Działania na ułamkach zwykłych - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Skracanie i rozszerzanie ułamków

Poniższa animacja przybliży czym jest rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych Zapoznaj się z nią, aby rozwiązać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.

R14aeo7Iw9DYp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Dwa jednakowe kwadraty podzielono na równe części: jeden na $4$ , a drugi na $8$ części.

R1enDCnOOMsW01

Rysunek dwóch jednakowych kwadratów podzielonych na równe części: jeden na 4 równe kwadraty w taki sposób, że wykreślono w nim dwa odcinki: pionowy łączący środki poziomych boków i poziomy łączący środki pionowych boków. Kolorem wyróżniono dolną lewą część. Drugi kwadrat o tych samych wymiarach podzielono na 8 równych prostokątów. Podzielono go tak ja pierwszy i dodatkowo podzielono jego lewą i prawą połowę jeszcze raz na pół dwoma pionowymi odcinkami. Kolorem zaznaczono dwa dolne lewe prostokąty będące ćwiartką całej figury. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDiLJgABTXdjc

Z rysunku wiemy, że jedna czwarta pierwszego kwadratu to taka sama część jak dwie ósme drugiego kwadratu. Połącz w pary równe ułamki.

\frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{1}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{18}{32}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{40}{64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1QAYJAhDDeFX

Uzupełnij brakujący licznik lub mianownik. Wpisz odpowiednią liczbę w wyznaczone pole. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{3}{5} = \frac{x}{40}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{18}{27} = \frac{x}{3}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{3}{7} = \frac{x}{42}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{x}{48} = \frac{5}{16}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{1}{y} = \frac{32}{128}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{y}{8} = \frac{36}{48}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{9}{t} = \frac{18}{32}

, to wtedy

t =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{1}{y} = \frac{5}{75}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij.

Uzupełnij brakujący licznik lub mianownik.

a) $\frac{3}{5} = \frac{x}{40} \Rightarrow x =$ ............            b) $\frac{18}{27} = \frac{x}{3} \Rightarrow x =$ ............
c) $\frac{3}{7} = \frac{x}{42} \Rightarrow x =$ ............            d) $\frac{x}{48} = \frac{5}{16} \Rightarrow x =$ ............
e) $\frac{1}{y} = \frac{32}{128} \Rightarrow y =$ ............           f) $\frac{y}{8} = \frac{36}{48} \Rightarrow y =$ ............
g) $\frac{9}{t} = \frac{18}{32} \Rightarrow t =$ ............             h) $\frac{1}{y} = \frac{5}{75} \Rightarrow y =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $5$ , a w drugim $40$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $8$ , bo $40 : 5 = 8$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $8$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $27$ , a w drugim $3$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został skrócony przez $9$ , bo $27 : 3 = 9$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy podzielić licznik pierwszego ułamka przez $9$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $7$ , a w drugim $42$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $42 : 7 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $48$ , a w drugim $16$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został skrócony przez $3$ , bo $48 : 16 = 3$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $3$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $32$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $32$ , bo $32 : 1 = 32$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $32$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $8$ , a w drugim $48$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $48 : 8 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić licznik rozszerzonego ułamka przez $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $9$ , a w drugim $18$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $2$ , bo $18 : 9 = 2$ . Zatem, aby wyznaczyć $t$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $2$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $5$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $5$ , bo $5 : 1 = 5$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $5$ .

Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe

Przykład 1

Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek, trzeba tylko obliczyć licznik ułamka.

2 \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}

Łatwiejsze obliczenia wykonujemy w pamięci i zapisujemy krótko zamianę:

2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany liczb mieszanych na ułamki.

RXEslICEsGDmd1

Przykład 2

Zamieniając ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, wykorzystujemy wynik dzielenia licznika przez mianownik tego ułamka.

\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}

ponieważ

17 : 5 = 3 r 2

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną.

RZEKDWJvAuLA31

RNoZxlOpUIV1X1

Ćwiczenie 3

Ile wynoszą podane liczby mieszane w postaci ułamków niewłaściwych? Przeciągnij i upuść poprawny ułamek w wyznaczone pole.

3 \frac{4}{5} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

9 \frac{7}{8} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

12 \frac{1}{12} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

11 \frac{5}{10} =

\frac{75}{8}

, 2.

\frac{145}{12}

, 3.

\frac{110}{10}

, 4.

\frac{21}{5}

, 5.

