Objętość ostrosłupa - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Wzór na objętość ostrosłupa

Przykład 1

Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

R459uMsUlBRlt

Korzystając z tej siatki, wykonaj modele trzech jednakowych ostrosłupów. Zbuduj z nich sześcian.

Ile razy objętość tego sześcianu jest większa od objętości każdego z ostrosłupów?

Ważne!

Objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu pola podstawy przez wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

$V$ - objętość

$P_{p}$ - pole podstawy

$H$ - wysokość

R1QGX6vRJpicW1

Rysunek ostrosłupa o podstawie czworokąta z wysokością h. Podstawa została wyróżniona kolorem błękitnym. Czworokątem w podstawie jest trapez, wysokość tej bryły pada na podstawę tego czworokąta. Krawędzie boczne tej bryły mają różne długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie objętości ostrosłupa

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość $6 cm$ , a miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . Wysokość ostrosłupa jest czterokrotnością krótszej przyprostokątnej podstawy. Obliczymy objętość ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym miara jednego z kątów ostrych jest równa $30 °$ . O takim trójkącie wiemy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30 °$ jest dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy od niej większa.

R1cUQXnWlJg4z1

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne długości a, a pierwiastek z trzech i przeciwprostokątną równą 2a. Bok a leży naprzeciwko kąta 30 stopni. Drugi trójkąt ma przyprostokątne długości 3 cm i trzy pierwiastki z trzech oraz przeciwprostokątną długości 6 cm. Bok 3 cm leży naprzeciwko kąta 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne trójkąta, będącego podstawą ostrosłupa, są równe $3 cm$ i $3 \sqrt{3} cm$ . Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3}

P_{p} = 4,5 \sqrt{3} {cm}^{2}

Wysokość ostrosłupa jest równa czterokrotności krótszej przyprostokątnej podstawy, ma zatem długość

4 \cdot 3 cm = 12 cm

Obliczamy objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

V = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \sqrt{3} \cdot 12

V = 18 \sqrt{3} {cm}^{3}

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa jest równa $18 \sqrt{3} {cm}^{3}$ .

Znając objętość ostrosłupa i pole jego podstawy, można obliczyć jego wysokość.

Przykład 3

Wazon ma kształt ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt o polu $150 {c m}^{2}$ . W wazonie mieści się litr wody. Obliczymy jaką wysokość ma ten wazon.
Zapisujemy pojemność wazonu w ${cm}^{3}$ .

1 l = 1 {dm}^{3} = 1000 {cm}^{3}

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i obliczamy jego wysokość.

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

1000 = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot H

H = \frac{3000}{150}

H = 20 cm

Odpowiedź:

Wysokość wazonu ma $20 cm$ .

Objętość czworościanu foremnego

Obliczymy objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ .

RvB28yB916A5b1

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny. Zatem pole podstawy jest równe

P_{p} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} .

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa jako przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna jest krawędzią czworościanu, a druga przyprostokątna to $\frac{2}{3}$ wysokości podstawy (czyli wysokości trójkąta równobocznego).

RBGWt832FajXU1

Rysunek czworościanu foremnego o krawędzi długości a oraz wysokości h. W czworościanie kolorem zielonym zaznaczono trójkąt prostokątny, którego krawędziami są: wysokość, krawędź boczna bryły oraz fragment wysokości podstawy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

H^{2} + {(\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a)}^{2} = a^{2}

H^{2} + \frac{1}{3} a^{2} = a^{2}

H^{2} = \frac{2}{3} a^{2}

H = \sqrt{\frac{2}{3}} a

H = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{3} a

Obliczamy objętość czworościanu.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a

V = \frac{\sqrt{18}}{36} a^{3}

V = \frac{3 \sqrt{2}}{36} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Ważne!

Objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ jest równa

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest równa $b$ , zaś $a$ to długość krawędzi czworościanu.

Oprócz czworościanu foremnego w sześcianie można umieścić cztery inne jednakowe czworościany.

