Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykłady.

W tym materiale zawarte są przykłady obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych. Są w nim też zaprezentowane przykłady dowodzenia równości i nierówności związanych z funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - zadaniaDVQDRFeu4Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - zadania.

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia

\frac{\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° - 3}{\cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° + 1}

Ponieważ dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° = 1

\cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° = 1

Wobec tego

\frac{\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° - 3}{\cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{- 2}{2} = - 1

Przykład 2

Kąt $α$ jest ostry i $\sin α = \frac{9}{11}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $\cos^{2} α$ .
Ponieważ

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α

dla dowolnego kąta ostrego $α$ .

Skoro $\sin α = \frac{9}{11}$ , to

\cos^{2} α = 1 - {(\frac{9}{11})}^{2} = 1 - \frac{81}{121} = \frac{40}{121}

Przykład 3

Kąt $α$ jest ostry i $\cos α = \frac{3}{4}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $3 - \frac{\sin α}{tg α}$ .

Ponieważ

\frac{\sin α}{\cos α} = tg α

\frac{\sin α}{tg α} = \frac{\sin α}{\frac{\sin α}{\cos α}} = \frac{\sin α \cdot \cos α}{\sin α} = \cos α

Zatem dla $\cos α = \frac{3}{4}$ otrzymujemy

3 - \frac{\sin α}{tg α} = 3 - \cos α = 3 - \frac{3}{4} = 2 \frac{1}{4}

Przykład 4

Wykażemy, że $\sin 38 ° < tg 38 °$ .
Wiemy, że cosinus dowolnego kąta ostrego jest mniejszy od $1$ , więc

\cos 38 ° < 1

Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °}$ .
Zatem

\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °} \cdot \cos 38 ° < \frac{\sin 38 °}{\cos 38 °}

Ponieważ

\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °} = tg 38 °

więc

\sin 38 ° < tg 38 °

co należało wykazać.

Przykład 5

Kąt $α$ jest ostry i $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $2 \sin^{2} α - \cos^{2} α$ .
Korzystając z tożsamości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy

\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α

Wobec tego

2 \sin^{2} α - \cos^{2} α = 2 (1 - \cos^{2} α) - \cos^{2} α = 2 - 2 \cos^{2} α - \cos^{2} α = 2 - 3 \cos^{2} α

Dla $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ mamy

2 \sin^{2} α - \cos^{2} α = 2 - 3 \cdot {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} = 2 - \frac{3 \cdot 5}{9} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}

Przykład 6

Kąt $α$ jest ostry i $\sin α = 0,3$ . Obliczymy $\cos α$ i $tg α$ .
Korzystając z tożsamości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α$ . Wobec tego dla $\sin α = 0,3$ mamy:

\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(0,3)}^{2} = 1 - 0,09 = \frac{91}{100}

Ponieważ $\cos α > 0$ , więc otrzymujemy

\cos α = \frac{\sqrt{91}}{10}

stąd

tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{\sqrt{91}}{10}} = \frac{3}{\sqrt{91}} = \frac{3 \sqrt{91}}{91}

Przykład 7

Kąt $α$ jest ostry i $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $10 - 9 {tg}^{2} α$ .

$I$ sposób

Skoro $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , to

\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2} = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}

Ponieważ $\cos α > 0$ , to $\cos α = \frac{3}{4}$ oraz

tg α = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}

Stąd

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot {(\frac{\sqrt{7}}{3})}^{2} = 10 - 9 \cdot \frac{7}{9} = 10 - 7 = 3

$II$ sposób

Korzystając z tożsamości stosowanych w poprzednich przykładach, wyrazimy $10 - 9 {tg}^{2} α$ za pomocą $\sin α$ .

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot {(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2} = 10 - 9 \cdot \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = 10 - 9 \cdot \frac{\sin^{2} α}{1 - \sin^{2} α}

Wtedy dla $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ otrzymujemy

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot \frac{\sin^{2} α}{1 - \sin^{2} α} = 10 - 9 \cdot \frac{{(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2}}{1 - {(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2}} = 10 - 9 \cdot \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{9} = 3

Przykład 8

Kąt $α$ jest ostry i $tg α = \frac{\sqrt{11}}{5}$ . Obliczymy $\sin α$ i $\cos α$ .
Jeśli $tg α = \frac{\sqrt{11}}{5}$ , to $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\sqrt{11}}{5}$ , skąd $\sin α = \frac{\sqrt{11}}{5} \cos α$ . Ponadto $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , czyli

{(\frac{\sqrt{11}}{5} \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1

Zatem

\frac{11}{25} \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1

11 \cos^{2} α + 25 \cos^{2} α = 25

36 \cos^{2} α = 25

\cos^{2} α = \frac{25}{36}

Ponieważ $\cos α > 0$ , to

\cos α = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}

\sin α = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{\sqrt{11}}{6}

Przykład 9

Kąt $α$ jest ostry i $tg α = \frac{3}{8}$ . Obliczymy $\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \sin α}$ .

