Twierdzenia i ich rodzaje
Twierdzeniem nazywamy zdanie, które opisuje jakiś fakt, zależność lub równość, które potrafimy udowodnić, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych prawd. Pierwsza część takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie.
Druga część to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu.
Twierdzenie uznajemy za prawdziwe, jeżeli potrafimy je udowodnić. Dowodzenie twierdzenia polega na przeprowadzeniu takiego rozumowania, by z warunków podanych w założeniu wynikały własności sformułowane w tezie.
Najczęściej założenie poprzedza słowo „jeżeli”, a tezę słowo „to”.
R1D1Sp7cQv3gE1 
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykłady twierdzeń zbudowanych według wzoru „jeżeli …, to …”.
Jeżeli cyfrą jedności liczby naturalnej jest , to liczba ta jest podzielna przez .
Jeżeli bok trójkąta równobocznego ma długość , to obwód tego trójkąta jest równy .
Jeżeli na trójkącie prostokątnym jest opisany okrąg, to środek tego okręgu leży na przeciwprostokątnej trójkąta.
Twierdzenie odwrotne
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia T to twierdzenie, w którym założenie twierdzenia T jest tezą, a teza twierdzenia T jest założeniem.
Twierdzenie | Czy twierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe? | Twierdzenie odwrotne | Czy twierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe? |
|---|---|---|---|
Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. | Twierdzenie prawdziwe | Jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się pod kątem prostym, to jest on kwadratem. | Twierdzenie fałszywe |
Jeżeli liczba naturalna większa od jest liczbą pierwszą, to jest liczbą nieparzystą. | Twierdzenie prawdziwe | Jeżeli liczba naturalna większa od jest liczbą nieparzystą, to jest liczbą pierwszą. | Twierdzenie fałszywe |
Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez , to jest podzielna przez . | Twierdzenie fałszywe | Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez , to jest podzielna przez . | Twierdzenie prawdziwe |
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia prawdziwego może być prawdziwe lub fałszywe.
Dane twierdzenie i twierdzenie odwrotne można zapisać, używając spójnika „wtedy i tylko wtedy”, w postaci jednego twierdzenia, mającego postać równoważności.