Ra7hr5pQW8ZOa

Rysunek przedstawia sześcian o krawędzi długości b. Zaznaczono wszystkie przekątne ścian bocznych tego sześcianu w taki sposób, że tworzą one czworościan. Wszystkie przekątne mają długość a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość każdego z nich jest równa

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} b^{3} = \frac{1}{6} b^{3}

Zatem objętość czworościanu foremnego jest równa

V = b^{3} - 4 \cdot \frac{1}{6} b^{3} = b^{3} - \frac{4}{6} b^{3} = \frac{2}{6} b^{3} = \frac{1}{3} b^{3}

Ponieważ $a$ jest przekątną kwadratu o boku $b$ , zatem $a = b \sqrt{2}$ .

Stąd:

b = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

V = \frac{1}{3} b^{3} = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3}

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3}}{8} \cdot 2 \sqrt{2}

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

Przykład 4

Ustalimy, czy $15 {dm}^{2}$ kartonu wystarczy, aby wykonać pudełko w kształcie czworościanu foremnego o objętości $\frac{9}{4} \sqrt{2} {dm}^{3}$ .

Aby to ustalić, musimy znaleźć pole powierzchni czworościanu.

Znając objętość czworościanu, obliczymy najpierw długość $a$ jego krawędzi.

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

\frac{9}{4} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

a^{3} = \frac{9}{4} \sqrt{2} : \frac{\sqrt{2}}{12}

a^{3} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}}

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni czworościanu.

P = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

P = \sqrt{3} \cdot 3^{2}

P = 9 \sqrt{3}

P = 9 \sqrt{3} = 15,5884 . . . .

P = 15,5884 {dm}^{2}

Odpowiedź:

Ponieważ $15,5884 \dots > 15$ , zatem $15 {dm}^{2}$ kartonu nie wystarczy na wykonanie pudełka.

RsK9opKpoI5AX1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R11mBYRJHVgF1

Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest równa

12

, a krawędź jego podstawy ma długość

2

. Oblicz objętość poniższych ostrosłupów o różnych podstawach.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

.Podstawą tego ostrosłupa jest czworokąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

.Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1.

\sqrt{10}

, 2.

6 \sqrt{2}

, 3.

16

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

4

, 6.

17 \sqrt{3}

, 7.

24

, 8.

24 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{3}

, 10.

4 \sqrt{2}

, 11.

8 \sqrt{3}

, 12.

4 \sqrt{3}

, 13.

\sqrt{26}

, 14.

16 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W każdym przypadku obliczamy najpierw pole podstawy ostrosłupa, a następnie mnożymy je przez jedną trzecią wysokości ostrosłupa.

Pole podstawy $P$ jest równe $P = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ . Objętość jest równa $V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .
Pole podstawy jest równe $4$ , zatem objętość wynosi $V = \frac{4 \cdot 12}{3} = 16$ .
Pole podstawy jest równe $P = 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3}$ , a zatem objętość wynosi $V = \frac{6 \sqrt{3} \cdot 12}{3} = 24 \sqrt{3}$ .

R9y4mXps6Jh0E1

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1PfHpwiiBSrF

Wysokość ostrosłupa jest równa

18 cm

Oblicz objętość tego ostrosłupa w podanych przypadkach, a następnie wpisz odpowiednie liczby tak, aby odpowiedzi były poprawne. Podstawą tego ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości

4 cm

10 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny, w którym suma długości przyprostokątnych jest równa

2 \sqrt{5} cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest romb o przekątnych długości

7 cm

8 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

.Podstawą tego ostrosłupa jest równoległobok, w którym jeden z boków ma długość

6 cm

, a wysokość poprowadzona do tego boku jest równa

4 cm

.
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi

V =

Tu uzupełnij

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 10 \cdot 18 = 240 ({cm}^{3})$
Przyprostokątne są tej samej długości równej $\sqrt{5} cm$ . Pole podstawy wynosi więc $\frac{5}{2} {cm}^{2}$ .
Objętość
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{5})}^{2} \cdot 18 = 15 {cm}^{3}$
Pole podstawy jest równe $P = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28 {cm}^{2}$ . Zatem objętość wynosi
$V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 18 = 168 {cm}^{3}$
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 18 = 144 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 5

Wyznacz objętość ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku.