\frac{79}{8}

, 6.

\frac{150}{12}

, 7.

\frac{115}{10}

, 8.

\frac{19}{5}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{79}{8}$ , $\frac{115}{10}$ , $\frac{21}{5}$ , $\frac{110}{10}$ , $\frac{19}{5}$ , $\frac{75}{8}$ , $\frac{145}{12}$ , $\frac{150}{12}$

a) $3 \frac{4}{5} =$ ............
b) $9 \frac{7}{8} =$ ............
c) $12 \frac{1}{12} =$ ............
d) $11 \frac{5}{10} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROZDMVxm8EIuy1

Ćwiczenie 4

Ile wynoszą podane ułamki niewłaściwe w postaci ułamków właściwych? Przeciągnij i upuść odpowiednią liczbę w wyznaczone pole.

\frac{14}{5} =

3 \frac{3}{7}

, 2.

8 \frac{5}{6}

, 3.

2 \frac{4}{5}

, 4.

2 \frac{3}{7}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

8 \frac{1}{6}

, 7.

5 \frac{7}{16}

, 8.

4 \frac{7}{16}

\frac{24}{7} =

3 \frac{3}{7}

, 2.

8 \frac{5}{6}

, 3.

2 \frac{4}{5}

, 4.

2 \frac{3}{7}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

8 \frac{1}{6}

, 7.

5 \frac{7}{16}

, 8.

4 \frac{7}{16}

\frac{49}{6} =

3 \frac{3}{7}

, 2.

8 \frac{5}{6}

, 3.

2 \frac{4}{5}

, 4.

2 \frac{3}{7}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

8 \frac{1}{6}

, 7.

5 \frac{7}{16}

, 8.

4 \frac{7}{16}

\frac{87}{16} =

3 \frac{3}{7}

, 2.

8 \frac{5}{6}

, 3.

2 \frac{4}{5}

, 4.

2 \frac{3}{7}

, 5.

2 \frac{1}{5}

, 6.

8 \frac{1}{6}

, 7.

5 \frac{7}{16}

, 8.

4 \frac{7}{16}

Przeciągnij i upuść.

$2 \frac{4}{5}$ , $2 \frac{1}{5}$ , $5 \frac{7}{16}$ , $2 \frac{3}{7}$ , $4 \frac{7}{16}$ , $8 \frac{1}{6}$ , $8 \frac{5}{6}$ , $3 \frac{3}{7}$

a) $\frac{14}{5} =$ ............
b) $\frac{24}{7} =$ ............
c) $\frac{49}{6} =$ ............
d) $\frac{87}{16} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R148zCf6uetgx1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary liczby mieszane z równymi im ułamkami niewłaściwymi.

1 \frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

4 \frac{3}{11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

1 \frac{8}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

9 \frac{4}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

6 \frac{4}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

11 \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

5 \frac{9}{23}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

19 \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{71}{6}

, 2.

\frac{23}{15}

, 3.

\frac{67}{7}

, 4.

\frac{124}{23}

, 5.

\frac{58}{9}

, 6.

\frac{7}{4}

, 7.

\frac{47}{11}

, 8.

\frac{119}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Przykład 3

Zapoznaj się z poniższą animacją dotyczącą dodawania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.

RKevxU9usOIl1

Wynikiem dodawania ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest sumą liczników składników. Zobacz przykład.

\frac{5}{17} + \frac{7}{17} = \frac{5 + 7}{17} = \frac{12}{17}

Przykład 4

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.

RIW83pHABJhYi1

Wynikiem odejmowania dwóch ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest różnicą licznika odjemnej i odjemnika.

\frac{15}{19} - \frac{6}{19} = \frac{15 - 6}{19} = \frac{9}{19}

Przykład 5

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania liczb mieszanych.

RNm2gZcZInt50

Przykład 6

Aby dodać do siebie ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie $3$ .

\frac{3}{10} + \frac{1}{15} = \frac{9}{30} + \frac{2}{30} = \frac{9 + 2}{30} = \frac{11}{30}

Aby odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie $4$ .

\frac{3}{10} - \frac{1}{15} = \frac{9}{30} - \frac{2}{30} = \frac{9 - 2}{30} = \frac{7}{30}

Staramy się, żeby wspólny mianownik ułamków był najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników.

Wspólny mianownik jest iloczynem liczb $3$ i $7$ .

