Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Zapisywanie treści prostych zadań za pomocą równań

Co to jest równanie?

Z równaniami spotykaliście się już w młodszych klasach. Z pewnością często znajdowaliście liczbę ukrytą pod znakiem zapytania, chmurką czy w okienku, na przykład:

Ryc6cSLuXtX2F1
Przykłady równań z pustymi miejscami do uzupełnienia: puste +12 =20, znak zapytania razy 8=88, chmurka -15=40.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli w tych równościach zastąpimy okienko, chmurkę czy znak zapytania dowolną literą, to otrzymamy równania.

y+12=20
x·8=88
a-15=40.

W równaniach litera oznacza szukaną liczbę. Nazywamy ją niewiadomą.

Układanie prostych równań

Przykład 1

Agatka ma o 6 kredek więcej od Jacka. Razem mają 22 kredki. Ile kredek ma Jacek?

Ułóżmy równanie odpowiadające treści tego zadania i znajdźmy odpowiedź na pytanie.

  • sposób I

Oznaczmy liczbę kredek Jacka przez x.

Wówczas liczba kredek Agatki to x+6.

Łączna liczba kredek obojga dzieci to x+x+6.

Z treści zadania wiemy także, że razem dzieci mają 22 kredki.

Możemy więc zapisać równanie: x+x+6=22.

Jest to proste równanie, więc łatwo możemy odgadnąć, że pod literą x ukryta jest liczba 8.

Odp.: Jacek ma 8 kredek.

  • sposób II

Treść tego zadania mogliśmy zapisać także nieco inaczej, oznaczając jako x liczbę kredek Agatki.

x - liczba kredek Agatki,

x-6 - liczba kredek Jacka,

x+x-6 - łączna liczba kredek.

Teraz równanie ma postać: x+x-6=22.

Pod literą x ukryta jest liczba 14, czyli liczba kredek Agatki.

Liczba kredek Jacka to 14-6, czyli 8.

Zapamiętaj!

Układając równanie nie wpisujemy jednostek, ale występujące w nim liczby powinny być wyrażone w tych samych jednostkach.

Przykład 2

Ania kupiła jeden jogurt i 5 bułek po 80 gr. Razem zapłaciła 6,30 zł. Ile kosztował jogurt?

Do zadania możemy ułożyć równanie:

RG8xDYz9MXtv71
Zapis równań: x +5 razy 80 =630 (liczby 80 i 630 podane w groszach) lub x +5 razy 0,80 =6,30 (liczby 0,80 i 6,30 podane w złotych).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oczywiście x oznacza cenę jogurtu. Czy wiesz, ile kosztuje jogurt?

Odpowiedź: Jogurt kosztuje 2,30 zł.

Przykład 3

Obejrzyj filmy, aby dowiedzieć się jakie równania odpowiadają sytuacjom na rysunkach.

Rhhh2cYvMjOzw1
Animacja przedstawia jak za pomocą równań zapisać sytuacje przedstawione na wagach szalkowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rhhh2cYvMjOzw

Dzial VII_M3_Rozwiazywanie rownan_atrapa_animacja_353
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak za pomocą równań zapisać sytuacje przedstawione na wagach szalkowych.

R6mQ6MT7sA4SF1
Animacja przedstawia jak za pomocą równań zapisać sytuacje przedstawione na wagach szalkowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R6mQ6MT7sA4SF

Dzial VII_M3_Rozwiazywanie rownan_atrapa_animacja_354
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak za pomocą równań zapisać sytuacje przedstawione na wagach szalkowych.

