Wyrażenia algebraiczne - zadania - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Pokaż ćwiczenia:

Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z wyrażeniami algebraicznymi. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat wyrażeń algebraicznych, zajrzyj do lekcji Wyrażenia algebraiczneDpRcpSJVWyrażenia algebraiczne.
Czym będziemy zajmować się w tej lekcji? Podpowiedzi znajdziesz w poniższej mapie myśli.

RL2IcZlrzE07o1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Zapisz sumę $x^{2} + 8 x + 16$ w postaci potęgi, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
Sumę
$x^{2} + 8 x + 16$
zapiszemy w postaci kwadratu pierwszego wyrażenia, podwojonego iloczynu obu wyrażeń oraz kwadratu drugiego wyrażenia
$x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2}$ .
Zatem
$x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = {(x + 4)}^{2}$ .

Sprawdź, czy wyrażenie $x^{2} + 5 x + 16$ można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
Jeśli wyrażenie
$x^{2} + 5 x + 16$
jest kwadratem sumy dwóch wyrażeń, to oznacza, że pierwszym wyrażeniem jest $x$ , a drugim $4$ (kwadraty tych wyrażeń to odpowiednio $x^{2}$ i $16$ ). Musimy sprawdzić, czy wyrażenie $5 x$ jest podwojonym iloczynem.
$2 \cdot 4 \cdot x = 8 x \neq 5 x$
Z tego wynika, że sumy $x^{2} + 5 x + 16$ nie można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

Przykład 2

Podane wyrażenia zapisz, jeśli będzie to możliwe, w postaci iloczynu, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$x^{2} - 25$
Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb $x$ i $5$ . Zatem na podstawie wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:
$x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)$ .

$x^{2} - 10$
Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb $x$ i $\sqrt{10}$ , więc
$x^{2} - 10 = x^{2} - {(\sqrt{10})}^{2} = (x - \sqrt{10}) (x + \sqrt{10})$ .

$x^{2} + 4$
Wyrażenia nie można zapisać w postaci różnicy liczb rzeczywistych nieujemnych, zatem nie możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

Przykład 3

Wykaż, że liczba $29 + 12 \sqrt{5}$ jest kwadratem liczby $3 + 2 \sqrt{5}$ .
Aby przeprowadzić dowód, wystarczy wykazać, że

{(3 + 2 \sqrt{5})}^{2} = 29 + 12 \sqrt{5}

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) otrzymamy

{(3 + 2 \sqrt{5})}^{2} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 9 + 12 \sqrt{5} + 20 = 29 + 12 \sqrt{5}

Z tego wynika, że liczba $29 + 12 \sqrt{5}$ jest kwadratem liczby $3 + 2 \sqrt{5}$ .

Przykład 4

Znajdź liczbę postaci $a + b \sqrt{3}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi, której kwadrat jest równy $19 - 8 \sqrt{3}$ .
W znalezieniu takiej liczby pomoże wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Liczbę $8 \sqrt{3}$ możemy zapisać na przykład w postaci

8 \sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{3}

lub

8 \sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}

czyli jako podwojony iloczyn liczb odpowiednio $2$ i $2 \sqrt{3}$ lub $4$ i $\sqrt{3}$ . Sprawdzimy, w którym przypadku suma kwadratów tych liczb jest równa $19$ .

Jeśli przyjmiemy, że $8 \sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{3}$ , to $2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 4 + 12 \neq 19$ .
Jeśli przyjmiemy, że $8 \sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}$ , to $4^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 16 + 3 = 19$ .

Z tego wynika, że liczbę $19 - 8 \sqrt{3}$ możemy zapisać jako ${(4 - \sqrt{3})}^{2}$ lub jako ${(\sqrt{3} - 4)}^{2}$ .
Zatem istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy $19 - 8 \sqrt{3}$ . Jest to liczba $4 - \sqrt{3}$ i liczba do niej przeciwna $\sqrt{3} - 4$ .

Przykład 5

Wykaż, że liczba $\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2}$ jest całkowita.

Wykażemy, że podana liczba jest całkowita, usuwając niewymierność z mianownika ułamka. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać różnicę kwadratów. Zatem

\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{4 - 2} + \sqrt{2} =

= \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2.