2 \frac{2}{3} + 3 \frac{4}{7} = 2 \frac{14}{21} + 3 \frac{12}{21} = 5 \frac{26}{21} = 6 \frac{5}{21}

$18$ to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $6$ i $9$ .

\frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15}{18} - \frac{8}{18} = \frac{7}{18}

Wspólny mianownik to $24$ , bo $24$ jest podzielne przez $8$ .

4 \frac{7}{8} - \frac{13}{24} = 4 \frac{21}{24} - \frac{13}{24} = 4 \frac{8}{24} = 4 \frac{1}{3}

RQoie6R2eCn7H1

Ćwiczenie 6

Dodaj do siebie ułamki, a następnie przeciągnij i upuść poprawny wynik w wyznaczone pole.

\frac{4}{9} + \frac{3}{9} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

\frac{17}{11} - \frac{9}{11} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

5 \frac{6}{7} - 1 \frac{5}{7} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

14 - 9 \frac{7}{25} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

18 \frac{5}{16} - 7 \frac{15}{16} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

1 \frac{4}{7} + 4 \frac{6}{7} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

\frac{4}{9} + \frac{1}{3} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

\frac{7}{21} - \frac{2}{7} =

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{18}{25}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

6

, 5.

4 \frac{1}{7}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

6 \frac{17}{42}

, 8.

\frac{8}{11}

, 9.

10 \frac{6}{16}

, 10.

1 \frac{45}{56}

, 11.

6 \frac{3}{7}

, 12.

4 \frac{18}{25}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10HAWZl8MoDI2

Ćwiczenie 7

Oblicz do najprostszej postaci.
Połącz w pary działanie z wynikiem.

\frac{4}{9} + \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

1 \frac{4}{15} + 4 \frac{1}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

\frac{13}{9} - \frac{17}{18}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

5 \frac{5}{12} - 1 \frac{1}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

\frac{7}{21} - \frac{2}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

6 \frac{1}{8} - 1 \frac{1}{16}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

13 \frac{4}{10} - 9 \frac{6}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{7}{9}

, 2.

4 \frac{1}{4}

, 3.

\frac{1}{21}

, 4.

4

, 5.

5 \frac{7}{15}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

5 \frac{1}{16}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DT871j3oYhZ2

Ćwiczenie 8

Przeciągnij i upuść wynik działania w odpowiednie pole.

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

\frac{1}{3} + \frac{2}{7} - \frac{4}{21} =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

1 \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + \frac{3}{20} =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

\frac{4}{21} + (2 \frac{1}{7} - 1 \frac{2}{3}) =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

4 \frac{1}{2} + (\frac{3}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12}) =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

3 \frac{1}{3} - (1 \frac{1}{18} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9}) =

\frac{3}{5}

, 2.

5

, 3.

1

, 4.

2 \frac{5}{9}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{3}{7}

, 7.

\frac{5}{12}

, 8.

\frac{3}{10}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{3}{10}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{3}{7}$ , $1$ , $\frac{5}{12}$ , $5$ , $2 \frac{5}{9}$

a) $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} =$ ............
b) $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} - \frac{4}{21} =$ ............
c) $1 \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + \frac{3}{20} =$ ............
d) $\frac{4}{21} + (2 \frac{1}{7} - 1 \frac{2}{3}) =$ ............
e) $4 \frac{1}{2} + (\frac{3}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12}) =$ ............
f) $3 \frac{1}{3} - (1 \frac{1}{18} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9}) =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie ułamków zwykłych

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym mnożenia ułamków.

RjVyvS1op1gn81

Przykład 7

Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników mnożonych ułamków.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}

\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{15}{56}

Przykład 8

Jeżeli jeden z czynników jest liczbą mieszaną lub oba są liczbami mieszanymi, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

2 \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{19}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{57}{28} = 2 \frac{1}{28}

2 \frac{3}{4} \cdot 3 \frac{5}{6} = \frac{11}{4} \cdot \frac{23}{6} = \frac{253}{24} = 10 \frac{13}{24}

R1AcgTVp0BsY21

Ćwiczenie 9

Pomnóż ułamki. Przeciągnij i upuść wynik działania w odpowiednie pole.

