMXZQ65I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego, mamy $96 = a_{n} = a_{1} q^{n - 1} = (- 3) {(- 2)}^{n - 1}$ , czyli ${(- 2)}^{n - 1} = - 32$ , stąd $n - 1 = 5$ .

Zatem $n = 6$ .

Ćwiczenie 19

R1bff3js95uhT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu otrzymujemy ${a_{2} = a}_{1} q$ oraz $a_{3} = a_{1} q^{2}$ .

Opisany w zadaniu stosunek jest równy $\frac{a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}}{a_{1} + a_{1} q^{2}} = \frac{3}{5}$ , czyli $\frac{1 + q + q^{2}}{1 + q^{2}} = \frac{3}{5}$ .

Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy równanie $5 + 5 q + 5 q^{2} = 3 + 3 q^{2}$ .

Otrzymane równanie kwadratowe $2 q^{2} + 5 q + 2 = 0$ ma dwa rozwiązania $q = - 2$ oraz $q = - \frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 20

Rd6zYYoeQwmta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy wyznaczyć taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(- 2 + x, 2 + x, 22 + x)$ jest geometryczny.

Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie ${(2 + x)}^{2} = (x - 2) (22 + x)$ , które jest równoważne równaniu $16 x = 48$ .

Stąd $x = 3$ .

Ćwiczenie 21

RUCsm8lXA4R5w

Do każdego ciągu dobierz tak wyraz środkowy, aby powstał ciąg geometryczny.

(5, a_{2}, 20)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(2, a_{2}, 32)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(36, a_{2}, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(27, a_{2}, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(1, a_{2}, 25)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(3, a_{2}, 48)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(100, a_{2}, 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

(64, a_{2}, 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6

, 2.

12

, 3.

16

, 4.

5

, 5.

20

, 6.

10

, 7.

8

, 8.

9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Wykaż, że jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera, to każdy z ciągów $(b_{n})$ i $(c_{n})$ określonych wzorami $b_{n} = \frac{2}{a_{n}}$ oraz $c_{n} = a_{3 n}$ też jest geometryczny.

RsT7ldih7JjI2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając z odpowiednich wzorów, sprawdź, jak będą wyglądały ilorazy kolejnych dowolnych wyrazów ciągów $(b_{n})$ i $(c_{n})$ .

Ponieważ ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, więc $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$ , gdzie $q$ jest ilorazem tego ciągu.

Zbadajmy, jak wygląda iloraz kolejnych dowolnych wyrazów ciągu $(b_{n})$ i $(c_{n})$ .

\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{\frac{2}{a_{n + 1}}}{\frac{2}{a_{n}}} = \frac{2}{a_{n + 1}} \cdot \frac{a_{n}}{2} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{1}{q}

a więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od $n$ .

Zatem ciąg $(b_{n})$ jest geometryczny, a jego iloraz jest równy $\frac{1}{q}$ .

\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{a_{3 (n + 1)}}{a_{3 n}} = \frac{a_{3 n + 3}}{a_{3 n}} = \frac{a_{1} q^{3 n + 2}}{a_{1} q^{3 n - 1}} = q^{3}

więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od $n$ .

Zatem ciąg $(c_{n})$ jest geometryczny, a jego iloraz jest równy $q^{3}$ .

Ćwiczenie 23

R16yykQR01UjF

Oblicz odpowiednie parametry podanych ciągów, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej, umieszczając wyrazy ciągu w kolejności malejącej. Ciąg

(2, x, 98)

jest geometryczny, oznacza to, że

x =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

, a iloraz tego ciągu wynosi

q =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

lub

x =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

, a iloraz tego ciągu wynosi

q =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

.
Ciąg

(2 + \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}, x)

jest geometryczny, oznacza to, że

x =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

, a iloraz tego ciągu wynosi

q =

14

, 2.

- 12

, 3.

- 5

, 4.

\sqrt{3} - 1

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- 6

, 8.

\sqrt{5} - 1

, 9.

15

, 10.

\sqrt{2} - 1

, 11.

- 7

, 12.

- 15

, 13.

3

, 14.

1

, 15.

12

, 16.

- 14

, 17.

7

, 18.

5

, 19.

6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy warunek $x^{2} = 2 \cdot 98 = 196$ , stąd $x = 14$ lub $x = - 14$ . Oznacza to, że są dwa takie ciągi geometryczne. Gdy $x = 14$ , to wtedy iloraz tego ciągu jest równy $q = \frac{14}{2} = 7$ , a gdy $x = - 14$ , to iloraz ciągu jest równy $q = \frac{- 14}{2} = - 7$ .
Sposób $I$ :
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie ${(1 + \sqrt{3})}^{2} = (2 + \sqrt{3}) x$ , stąd $x = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{(2 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = 2$ . Wtedy iloraz ciągu jest równy $q = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2 (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{1 - 3} = \sqrt{3} - 1$ .
Sposób $II$ :
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego $q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} - 3}{4 - 3} = \sqrt{3} - 1$ . Trzeci wyraz ciągu jest więc równy $x = a_{2} q = (1 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 3 - 1 - \sqrt{3} = 2$ .