Liczba $2$ jest całkowita, zatem liczba $\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2}$ jest całkowita.

Ćwiczenie 1

R1UpJ3qpYe9HP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do takich obliczeń możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia.

$209^{2} = {(200 + 9)}^{2} = 40000 + 3600 + 81 = 43681$
$297^{2} = {(300 - 3)}^{2} = 90000 - 1800 + 9 = 88209$
$203 \cdot 197 = (200 + 3) (200 - 3) = 40000 - 9 = 39991$

RZUpsW8ucMvvm2

Ćwiczenie 2

${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$
${(a + 5)}^{2} = a^{2} + 10 a + 25$
${(2 x - 4)}^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 16$
${(x + 3 \sqrt{2})}^{2} = x^{2} + 6 x \sqrt{2} + 18$
${(\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{4}$
$2 (x - 4) (x + 4) + 32 = 2 x^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RMi7VbsPpq1MW

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

{(\sqrt{2} + 3)}^{2}

=

14 - 6 \sqrt{5}

, 2.

12 - 4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}

, 4.

30 + 12 \sqrt{6}

, 5.

11 + 6 \sqrt{2}

, 6.

\frac{2}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{4}

, 7.

15 + 10 \sqrt{6}

, 8.

15 + 6 \sqrt{2}

{(3 - \sqrt{5})}^{2}

=

14 - 6 \sqrt{5}

, 2.

12 - 4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}

, 4.

30 + 12 \sqrt{6}

, 5.

11 + 6 \sqrt{2}

, 6.

\frac{2}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{4}

, 7.

15 + 10 \sqrt{6}

, 8.

15 + 6 \sqrt{2}

{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{2}

=

14 - 6 \sqrt{5}

, 2.

12 - 4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}

, 4.

30 + 12 \sqrt{6}

, 5.

11 + 6 \sqrt{2}

, 6.

\frac{2}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{4}

, 7.

15 + 10 \sqrt{6}

, 8.

15 + 6 \sqrt{2}

{(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2}

=

14 - 6 \sqrt{5}

, 2.

12 - 4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}

, 4.

30 + 12 \sqrt{6}

, 5.

11 + 6 \sqrt{2}

, 6.

\frac{2}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{4}

, 7.

15 + 10 \sqrt{6}

, 8.

15 + 6 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

${(\sqrt{2} + 3)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 3^{2} = 11 + 6 \sqrt{2}$
${(3 - \sqrt{5})}^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + {(\sqrt{5})}^{2} = 14 - 6 \sqrt{5}$
${(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} + 2 \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{3} + {(2 \sqrt{3})}^{2} =$
$= 18 + 12 \sqrt{6} + 12 = 30 + 12 \sqrt{6}$
${(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2} = {(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{3} + {(\frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2} =$
$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \sqrt{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}$

RJvgPnLMGDI6F1

Ćwiczenie 4

$6 \sqrt{2}$
$0$
$- 12 \sqrt{2}$
$- 6 \sqrt{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R987Y614gmrV11

Ćwiczenie 5

$12$
$- 2$
$0$
$2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoAKHkRbHYfYX1

Ćwiczenie 6

$6 x^{4} - 10 x^{2} + 24$
$6 x^{4} + 10 x^{2} + 24$
$6 x^{4} - 10 x^{2} - 24$
$6 x^{4} + 10 x^{2} - 24$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JSAX5xMpX0M1

Ćwiczenie 7

$3 (a + 2 b) (a - b)$
$- 3 (a + 2 b) (a - b)$
$- 3 (a - 2 b) (a + b)$
$3 (a - 2 b) (a + b)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R18MMFqIKLECP1

Ćwiczenie 8

$\frac{1}{2} a^{2} b = 18 x^{2} - 24 x + 8$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 18 x^{2} + 8$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 9 x^{2} - 12 x + 4$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 36 x^{2} - 48 x + 16$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPbHWWBzY81Ol1

Ćwiczenie 9

$bc - a^{2}$
$ab - a^{2}$
$ac - a^{2}$
$- a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19uo1zByqHgO1