\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{24}$ , $\frac{2}{3}$ , $2 \frac{1}{2}$ , $95$ , $\frac{3}{5}$ , $12 \frac{1}{3}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{12}{31}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{15}{31}$

a) $\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =$ ............ b) $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =$ ............
c) $\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =$ ............ d) $\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =$ ............
e) $1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} =$ ............ f) $\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5} =$ ............
g) $5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17} =$ ............ h) $12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JqWWqznBteb2

Ćwiczenie 10

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary mnożenie ułamków z wynikiem.

1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

3 \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{14}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

\frac{1}{10} \cdot 5 \frac{5}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

7 \frac{1}{7} \cdot 8 \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

5 \frac{2}{11} \cdot 2 \frac{1}{57}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8L9RF2k28Ba72

Ćwiczenie 11

Pomnóż przez siebie liczby mieszane. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone pole.

2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{3} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{5}{7} \cdot 2 \frac{1}{4} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

1 \frac{1}{5} \cdot 3 \frac{1}{8} \cdot 3 \frac{1}{5} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

3 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{13} \cdot 1 \frac{1}{7} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

2 \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{5}{8} \cdot 2 \frac{6}{9} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

3 \frac{1}{9} \cdot 3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{9} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie ułamków zwykłych

Przykład 9

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym dzielenia ułamków przez liczby naturalne.

RRw6zEXPBSzYf1

Dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez mianownik ułamka, a licznik pozostawić ten sam.

\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{6 \cdot 2} = \frac{5}{12}

\frac{12}{13} : 3 = \frac{12}{39} = \frac{4}{13}

Przykład 10

Aby podzielić dwa ułamki zwykłe, mnożymy pierwszy z tych ułamków przez odwrotność drugiego.

\frac{4}{9} : \frac{5}{7} = \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{5} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 5} = \frac{28}{45}

Przykład 11

Jeżeli dzielna lub dzielnik są liczbami mieszanymi, zanim wykonamy dzielenie, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

2 \frac{5}{7} : 1 \frac{1}{3} = \frac{19}{7} : \frac{4}{3} = \frac{19}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{57}{28} = 2 \frac{1}{28}

Przykład 12

W pewnych sytuacjach, dzieląc ułamki zwykłe, warto dzielić licznik dzielnej przez licznik dzielnika, a mianownik dzielnej przez mianownik dzielnika. Na przykład:

\frac{28}{63} : \frac{4}{7} = \frac{28 : 4}{63 : 7} = \frac{7}{9}

RXIWxeig7BOHZ2

Ćwiczenie 12

Podziel ułamek przez ułamek. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone pole.

\frac{3}{5} : \frac{6}{25} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

\frac{7}{16} : \frac{7}{10} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

\frac{66}{75} : \frac{11}{35} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

\frac{144}{169} : \frac{12}{13} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

1 \frac{2}{3} : \frac{5}{6} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

2 \frac{3}{15} : \frac{11}{15} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

32 \frac{2}{3} : \frac{16}{27} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

4 \frac{2}{3} : 2 \frac{3}{4} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

2 \frac{2}{3} : 1 \frac{1}{8} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

16 \frac{1}{4} : 2 \frac{3}{5} =

2 \frac{1}{2}

, 2.

\frac{12}{13}

, 3.

2

, 4.

\frac{5}{8}

, 5.

2 \frac{4}{5}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

55 \frac{1}{8}

, 8.

6 \frac{1}{4}

, 9.

3

, 10.

2 \frac{10}{27}

Przeciągnij i upuść.

$1 \frac{23}{33}$ , $3$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{12}{13}$ , $2$ , $55 \frac{1}{8}$ , $2 \frac{4}{5}$ , $2 \frac{10}{27}$ , $2 \frac{1}{2}$ , $6 \frac{1}{4}$

a) $\frac{3}{5} : \frac{6}{25} =$ ............ b) $\frac{7}{16} : \frac{7}{10} =$ ............
c) $\frac{66}{75} : \frac{11}{35} =$ ............ d) $\frac{144}{169} : \frac{12}{13} =$ ............
e) $1 \frac{2}{3} : \frac{5}{6} =$ ............ f) $2 \frac{3}{15} : \frac{11}{15} =$ ............
g) $32 \frac{2}{3} : \frac{16}{27} =$ ............ h) $4 \frac{2}{3} : 2 \frac{3}{4} =$ ............
i) $2 \frac{2}{3} : 1 \frac{1}{8} =$ ............ j) $16 \frac{1}{4} : 2 \frac{3}{5} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAKg9n6iFzjH42

Ćwiczenie 13

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary dzielenie ułamków z wynikiem.