RztVCHDYb8Wza11
Ćwiczenie 1
Uzupełnij poniższe luki w równaniach. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę lub symbol. Jeśli liczbę x powiększymy o 16, to otrzymamy 25. Jaką liczbą jest x?
x1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :16=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :
x=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :Jeśli liczbę y pomniejszymy o 2,5, to otrzymamy 11. Jaką liczbą jest y?
y1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :=11
y=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :Jeśli liczbę a powiększymy dwukrotnie, to otrzymamy 140. Jaką liczbą jest a?
a1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :2=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :
a=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :Jeśli liczbę k zmniejszymy 5 razy, to otrzymamy 8. Jaką liczbą jest k?
k1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :=8
k=1. 5, 2. 70, 3. ·, 4. 40, 5. -, 6. 2,5, 7. 13,5, 8. 9, 9. 25, 10. 140, 11. +, 12. :

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby lub symbole działań.

40, 2,5, :, 70, 9, 13,5, 140, 5, -, ·, 25, +

a) Jeśli liczbę x powiększymy o 16, to otrzymamy 25. Jaką liczbą jest x ?
x ............ 16= ............
x= ............
b) Jeśli liczbę y pomiejszymy o 2,5, to otrzymamy 11. Jaką liczbą jest y ?
y ............ ............ =11
y= ............
c) Jeśli liczbę a powiększymy dwukrotnie, to otrzymamy 140. Jaką liczbą jest a ?
a ............ 2= ............
a= ............
d) Jeśli liczbę k zmniejszymy 5 razy, to otrzymamy 8. Jaką liczbą jest k ?
k ............ ............ =8
k= ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPr7kRPBDAmAy1
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższe luki w równaniach. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę lub symbol w każdym przypadku. Za 3,5 kg śliwek po x złotych za kilogram zapłacono 14 złotych. Ile kosztował 1 kg śliwek?
3,51. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°x=1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°
x=1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°W prostokącie o polu równym 54 cm2 jeden z boków ma długość 6 cm. Jaką długość ma drugi bok?
1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°y=54
y=1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°Dany jest trójkąt o kątach α, β, γ. Oblicz miarę kąta α jeśli wiadomo, że β=40° oraz γ=110°.
α1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°40°1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°110°=1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°
α=1. 4, 2. 360°, 3. 30°, 4. +, 5. ·, 6. -, 7. ·, 8. 9, 9. 180°, 10. +, 11. 14, 12. 6, 13. 70°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dobieranie równań do treści zadania

RdAZtf8VLcKIC21
Ćwiczenie 3
Dopasuj do każdego zdania równanie, które ono opisuje. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz odpowiednie równanie dla każdego zdania. Za 3 ołówki, każdy po 60 groszy oraz 2 zeszyty po x złotych za sztukę, zapłacono 13 złotych.
1. 2x-2+4x=125, 2. x+x+12=30, 3. 2·2+4x=125, 4. 3·0,6+2x=13, 5. 12+x+12=30, 6. 3·0,6+2+x=13Samochodzik jest o 2 złote tańszy od piłki, która kosztuje x złotych. Za 2 samochodziki i 4 piłki zapłacono 125 złotych.
1. 2x-2+4x=125, 2. x+x+12=30, 3. 2·2+4x=125, 4. 3·0,6+2x=13, 5. 12+x+12=30, 6. 3·0,6+2+x=13Ewa jest o x lat starsza od Kasi, która ma 12 lat. Razem mają 30 lat.
1. 2x-2+4x=125, 2. x+x+12=30, 3. 2·2+4x=125, 4. 3·0,6+2x=13, 5. 12+x+12=30, 6. 3·0,6+2+x=13

Przeciągnij i upuść równanie do zadania, które ono opisuje.

12+(x+12)=30, 3·0,6+2+x=13, 2(x-2)+4x=125, 3·0,6+2x=13, x+(x+12)=30, 2·2+4x=125

a) Za 3 ołówki, każdy po 60 groszy oraz 2 zeszyty po x złotych za sztukę, zapłacono 13 złotych.
..........................
b) Samochodzik jest o 2 złote tańszy od piłki, która kosztuje x złotych. Za 2 samochodziki i 4 piłki zapłacono 125 złotych.
..........................
c) Ewa jest o x lat starsza od Kasi, która ma 12 lat. Razem mają 30 lat.
..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Co w równaniu oznacza niewiadoma?