Ćwiczenie 10

$8 a^{2} + 20 a + 12$
$4 a^{2} + 22 a + 24$
$8 a^{2} + 44 a + 48$
$4 a^{2} + 10 a + 6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LKxSsqZ9Pip1

Ćwiczenie 11

$(1 - \sqrt{5} x) (1 - \sqrt{5} x)$
$(1 - \sqrt{5} x) (1 + \sqrt{5} x)$
$(1 - \sqrt{5} x) (1 + 5 x)$
$(1 - 5 x) (1 + 5 x)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RboXr2A6nBLko1

Ćwiczenie 12

$305$
$307$
$308$
$309$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHi2XL5iSvYef1

Ćwiczenie 13

$2 \sqrt{2} + 3$
$10 \sqrt{2} + 15$
$15 + 10 \sqrt{2}$
$- 2 \sqrt{2} - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13CC7QjpDUip2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R159kVxdI8qhs2

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwnLh0KhsuTfS2

Ćwiczenie 16

Wykonaj mnożenie, zredukuj wyrazy podobne, a nastepnie uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

(1 - 9 x) (2 + 6 x)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(2 x + 3) (4 - x^{2})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(x + y + z) (x y + y^{3} + x^{2} z)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

\frac{1}{3} (5 y - 9) (3 y + 4)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) (\frac{3}{2} x + \frac{2}{3})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(3 x^{2} + 2 x - 1) (2 x - 4)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(4 y^{3} - 2 y + 5) (y^{2} + y - 2)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(5 x - \sqrt{3}) (\sqrt{2} x + \sqrt{6})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

\sqrt{3} (a - \sqrt{3}) (3 a - 4 \sqrt{3})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(\sqrt{3} x + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} x - \sqrt{2})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

Wykonaj mnożenie, zredukuj wyrazy podobne, a nastepnie uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

(1 - 9 x) (2 + 6 x)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(2 x + 3) (4 - x^{2})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(x + y + z) (x y + y^{3} + x^{2} z)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

\frac{1}{3} (5 y - 9) (3 y + 4)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) (\frac{3}{2} x + \frac{2}{3})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(3 x^{2} + 2 x - 1) (2 x - 4)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(4 y^{3} - 2 y + 5) (y^{2} + y - 2)

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(5 x - \sqrt{3}) (\sqrt{2} x + \sqrt{6})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

\sqrt{3} (a - \sqrt{3}) (3 a - 4 \sqrt{3})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

(\sqrt{3} x + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} x - \sqrt{2})

=

\frac{2}{6} x^{2} - \frac{2}{6} x - \frac{4}{6}

, 2.

{3 x}^{2} - 4 x^{2} - 10 x + 3

, 3.

x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y

, 4.

x^{4} z^{4} + y^{3} z + x^{2} y z + x y z + x^{3} z + y^{2} + x y^{3} + x y^{4} + x^{2} y

, 5.

- 52 x^{4} - 12 x + 2

, 6.

- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12

, 7.

7 \sqrt{2} x^{2} + 8 x \sqrt{3} x - 5 \sqrt{2}

, 8.

6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2

, 9.

\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}

, 10.

8 y^{3} + 4 y^{4} - 12 y^{3} + 6 y^{4} + 9 y - 10

, 11.

5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}

, 12.

5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12

, 13.

3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}

, 14.

4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10

, 15.

- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 12

, 16.

5 \sqrt{3} a^{2} - 25 a + 14 \sqrt{3}

, 17.

7 y^{2} - \frac{5 y}{4} - 10

, 18.

{6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4

, 19.

- 54 x^{2} - 12 x + 2

, 20.