1 \frac{2}{3} : \frac{5}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

3 \frac{1}{2} : \frac{7}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

2 \frac{3}{15} : \frac{11}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

4 \frac{2}{3} : \frac{28}{33}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

7 \frac{4}{5} : \frac{13}{15}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

13 \frac{1}{2} : \frac{3}{22}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

22 \frac{1}{2} : \frac{15}{22}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

32 \frac{2}{3} : \frac{16}{27}

Możliwe odpowiedzi: 1.

33

, 2.

4

, 3.

9

, 4.

55 \frac{1}{8}

, 5.

3

, 6.

99

, 7.

5 \frac{1}{2}

, 8.

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyfQTO01U5shh2

Ćwiczenie 14

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary dzielenie ułamków z wynikiem.

4 \frac{2}{3} : 2 \frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

3 \frac{1}{2} : 2 \frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

2 \frac{1}{2} : 1 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

2 \frac{2}{3} : 1 \frac{1}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

10 \frac{2}{3} : 5 \frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

12 \frac{2}{3} : 2 \frac{1}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

16 \frac{1}{4} : 2 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

8 \frac{1}{4} : 14 \frac{1}{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 \frac{10}{27}

, 2.

1 \frac{59}{69}

, 3.

1 \frac{9}{16}

, 4.

1 \frac{5}{16}

, 5.

\frac{7}{12}

, 6.

1 \frac{23}{33}

, 7.

6 \frac{1}{4}

, 8.

5 \frac{41}{45}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

RuYESiqNMrnQ22

Ćwiczenie 15

Wykonaj działania. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone miejsce.

\frac{3}{8} : 7 =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

7 : \frac{3}{8} =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

\frac{3}{56} \cdot 7 =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

\frac{56}{3} \cdot \frac{3}{8} =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

\frac{5}{12} : 3 =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

3 : \frac{5}{12} =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

\frac{5}{36} \cdot 3 =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

\frac{36}{5} \cdot \frac{5}{12} =

\frac{42}{5}

, 2.

\frac{5}{42}

, 3.

\frac{3}{56}

, 4.

\frac{56}{3}

, 5.

\frac{5}{12}

, 6.

\frac{3}{8}

, 7.

\frac{36}{5}

, 8.

\frac{5}{36}

, 9.

7

, 10.

\frac{3}{56}

, 11.

9

, 12.

3

Przeciągnij i upuść.

$3$ , $\frac{5}{36}$ , $\frac{56}{3}$ , $\frac{3}{56}$ , $7$ , $\frac{36}{5}$ , $\frac{5}{12}$ , $\frac{3}{8}$

a) $\frac{3}{8} : 7 =$ ............ b) $7 : \frac{3}{8} =$ ............
c) $\frac{3}{56} \cdot 7 =$ ............ d) $\frac{56}{3} \cdot \frac{3}{8} =$ ............
e) $\frac{5}{12} : 3 =$ ............ f) $3 : \frac{5}{12} =$ ............
g) $\frac{5}{36} \cdot 3 =$ ............ h) $\frac{36}{5} \cdot \frac{5}{12} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPlWkZXnoMjpQ2

Ćwiczenie 16

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{2}$ , $\frac{9}{14}$ , $\frac{5}{14}$ , $\frac{1}{4}$ , $1$

a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} : \frac{2}{3} =$ ............
b) $\frac{5}{7} : \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{14} =$ ............
c) $\frac{4}{9} : \frac{16}{27} : \frac{3}{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rl4nAERYHusMt2

Ćwiczenie 17

Przeciągnij i upuść.

$\frac{10}{17}$ , $\frac{15}{7}$ , $\frac{1}{4}$ , $2 \frac{2}{7}$ , $\frac{5}{16}$

a) $\frac{3}{4} \cdot 2 \frac{2}{3} : 6 \frac{2}{5} =$ ............
b) $\frac{5}{7} : 1 \frac{3}{7} \cdot 1 \frac{3}{17} =$ ............
c) $3 \frac{5}{9} : (2 \frac{5}{8} : 1 \frac{11}{16}) =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Łączenie działań na ułamkach zwykłych

Poniższa animacja przybliża kolejność wykonywania działań. Zapoznaj się z nią, aby bez problemu rozwiązywać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.