$I$ sposób

Najpierw obliczamy $\sin α$ i $\cos α$ .
Jeśli $tg α = \frac{3}{8}$ , to $\sin α = \frac{3}{8} \cos α$ . Ponadto $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , skąd

{(\frac{3}{8} \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1

Wobec tego

\frac{9}{64} \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1

9 \cos^{2} α + 64 \cos^{2} α = 64

\cos^{2} α = \frac{64}{73}

Ponieważ $\cos α > 0$ , to $\cos α = \sqrt{\frac{64}{73}} = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $\sin α = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 \sqrt{73}}{73} = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ ,

czyli wartość danego wyrażenia to

\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \sin α} = \frac{2 \cdot \frac{3 \sqrt{73}}{73} + \frac{8 \sqrt{73}}{73}}{2 \cdot \frac{8 \sqrt{73}}{73} - 6 \cdot \frac{3 \sqrt{73}}{73}} = \frac{14 \sqrt{73}}{- 2 \sqrt{73}} = - 7

$II$ sposób

Zauważmy, że jeśli $tg α = \frac{3}{8}$ , to $\sin α = \frac{3}{8} \cos α$ . Uwzględniając tę zależność, otrzymujemy

\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \sin α} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8} \cos α + \cos α}{2 \cos α - 6 \cdot \frac{3}{8} \cos α} = \frac{\frac{7}{4} \cos α}{- \frac{1}{4} \cos α} = - 7

$III$ sposób

Korzystając z tożsamości $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , wyrazimy $\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \cos α}$ za pomocą $tg α$ .

\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \sin α} = \frac{\frac{2 \sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\cos α}}{\frac{2 \cos α}{\cos α} - \frac{6 \sin α}{\cos α}} = \frac{2 tgα + 1}{2 - 6 tg α}

Skoro $tg α = \frac{3}{8}$ , to

\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - 6 \sin α} = \frac{2 tg α + 1}{2 - 6 tg α} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8} + 1}{2 - 6 \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{7}{4}}{- \frac{1}{4}} = - 7

Przykład 10

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $tg α + \frac{1}{tg α} = 9$ , to ${tg}^{2} α + \frac{1}{{tg}^{2} α} = 79$ .
Skoro $tg α + \frac{1}{tg α} = 9$ , to

{(tg α + \frac{1}{tg α})}^{2} = 81

Stąd

{tg}^{2} α + 2 tg α \cdot \frac{1}{tg α} + \frac{1}{{tg}^{2} α} = 81

czyli

{tg}^{2} α + 2 + \frac{1}{{tg}^{2} α} = 81

Wynika z tego, że ${tg}^{2} α + \frac{1}{{tg}^{2} α} = 79$ , a to właśnie należało wykazać.

Przykład 11

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ wartość wyrażenia ${(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\cos α - \sin α)}^{2}$ jest równa $2$ .
Przekształcamy wyrażenie

{(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\cos α - \sin α)}^{2} =

= \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α + \cos^{2} α - 2 \sin α \cos α + \sin^{2} α =

= 2 \sin^{2} α + 2 \cos^{2} α = 2 (\sin^{2} α + \cos^{2} α)

Korzystamy z tożsamości $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , skąd

{(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\cos α - \sin α)}^{2} = 2 (\sin^{2} α + \cos^{2} α) = 2 \cdot 1 = 2

a to właśnie należało wykazać.

Przykład 12

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $\sin α + \cos α = \frac{7}{5}$ , to $\sin^{4} α + \cos^{4} α = \frac{337}{625}$ .
Jeśli $\sin α + \cos α = \frac{7}{5}$ , to ${(\sin α + \cos α)}^{2} = {(\frac{7}{5})}^{2}$ , skąd $\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = \frac{49}{25}$ .
Ponieważ $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , to $2 \sin α \cos α = \frac{49}{25} - 1$ , czyli $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ .
Przekształcając tożsamość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , otrzymujemy kolejno

{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} = 1

\sin^{4} α + 2 \sin^{2} α \cos^{2} α + \cos^{4} α = 1

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - 2 {(\sin α \cos α)}^{2}

Uwzględniając równość $\sin α \cos α = \frac{12}{25}$ , otrzymujemy

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - 2 \cdot {(\frac{12}{25})}^{2}

skąd

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \cdot 144}{625} = \frac{337}{625}

Koniec dowodu.

Przykład 13

W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa $\frac{31}{25}$ . Wykażemy, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy $\frac{168}{625}$ .
Oznaczmy przez $α$ i $β$ miary kątów ostrych w danym trójkącie. Wtedy $\sin β = \sin (90 ° - α) = \cos α$ .
Z warunków zadania mamy $\sin α + \sin β = \frac{31}{25}$ , czyli $\sin α + \cos α = \frac{31}{25}$ .
Wynika z tego, że

{(\sin α + \cos α)}^{2} = {(\frac{31}{25})}^{2} = \frac{961}{625}

Ponadto

{(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 1 + 2 \sin α \cos α

Zatem $1 + 2 \sin α \cos α = \frac{961}{625}$ , skąd

2 \sin α \cos α = \frac{961}{625} - 1 = \frac{336}{625}

czyli

\sin α \cos α = \frac{168}{625}

Koniec dowodu.

Przykład 14

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest nierówność $\sin α + \cos α \leq \sqrt{2}$ .
Skorzystamy z udowodnionej wcześniej tożsamości

{(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\cos α - \sin α)}^{2} = 2

którą przekształcimy do postaci

{(\cos α - \sin α)}^{2} = 2 - {(\sin α + \cos α)}^{2}

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to ${(\cos α - \sin α)}^{2} \geq 0$ dla dowolnego kąta ostrego $α$ .
Wynika z tego, że

2 - {(\sin α + \cos α)}^{2} \geq 0

czyli

{(\sin α + \cos α)}^{2} \leq 2

Stąd

\sin α + \cos α \leq \sqrt{2}

Koniec dowodu.