Ćwiczenie 24

RuR5PcMkt9uTm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $q$ oznacza iloraz danego ciągu.

Ponieważ $250$ jest czwartym wyrazem ciągu geometrycznego, więc $250 = a_{1} q^{3} = 432 q^{3}$ , stąd $q^{3} = \frac{250}{432} = \frac{125}{216}$ , czyli $q = \frac{5}{6}$ .

Drugi wyraz tego ciągu jest zatem równy $a = a_{1} q = 432 \cdot \frac{5}{6} = 360$ , a trzeci $b = a q = 360 \cdot \frac{5}{6} = 300$ .

Ćwiczenie 25

RrSIrSvdPJI9z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa $1$ , czyli $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 1$ .

To równanie możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{4} + a_{1} q^{5} = 1$ , czyli

a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5}) = 1

Suma sześciu ostatnich wyrazów jest równa $16$ , a więc $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = 16$ .

To równanie możemy zapisać, podobnie jak poprzednie, w postaci
$a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{4} + a_{1} q^{5} + a_{1} q^{6} + a_{1} q^{7} = 16$ ,
czyli

a_{1} q^{2} (1 + q + q^{2} + a_{1}^{3} + q^{4} + q^{5}) = 16

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0$ i $1 + q + q^{2} + \dots + q^{5} \neq 0$ , gdyż w przeciwnym razie równanie $a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5}) = 1$ byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa $0$ , a prawa byłaby różna od $0$ ).

Możemy więc podzielić przez siebie lewe i prawe strony otrzymanych równań. Stąd otrzymujemy $q^{2} = 16$ , stąd $q = 4$ lub $q = - 4$ .

Ćwiczenie 26

R1Wv1QXtzDiZI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz mamy $a_{1} q^{3} + 17 a_{1} q = 1$ oraz $a_{1} q + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{5} = 1$ . Rozwiążmy układ równań

\{\begin{matrix} a_{1} q (q^{2} + 17) = 1 \\ a_{1} q (1 + q^{2} + q^{4}) = 1 \end{matrix}

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0$ , $q \neq 0$ oraz $q^{2} + 17 \neq 0$ , gdyż w przeciwnym razie równanie byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa $0$ , a prawa różna od $0$ ). Dzieląc lewą stronę drugiego równania przez lewą stronę pierwszego i prawą drugiego przez prawą pierwszego, otrzymujemy

\frac{1 + q^{2} + q^{4}}{q^{2} + 17} = 1

Stąd

1 + q^{2} + q^{4} = q^{2} + 17

q^{4} = 16

$q = 2$ lub $q = - 2$ .

Gdy $q = 2$ , to $a_{1} \cdot 2 \cdot (4 + 17) = 1$ , a więc $a_{1} = \frac{1}{42}$ .

Gdy natomiast $q = - 2$ , to $a_{1} \cdot (- 2) \cdot (4 + 17) = 1$ , czyli $a_{1} = - \frac{1}{42}$ .

Ćwiczenie 27

Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, które są liczbami całkowitymi różnymi od zera, jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

RpHVQ0nRt0AG9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $(a, b, c)$ będzie ciągiem geometrycznym, w którym wyrazy $a$ , $b$ i $c$ to liczby całkowite różne od zera. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że $b^{2} = a c$ . Suma kwadratów tych wyrazów jest więc równa

a^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + a c + c^{2} = {(a + c)}^{2} - a c =

= {(a + c)}^{2} - b^{2} = (a + c + b) (a + c - b)

czyli jest podzielna przez $a + b + c$ , ponieważ $a + c - b$ jest liczbą całkowitą.

Ćwiczenie 28

Wykaż, że liczby $5$ , $6$ i $7$ nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.

RdnrsEdDcST2W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przypuśćmy, że liczby $5$ , $6$ i $7$ są pewnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego o ilorazie $q$ . Możemy przyjąć, że jest to ciąg rosnący.

Zatem istnieją takie dodatnie liczby całkowite $n$ , $m$ , że $6 = 5 q^{n}$ , $7 = 5 q^{m}$ oraz $n < m$ .

Podnosząc obie strony pierwszej równości do potęgi $m$ oraz obie strony drugiej równości do potęgi $n$ , otrzymujemy $6^{m} = 5^{m} q^{m + n}$ oraz $7^{n} = 5^{n} q^{m + n}$ .

Stąd $q^{m + n} = \frac{6^{m}}{5^{m}}$ oraz $q^{m + n} = \frac{7^{n}}{5^{n}}$ .

Porównując prawe strony otrzymanych równań, mamy $\frac{6^{m}}{5^{m}} = \frac{7^{n}}{5^{n}}$ , stąd $5^{m - n} = \frac{6^{m}}{7^{n}}$ .

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ $5^{m - n}$ jest liczbą całkowitą, a liczba $\frac{6^{m}}{7^{n}}$ nie jest całkowita.