RJ5RAhCnYVVtg1

Rw7rLY7dZtSBb3

Ćwiczenie 18

Wykonaj działania. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone miejsce.

(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4}) \cdot 1 \frac{1}{2} =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

(2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{4}) : \frac{3}{4} =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

(2 \frac{1}{5} + 1 \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} + \frac{3}{4}) =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) =

\frac{7}{9}

, 2.

\frac{3}{4}

, 3.

6

, 4.

\frac{35}{36}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

2

, 7.

3 \frac{1}{3}

, 8.

2 \frac{1}{4}

, 9.

\frac{38}{39}

, 10.

5

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{2}$ , $6$ , $\frac{35}{36}$ , $\frac{7}{9}$ , $2 \frac{1}{4}$ , $2$

a) $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4}) \cdot 1 \frac{1}{2} =$ ............
b) $(2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{4}) : \frac{3}{4} =$ ............
c) $(2 \frac{1}{5} + 1 \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} + \frac{3}{4}) =$ ............
d) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} =$ ............
e) $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} =$ ............
f) $2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

RVqCINLANZOma

Oblicz.

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6}

=

\frac{5}{9}

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

\frac{34}{36}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

\frac{5}{2}

, 9.

\frac{33}{36}

, 10.

\frac{6}{9}

, 11.

\frac{35}{36}

, 12.

\frac{1}{2}

(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4}

=

\frac{5}{9}

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

\frac{34}{36}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

\frac{5}{2}

, 9.

\frac{33}{36}

, 10.

\frac{6}{9}

, 11.

\frac{35}{36}

, 12.

\frac{1}{2}

(2 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{16}{25}

=

\frac{5}{9}

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

\frac{34}{36}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

\frac{5}{2}

, 9.

\frac{33}{36}

, 10.

\frac{6}{9}

, 11.

\frac{35}{36}

, 12.

\frac{1}{2}

2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10})

=

\frac{5}{9}

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

\frac{34}{36}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{3}{5}

, 8.

\frac{5}{2}

, 9.

\frac{33}{36}

, 10.

\frac{6}{9}

, 11.

\frac{35}{36}

, 12.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvVh81PCXv0CR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

- sposób $I$ :
  $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot \frac{7}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{12} + \frac{7}{18} = \frac{21 + 14}{36} = \frac{35}{36}$
- sposób $II$ :
  $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} = (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}) \cdot \frac{7}{6} = \frac{3 + 2}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{35}{36}$
- sposób $I$ :
  $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : \frac{9}{4} = (\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} =$
  $= \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$
- sposób $II$ :
  $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} + \frac{3}{2}) : \frac{9}{4} = \frac{1 + 6}{4} \cdot \frac{4}{9} =$
  $= \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$
- sposób $I$ :
  $(2 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{2} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{2} \cdot \frac{16}{25} - \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25} = \frac{16}{10} - \frac{8}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
- sposób $II$ :
  $(2 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{2} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{10}{4} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$
- sposób $I$ :
  $2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{29}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{58}{10} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : \frac{47}{10} =$
  $= \frac{47}{20} \cdot \frac{10}{47} = \frac{1}{2}$
- sposób $II$ :
  $2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{29}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{58}{10} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : \frac{47}{10} =$
  $= \frac{47}{20} \cdot \frac{10}{47} = \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 20