RZCrhnFekXeKO1

Rysunek ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości trzy i długości krawędzi podstawy pierwiastek z trzech. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7rC3OsUjoWHi

$0,75 \sqrt{3}$
$2,25 \sqrt{3}$
$3$
$27 \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R40y8HIMA8222

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ze wzoru na objętość ostrosłupa wyznaczymy jego wysokość.

H = \frac{3 V}{P_{p}} = \frac{3 \cdot 80}{6 \cdot 8} = 5 (mm)

Połowa każdej z przekątnych $p$ prostokąta ma długość, którą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa

{(\frac{p}{2})}^{2} = 3^{2} + 4^{2}

skąd

\frac{p}{2} = 5 (mm)

Krawędź boczną ostrosłupa wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego.

d^{2} = 5^{2} + 5^{2}

Jej długość jest równa $5 \sqrt{2} mm$ .

R1QpD6WUnwrV42

Ćwiczenie 7

$1 : 3$
$1 : 6$
$2 : 3$
$2 : 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RgSgmdpAutV6Z

Oblicz objętość czworościanu foremnego w podanych przypadkach.
Uzupełnij lukę w odpowiedzi. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Krawędź tego czworościanu ma długość

2

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Wysokość ściany bocznej tego czworościanu jest równa

3

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Pole ściany bocznej tego czworościanu jest równe

\frac{\sqrt{3}}{4}

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

.Pole powierzchni tego czworościanu jest równe

81 \sqrt{3}

.
Odpowiedź: Objętość czworościanu wynosi 1.

1 \frac{2}{3}

, 2.

2 \frac{1}{2}

, 3.

\frac{320 \sqrt{2}}{3}

, 4.

\sqrt{14}

, 5.

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

, 6.

3 \sqrt{3}

, 7.

\frac{\sqrt{2}}{12}

, 8.

103 \sqrt{3}

, 9.

\sqrt{10}

, 10.

\frac{421}{48} \sqrt{3}

, 11.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 12.

112

, 13.

2 \sqrt{6}

, 14.

\frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 15.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

, 16.

\frac{7 \sqrt{3}}{4}

, 17.

1,5 \sqrt{3}

, 18.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 19.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

, 20.

\frac{729}{12} \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu foremnego: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ .
Stąd
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 2^{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
Wysokość $h$ ściany bocznej wyraża się wzorem $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , wobec tego $3 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .
Stąd obliczamy $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$ . Podstawiamy wyznaczone $a$ do wzoru na objętość czworościanu.
$V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} = \frac{\sqrt{2} {(2 \sqrt{3})}^{3}}{12} = 2 \sqrt{6}$ .
Ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, obliczamy długość krawędzi czworościanu.
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , więc $a = 1$ . Obliczamy objętość czworościanu.
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .
Pole powierzchni jednej ściany jest równe $\frac{1}{4} \cdot 81 \sqrt{3}$ .
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , wyznaczymy długość $a$ krawędzi.
$\frac{1}{4} \cdot 81 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , więc $a = 9$ . Objętość czworościanu to
$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 9^{3} = \frac{729}{12} \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 9

Wysokość ostrosłupa jest równa $H$ . Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości $3 H$ oraz $H$ . Obwód podstawy jest równy $2 H (2 + \sqrt{2})$ . Wykaż, że objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od $H^{3}$ .

R1coqXC4xN7Wl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od obliczenia pola podstawy, które jest równe polu pewnych dwóch takich samych kwadratów. Następnie oblicz objętość bryły i przyrównaj wynik do $H^{3}$ .

Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie pól dwóch kwadratów o boku $H$ każdy, czyli $2 \cdot H^{2}$ .

Objętość ostrosłupa jest więc równa:

V = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot H^{2} \cdot H = \frac{2}{3} \cdot H^{3} < H^{3}

Ćwiczenie 10

Dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi podstawy długości $5 cm$ połączono podstawami tak jak na poniższym rysunku.