RAmwjg9C6MV5I21
Ćwiczenie 4
Kamil ma 3 razy więcej płyt niż Bartek, który ma o 6 płyt więcej niż Dawid. Razem mają 44 płyty. Zależność tą opisuje równanie:
x+3x+x – 6=44
Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Możliwe odpowiedzi: 1. Liczbę płyt Kamila., 2. Liczbę płyt Bartka., 3. Liczbę płyt Dawida.

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Kamil ma 3 razy więcej płyt niż Bartek, który ma o 6 płyt więcej niż Dawid. Razem mają 44 płyty.
x + 3x + (x – 6) = 44.

  • liczba płyt Kamila
  • liczba płyt Bartka
  • liczba płyt Dawida
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PdVO51oq26K21
Ćwiczenie 5
Szkolna drużyna piłki nożnej zdobyła w rozgrywkach 15 goli. Wszystkie bramki strzelili trzej zawodnicy. Najlepszym strzelcem okazał się Marek, który zdobył o 3 gole więcej od Andrzeja, a Piotr zdobył 2 bramki. Zależność tą opisuje równanie:
x+x-3+2=15.
Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczbę goli Marka., 2. Liczbę goli Andrzeja., 3. Liczbę goli Piotra.

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Szkolna drużyna piłki nożnej zdobyła w rozgrywkach 15 goli. Wszystkie bramki strzelili trzej zawodnicy. Najlepszym strzelcem okazał się Marek, który zdobył o 3 gole więcej od Andrzeja, a Piotr zdobył 2 bramki. x + (x – 3) + 2 = 15

  • liczba goli Marka
  • liczba goli Andrzeja
  • liczba goli Piotra
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aVuLbrwYJ9e31
Ćwiczenie 6
Za 5 kg truskawek po 4 zł za kilogram Ania zapłaciła o 7 zł więcej niż za 3 kg malin. Zależność tą opisuje równanie:
x·3+7=5·4
Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Cenę 1  kg truskawek., 2. Wartość całych zakupów., 3. Cenę 1  kg malin.

Do treści zadania ułożono równanie. Co oznacza niewiadoma x w danym równaniu?
Wskaż prawidłową odpowiedź.
Za 5 kg truskawek po 4 zł za kilogram Ania zapłaciła o 7 zł więcej niż za 3 kg malin.
x · 3 + 7 = 5 · 4 .

  • cena 1  kg truskawek
  • wartość całych zakupów
  • cena 1  kg malin
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 7

Za pomocą różnych równań zapisano treść następującego zadania:

Jurek ma o 6 książek więcej niż Agata i 3 razy więcej niż Iza. Jurek, Agata i Iza mają łącznie tyle książek, ile Gosia i Ania razem. Gosia ma 16 książek, a Ania tyle co Agata.

Wybierz, co oznacza niewiadoma x w poszczególnych równaniach.

R1eKMuOmzMJoh
3x+3x-6+x=16+3x-6 Możliwe odpowiedzi: 1. Liczbę książek Jurka., 2. Liczbę książek Izy., 3. Liczbę książek Agaty., 4. Liczbę książek Gosi., 5. Liczbę wszystkich książek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14tjVWgKLx37
x+6+x+13x+6=16+x Możliwe odpowiedzi: 1. Liczbę książek Jurka., 2. Liczbę książek Izy., 3. Liczbę książek Agaty., 4. Liczbę książek Gosi., 5. Liczbę wszystkich książek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZZY1bDbZwsv
x+x-6+13x=16+x-6 Możliwe odpowiedzi: 1. Liczbę książek Jurka., 2. Liczbę książek Izy., 3. Liczbę książek Agaty., 4. Liczbę książek Gosi., 5. Liczbę wszystkich książek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.