RAlNL4FS1xakN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DZWpK35VmnV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 \frac{15}{16} \cdot 4 \frac{1}{7} + 3 \frac{1}{16} \cdot 4 \frac{1}{7} = \frac{48 + 15}{16} \cdot \frac{28 + 1}{7} + \frac{48 + 1}{16} \cdot \frac{28 + 1}{7} =$
$= \frac{63}{16} \cdot \frac{29}{7} + \frac{49}{16} \cdot \frac{29}{7} = \frac{63 \cdot 29 + 49 \cdot 29}{16 \cdot 7} = \frac{29 \cdot (63 + 49)}{112} = \frac{29 \cdot 112}{122} = 29$
$2 \frac{3}{10} \cdot 5 \frac{1}{8} + 5 \frac{7}{10} \cdot 5 \frac{1}{8} = \frac{20 + 3}{10} \cdot \frac{40 + 1}{8} + \frac{50 + 7}{10} \cdot \frac{40 + 1}{8} =$
$= \frac{23}{10} \cdot \frac{41}{8} + \frac{57}{10} \cdot \frac{41}{8} = \frac{23 \cdot 41 + 57 \cdot 41}{80} = \frac{41 \cdot (23 + 57)}{80} = \frac{41 \cdot 80}{80} = 41$
$13 \frac{5}{12} \cdot 2 \frac{5}{12} - 1 \frac{5}{12} \cdot 2 \frac{5}{12} = \frac{13 \cdot 12 + 5}{12} \cdot \frac{24 + 5}{12} - \frac{12 + 5}{12} \cdot \frac{24 + 5}{12} =$
$= \frac{161}{12} \cdot \frac{29}{12} - \frac{17}{12} \cdot \frac{29}{12} = \frac{161 \cdot 29 - 17 \cdot 29}{144} = \frac{29 \cdot (161 - 17)}{144} = \frac{29 \cdot 144}{144} = 29$
$16 \frac{8}{13} \cdot 2 \frac{5}{14} - 2 \frac{8}{13} \cdot 2 \frac{5}{14} = \frac{16 \cdot 13 + 8}{13} \cdot \frac{28 + 5}{14} - \frac{2 \cdot 13 + 8}{13} \cdot \frac{2 \cdot 14 + 5}{14} =$
$= \frac{216}{13} \cdot \frac{33}{14} - \frac{34}{13} \cdot \frac{33}{14} = \frac{33}{14} \cdot (\frac{216}{13} - \frac{34}{13}) = \frac{33}{14} \cdot \frac{182}{13} = \frac{33 \cdot 182}{182} = 33$

R1O28fyk4tSJ83

Ćwiczenie 21

Przeciągnij i upuść.

$3 \frac{32}{125}$ , $6 \frac{11}{18}$ , $1 \frac{17}{20}$ , $\frac{5}{6}$

a) $\frac{3}{7} \cdot 1 \frac{5}{9} \cdot 2 \frac{2}{5} + (\frac{1}{2})^{2} =$ ............
b) $8 - \frac{1}{2} \cdot (2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{12})^{2} =$ ............
c) $2 : (1 \frac{1}{2} - \frac{2}{3})^{3} - \frac{16}{25} : \frac{16}{5} =$ ............
d) $(3 \frac{2}{3} - 2 \frac{1}{2})^{2} : 1 \frac{3}{4} + (1 \frac{1}{6} - 1 \frac{1}{9}) =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie ułamka danej liczby

Przykład 13

Aby obliczyć ułamek danej liczby (lub ułamek z danej liczby), należy pomnożyć ułamek przez tę liczbę.

Na przykład: $\frac{3}{4}$ liczby $28$ wynosi $21$ , ponieważ $\frac{3}{4} \cdot 28 = 21$ .

Ćwiczenie 22

Oblicz w pamięci.

RKkHeI3WksnfX

Uzupełnij obliczenia, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{1}{2}

140

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{4}{15}

30

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{7}{24}

72

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{9}{22}

88

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{12}{25}

100

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{15}{28}

84

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{20}{21}

105

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

\frac{3}{8}

1000

to 1.

375

, 2.

8

, 3.

36

, 4.

100

, 5.

48

, 6.

70

, 7.

21

, 8.

45

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ET0EUbyuCE22

Ćwiczenie 23

Oblicz, a następnie przeciągnij i upuść odpowiednią liczbę w wyznaczone pole. Wujek Henryk zjadł

\frac{3}{8}

swego urodzinowego tortu ważącego

1 \frac{3}{5} kg

. Ile kilogramów tortu pozostaje dla gości wujka Henryka?
Odpowiedź: Dla gości pozostaje 1.

45

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

60

, 4.

67 \frac{1}{2}

, 5.

1

kg

tortu.
Kacper ma

252

złotych, a Beata

\frac{23}{28}

tej kwoty. O ile złotych mniej ma Beata?
Odpowiedź: Beata ma mniej o 1.

45

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

60

, 4.

67 \frac{1}{2}

, 5.

1

zł

.
W sklepie „Wszystko po

4, 50

” Brunon kupił

25

przedmiotów. Rozdał kolegom

\frac{3}{5}

zakupionych rzeczy. Ile kosztowały prezenty podarowane przez Brunona kolegom?
Odpowiedź: Prezenty kosztowały 1.

45

, 2.

\frac{3}{5}

, 3.

60

, 4.

67 \frac{1}{2}

, 5.

1

zł

Przeciągnij i upuść.