R17fmvyXs9PKM

Rysunek przedstawia dwa takie same ostrosłupy prawidłowe czworokątne, połączone podstawami. Wierzchołki A, B, C i D to wierzchołki wspólnej podstawy tych ostrosłupów. Wierzchołek E jest piątym wierzchołkiem pierwszego ostrosłupa, a wierzchołek F jest piątym wierzchołkiem drugiego ostrosłupa. Przekrojem osiowym tej bryły jest romb. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RRbkw32Ji9Cfb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Otrzymana bryła to ośmiościan. Jego objętość jest równa sumie objętości danych ostrosłupów. Pole podstawy takiego ostrosłupa jest równe $25 {cm}^{2}$ , a jego wysokość $20 cm$ . Objętość jednego ostrosłupa jest równa:

V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 20 = \frac{500}{3} ({cm}^{3})

a zatem objętość ośmiościanu jest równa $\frac{1000}{3} {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 11

R6qhLO3VemITy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy $125 = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot H$ .

Stąd $H = 15$ .

Ćwiczenie 12

RZgtYsFGt6YQQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymamy związek

169 = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot 10

Stąd pole podstawy

P_{p} = 50, 7 {cm}^{2}

Ćwiczenie 13

RML85iIFXqQcL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 3 \sqrt{3}

Stąd wyznaczymy długość krawędzi podstawy $a = 1 cm$ .

Ćwiczenie 14

RoSaN7jl2j7sA

$3 cm$
$12 cm$
$18 cm$
$14 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $P$ oznacza pole podstawy każdej z brył. Wówczas $8 \cdot S = \frac{2}{3} \cdot S \cdot H$ , stąd $H = 12 cm$ .

Ćwiczenie 15

RBpxVTm8wfQv2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworościan ma sześć krawędzi, więc długość jednej z nich równa jest $3 cm$ .

Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu foremnego.

V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}

V = \frac{\sqrt{2} \cdot 27}{12} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}

Ćwiczenie 16

RAFWOzewl2Yop

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy, zaś $b$ długością krawędzi bocznej.

Z warunków zadania $a + b = 8$ , zaś $\frac{b}{a} = \frac{3}{1}$ , więc $a = 2 cm$ , $b = 6 cm$ .

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa

H^{2} = 6^{2} - 2^{2} = 32

$H = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ . Objętość ostrosłupa wynosi:

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}

Ćwiczenie 17

RqrGTK38FnyDc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcając wzór na objętość ostrosłupa, wyznaczamy pole jego podstawy:

P_{p} = \frac{3 V}{H} = \frac{3 \cdot 8 \sqrt{3}}{1} = 24 \sqrt{3}

Pole sześciokąta foremnego wyraża się wzorem: $P_{p} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Zatem porównując oba wyrażenia, otrzymujemy równanie: $24 \sqrt{3} = \frac{6 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , skąd $a = 4$ .

Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $4 cm, 1 cm$ , wyznaczamy długość krawędzi bocznej

d^{2} = 1^{2} + 4^{2}

skąd $d = \sqrt{17}$ .

Ćwiczenie 18

RGzUs3WDgbZP4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z warunków zadania $P_{b} = 4 \cdot P_{p}$ . Otrzymujmy równanie: $4 \cdot \frac{6 \cdot h}{2} = 4 \cdot 36$ , skąd wysokość ściany bocznej jest równa $h = 12 cm$ . Z trójkąta prostokątnego o bokach długości $12 cm, 3 cm$ i $H$ wyznaczymy wysokość $H$ ostrosłupa:

H^{2} = 1 2^{2} - 3^{2}

Stąd

H = 3 \sqrt{15} cm

Zatem

V = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{15}}{3} = 36 \sqrt{15} ({cm}^{3})

Ćwiczenie 19

Prostopadłościan ma wymiary $6$ , $6$ i $8$ . Krawędzie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, który nie jest czworościanem foremnym, mają długości równe długościom przekątnych ścian prostopadłościanu.

Oblicz objętość ostrosłupa. Ile różnych rozwiązań ma to zadanie?