6 x^{4} + x \sqrt{12} - 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

$4 a b^{3} - 2 a^{2} b + 6 a b$
$2 x^{3} y + 18 x^{2} y^{2} + 9 x y^{3}$
$4 x (x - 3) + 2 x^{2} (x - 3) - 6 x^{3} (x - 3)$
$3 a (a + 5) (a - 1) + 9 a (a - 1) (a + 3) - 6 a (a - 1) (a + 2)$
$2 {(x - 1)}^{2} (x + 3) + 4 (x - 1) {(x + 3)}^{2} + 6 (x - 1) (x + 3)$
$x^{2} y^{2} + x^{3} y + 3 x y$
$x z^{2} + x y z + x^{2} z + 3 z + x^{2} y + 3 x$

RyUE37hv7eri1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 a b (2 b^{2} - a + 3)$
$x y (2 x^{2} + 18 x y + 9 y^{2})$
$- 2 x (x - 3) (x - 1) (3 x + 2)$
$6 a (a - 1) (a + 5)$
$2 (x - 1) (x + 3) (3 x + 8)$
$x y (x y + x^{2} + 3)$
$(x + z) (x z + x y + 3)$

Ćwiczenie 18

Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla podanej wartości $x$ .

$(2 x - 3) (3 x - 1) - 3$ dla $x = 2 \sqrt{3}$
$4 x (x - 3) + 2 x (1 - 2 x) + 3$ dla $x = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$
$3 x^{2} (2 x + 1) + x (4 - 3 x)$ dla $x = \sqrt[3]{5}$
$(4 x - 1) (2 - 3 x) - (x - 1) (x - 2)$ dla $x = - 3 \sqrt{5}$
${(2 x - 3)}^{2} + 2 (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) - 3 (10 - 4 x)$ dla $x = 3 \sqrt{10}$
$6 (x - 1) (x + 1) + 4 (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 5) (x + 5)$ dla $x = 1 + 2 \sqrt{2}$

RnuFYob0JIUPl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od wykonania wskazanych działań, następnie zredukuj wyrazy podobne. Oblicz wartość otrzymanego wyrażenia dla podanej wartości $x$ .

$6 x^{2} - 11 x$ . Dla $x = 2 \sqrt{3}$ wartość wyrażenia wynosi $72 - 22 \sqrt{3}$ .
$- 10 x + 3$ . Dla $x = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ wartość wyrażenia wynosi $- 2 - 10 \sqrt{2}$ .
$6 x^{3} + 4 x$ . Dla $x = \sqrt[3]{5}$ wartość wyrażenia wynosi $30 + 4 \sqrt[3]{5}$ .
$- 13 x^{2} + 14 x - 4$ . Dla $x = - 3 \sqrt{5}$ wartość wyrażenia wynosi $- 589 - 42 \sqrt{5}$ .
$2 x^{4} + 4 x^{2} - 53$ . Dla $x = 3 \sqrt{10}$ wartość wyrażenia wynosi $16507$ .
$12 x^{2} - 92$ . Dla $x = 1 + 2 \sqrt{2}$ wartość wyrażenia wynosi $16 + 48 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 19

Zapoznaj się z poniższymi rysunkami figur.

R1L8jHZpJeSbP

Rysunek przedstawia sześć figur. Pierwszą figurą jest trójkąt ostrokątny o boku równym 2a - 5 i wysokości opuszczonej na ten bok równej 2a. Drugą figurą jest trójkąt prostokątny o krótszej przyprostokątnej długości a - 2 i dłuższej przyprostokątnej długości 4a + 3. Trzecią figurą jest romb, w którym krótsza przekątna jest równa a - 2, a dłuższa przekątna jest równa 4a + 1. Czwartą figurą jest równoległobok o dłuższym boku długości 4a + 5 i wysokości opadającej na ten bok równej jedna druga a. Piątą figurą jest trapez o dłuższej podstawie równej 2a + 6, krótszej podstawie 2a i wysokości równej a - 2. Szóstą figurą jest prostokąt o dłuższym boku długości 6a + 9 i krótszym boku długości jedna trzecia a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RR3bbZHeIjb7w

Połącz w pary figurę i wzór opisujący jej pole.

P = 2 a^{2} + 5 a

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} - \frac{5}{2} a - 3

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} - 3 \frac{1}{2} a - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} + \frac{5}{2} a

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} - a - 6

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} + 3 a

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

P = 2 a^{2} - a + 6

Możliwe odpowiedzi: 1. Figura

1

, 2. Figura

6

, 3. Figura

3

, 4. Brak przypisanej figury, 5. Figura

4

, 6. Figura

5

, 7. Figura

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Boki prostokąta są równe $a + 5$ i $2 a + 5$ , gdzie $a$ jest liczbą dodatnią. O ile zmieni się pole prostokąta, jeśli długość pierwszego boku zwiększymy o $3$ , a długość drugiego zmniejszymy o $4$ ? Podaj odpowiednie założenia.