$67 \frac{1}{2}$ , $1$ , $45$ , $60$ , $\frac{3}{5}$

a) Wujek Henryk zjadł $\frac{3}{8}$ swego urodzinowego tortu ważącego $1 \frac{3}{5} kg$ . Ile kilogramów tortu pozostaje dla gości wujka Henryka?
Odpowiedź: Dla gości pozostaje ............ $kg$ tortu.

b) Kacper ma $252$ złotych, a Beata $\frac{23}{28}$ tej kwoty. O ile złotych mniej ma Beata?
Odpowiedź: Beata ma mniej o ............ zł.

c) W sklepie „Wszystko po $4, 50$ ” Brunon kupił $25$ przedmiotów. Rozdał kolegom $\frac{3}{5}$ zakupionych rzeczy. Ile kosztowały prezenty podarowane przez Brunona kolegom?
Odpowiedź: Prezenty kosztowały ............ zł.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Re7nChtwmQVtX2

Ćwiczenie 24

$\frac{1}{9} ∙ (24 - \frac{1}{4} ∙ 24)$
$\frac{1}{9} ∙ (1 - \frac{1}{4}) ∙ 24$
$\frac{1}{9} ∙ (1 - \frac{1}{4})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHZtrqKyVhIdT3

Ćwiczenie 25

$(1 - \frac{1}{9} ∙ (1 - \frac{1}{4})) ∙ 24$
$1 - (\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9})$
$24 - \frac{1}{9} ∙ (24 - \frac{1}{4} ∙ 24)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

Zapoznaj się z poniższym schematem, w którym zebrane zostały wszystkie wiadomości z tej lekcji.

R1NeZ1kyB1uVm1

Ułamki:

Podział ułamków:

Ułamek właściwy

Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku właściwym licznik jest mniejszy od mianownika, a cały ułamek jest mniejszy od jeden.

Ułamek niewłaściwy

Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku niewłaściwym licznik jest większy od mianownika, a cały ułamek jest większy od jeden.

Liczba mieszana

To pewna całość wraz z ułamkiem, na przykład $1\frac23$ .

Zagadnienia związane z ułamkami:

Ułamek z liczby

Ułamek, czyli pewną część z liczby możemy wyrażać nie tylko za pomocą procentów, ale również za pomocą ułamków, na przykład $25\%=\frac14$ , czyli $25\%$ z liczby $20$ to $\frac14\cdot 20$ .

Proporcje (mnożenie na krzyż)

Przykład: Jeśli ułamek o liczniku równym $5$ i o mianowniku równym $2$ przyrównamy do ułamka o liczniku równym $x$ i o mianowniku równym $3$ , to, aby obliczyć $x$ , korzystamy z proporcji. T taka równość jest zatem tożsama z równością $5\cdot 3=2x$ , czyli licznik ułamka z lewej strony równania pomnożyliśmy przez mianownik ułamka z prawej strony równania i przyrównaliśmy go do iloczynu licznika ułamka z prawej strony równania do mianownika z lewej strony równania.

Wspólny mianownik dwóch ułamków

Wspólny mianownik dwóch ułamków o różnych mianownikach otrzymujemy, znajdując wspólną wielokrotność obu ułamków. Może być to najmniejsza wspólna wielokrotność, ale nie musi. Liczniki ułamków przemnażamy odpowiednio przez taką samą liczbę, przez jaką przemnożyliśmy mianownik tego ułamka, aby zachować równość. Przykład: $\frac{3}{11}+\frac62=\frac{3\cdot2}{11\cdot2}+\frac{6\cdot11}{2\cdot11}=\frac{6+66}{22}$ .

Działania na ułamkach:

Dodawanie:

ułamków o takim samym mianowniku, na przykład $\frac32+\frac52=\frac{3+5}{2}$ ,

ułamków o różnych mianownikach, na przykład $\frac32+\frac75=\frac{3\cdot 5+7\cdot 2}{2\cdot 5}$

ułamka i liczby, na przykład $\frac23+1=1\frac23$ .

Odejmowanie:

ułamków o takim samym mianowniku, na przykład $\frac32-\frac52=\frac{3-5}{2}$ ,

ułamków o różnych mianownikach, na przykład $\frac32-\frac75=\frac{3\cdot 5-7\cdot 2}{2\cdot 5}$

ułamka i liczby, na przykład $\frac23+1=1\frac23$ .