R1EQ7YC5CUdVS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne ścian tego prostopadłościanu mają długości

d_{1} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10

d_{2} = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}

Ostrosłup ma $6$ krawędzi, ale trzy z nich są krawędziami podstawy i są równe, a trzy są krawędziami bocznymi i też są sobie równe. Są dwie możliwości: albo krawędzie postawy mają długość $10$ , a krawędzie boczne $6 \sqrt{2}$ , albo na odwrót. W pierwszym przypadku wysokość prostopadłościanu jest równa

H_{1} = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{10 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{116}{3}} = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}}

Zaś w drugim

H_{2} = \sqrt{{(10)}^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}

Objętość ostrosłupa w tych przypadkach wynosi:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{3}} = \frac{50 \sqrt{29}}{3}

V_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(6 \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{19} = \frac{1}{3} \cdot 18 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{19} = 12 \sqrt{57}

Ćwiczenie 20

R1KsFED5vlzIa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość ta jest równa sumie objętości dwóch jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. W każdym z nich zarówno krawędzie podstawy, jak i krawędzie boczne mają długość $5 cm$ . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $h = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm$ . Obliczamy wysokość $H$ ostrosłupa.

H^{2} = {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(2 \frac{1}{2})}^{2}

H = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Zatem objętość ośmiościanu wynosi

V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{125 \sqrt{2}}{3}

Ćwiczenie 21

R13FiTXQtDEkB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3quu41yPhe2o

Zauważmy, że odcinek $A E$ stanowi połowę przekątnej kwadratu o podstawie długości $8 cm$ , zatem jego długość to $4 \sqrt{2} cm$ . Korzystając z własności trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ otrzymujemy, że wysokość ostrosłupa jest równa $\frac{4 \sqrt{6}}{3} cm$ .

Objętość ostrosłupa jest równa $V = \frac{1}{3} \cdot 8^{2} \cdot \frac{4 \sqrt{6}}{3} = \frac{256 \sqrt{6}}{9} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 22

R15YAVAxODHkM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfJPHAy6qtIGo

Wysokość ostrosłupa to połowa długości wysokości jego ściany bocznej, czyli jest równa $10 cm$ .

Odcinek $C D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ i wynosi $\frac{20 \sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3}$ , oraz jest trzecią częścią wysokości trójkąta podstawy ostrosłupa. Stąd długość $a$ krawędzi podstawy jest równa $a = 60 cm$ .

Pole podstawy jest równe $P_{p} = \frac{60^{2} \sqrt{3}}{4} = 900 \sqrt{3} ({cm}^{2})$ . Objętość ostrosłupa wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 900 \sqrt{3} \cdot 10 = 3000 \sqrt{3} ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 23

Dwa pojemniki, jeden w kształcie prostopadłościanu o wymiarach: $4 m$ i $4 m$ i $5 m$ , drugi w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości $9 m$ i krawędzi podstawy $6 m$ należy napełnić gazem.

W którym pojemniku będzie więcej gazu?

Sprawdź, czy do napełnienia obu pojemników wystarczy $200 m^{3}$ gazu.

Odpowiedzi uzasadnij.

RVbCr7nrRx0ve

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość graniastosłupa wynosi $V_{g} = 4 \cdot 4 \cdot 5 = 80 (m^{3})$ .

Objętość ostrosłupa jest równa $V_{o} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108 (m^{3})$ .

Oba naczynia mają razem pojemność $188 m^{3}$ , więc do ich napełnienia wystarczy $200 m^{3}$ gazu.

Ćwiczenie 24

Rgauzd8l3OFme3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rmgjy0XOqCFKr

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. W pewnym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym pole podstawy wynosi

9 \sqrt{3}

, a objętość ostrosłupa wynosi

30 \sqrt{3}

. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

, a pole powierzchni całkowitej wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

. W pewnym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni bocznej wynosi

20

, a pole podstawy wynosi

16

. Oznacza to, że pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

, a objętość wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

. W pewnym ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym pole powierzchni bocznej wynosi

48 \sqrt{6}

, a pole powierzchni całkowitej wynosi

48 \sqrt{6} + 24 \sqrt{3}

. Oznacza to, że pole podstawy tego ostrosłupa to 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

, a objętość wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

9 (\sqrt{103} + \sqrt{3})

, 3.

8

, 4.

16 \sqrt{63}

, 5.

36

, 6.

9 \sqrt{103}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.