RTkaaegoayrxh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Różnica pól prostokątów jest równa $(a + 5 + 3) \cdot (2 a + 5 - 4) - (a + 5) \cdot (2 a + 5) = 2 a - 17$ .

Ćwiczenie 21

Zapisz wyrażenie opisujące pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu przestawionego na rysunku. Krawędzie prostopadłościanu są równe $y + 4$ , $z + 6$ , $x + z$ , gdzie $x$ , $y$ , $z$ to liczby dodatnie.

RZ8NMLaULpEJ51

Rysunek prostopadłościanu o szerokości y + 4, głębokości z + 6 i wysokości x + z. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAisaZL40T5Cv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P = 2 ((y + 4) (z + 6) + (y + 4) (x + z) + (x + z) (z + 6) =$

$= 2 z^{2} + 4 y z + 2 x z + 28 z + 2 x y + 12 y + 20 x + 48$

Ćwiczenie 22

Wykaż, że równość $\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2} - 1$ jest prawdziwa.

Ral5xCXw4DBba

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} \cdot \frac{2 \sqrt{3} - 4}{2 \sqrt{3} - 4} = \frac{- 6 \sqrt{3} + 10}{- 4} = \frac{- 6 (\sqrt{3} - 1) + 4}{- 4} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2} - 1$

R1FtPtrZkY19j21

Ćwiczenie 23

Wykorzystując znajomość wzorów skróconego mnożenia, połącz w pary wyrażenia sobie równe.

x^{2} - 2 x + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

4 x^{2} - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

4 x^{2} + 4 x + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

x^{2} + 2 x + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

x^{2} - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

4 x^{2} - 4 x + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(x - 1) (x + 1)

, 2.

{(2 x + 1)}^{2}

, 3.

{(x + 1)}^{2}

, 4.

{(x - 1)}^{2}

, 5.

(2 x - 1) (2 x + 1)

, 6.

{(2 x - 1)}^{2}

Połącz w pary.

$x^{2} - 2 x + 1$
$4 x^{2} - 1$
$4 x^{2} + 4 x + 1$
$x^{2} + 2 x + 1$
$x^{2} - 1$
$4 x^{2} - 4 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQoEiDCU5GlnQ21

Ćwiczenie 24

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia. Połącz w pary wyrażenia z ich słownym opisem. kwadrat sumy dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

suma kwadratów dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

suma odwrotności dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

odwrotność sumy dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

potrojony iloczyn dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń Możliwe odpowiedzi: 1.

{(p + q)}^{2}

, 2.

3 p q

, 3.

\frac{1}{p + q}

, 4.

\frac{1}{{(p - q)}^{2}}

, 5.

p^{2} + q^{2}

, 6.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q}

, 7.

\frac{1}{p^{2} - q^{2}}

, 8.

3 {(p + q)}^{2}

Połącz w pary wyrażenia z ich słownym opisem.

kwadrat sumy dwóch wyrażeń
suma kwadratów dwóch wyrażeń
suma odwrotności dwóch wyrażeń
odwrotność sumy dwóch wyrażeń
potrojony iloczyn dwóch wyrażeń
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7j7ZHZ3nSHFW21

Ćwiczenie 25

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia. Połącz w pary te, które są sobie równe.

4 + 2 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

7 - 4 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

9 + 4 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

9 - 4 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

4 - 2 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

7 + 4 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(2 - \sqrt{3})}^{2}

, 2.

{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}

, 3.

{(\sqrt{3} - 1)}^{2}

, 4.

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

, 5.

{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}

, 6.

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

Połącz w pary.

$4 + 2 \sqrt{3}$
$7 - 4 \sqrt{3}$
$9 + 4 \sqrt{2}$
$9 - 4 \sqrt{2}$
$4 - 2 \sqrt{3}$
$7 + 4 \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RrlLchKHE4NuM31

Ćwiczenie 26

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13FW9OTJJfbk31

Ćwiczenie 27

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1alDSAYLkEr931

Ćwiczenie 28

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.