Działania na ułamkach zwykłych
Skracanie i rozszerzanie ułamków
Poniższa animacja przybliży czym jest rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych Zapoznaj się z nią, aby rozwiązać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.
Dwa jednakowe kwadraty podzielono na równe części: jeden na , a drugi na części.
Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe
Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek, trzeba tylko obliczyć licznik ułamka.
Łatwiejsze obliczenia wykonujemy w pamięci i zapisujemy krótko zamianę:
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany liczb mieszanych na ułamki.
Zamieniając ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, wykorzystujemy wynik dzielenia licznika przez mianownik tego ułamka.
ponieważ
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną.
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych
Zapoznaj się z poniższą animacją dotyczącą dodawania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.
Wynikiem dodawania ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest sumą liczników składników. Zobacz przykład.
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.
Wynikiem odejmowania dwóch ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest różnicą licznika odjemnej i odjemnika.
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania liczb mieszanych.
Aby dodać do siebie ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie .
Aby odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie .
Staramy się, żeby wspólny mianownik ułamków był najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników.
Wspólny mianownik jest iloczynem liczb i .
to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i .
Wspólny mianownik to , bo jest podzielne przez .
Mnożenie ułamków zwykłych
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym mnożenia ułamków.
Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników mnożonych ułamków.
Jeżeli jeden z czynników jest liczbą mieszaną lub oba są liczbami mieszanymi, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Dzielenie ułamków zwykłych
Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym dzielenia ułamków przez liczby naturalne.
Dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez mianownik ułamka, a licznik pozostawić ten sam.
Aby podzielić dwa ułamki zwykłe, mnożymy pierwszy z tych ułamków przez odwrotność drugiego.
Jeżeli dzielna lub dzielnik są liczbami mieszanymi, zanim wykonamy dzielenie, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
W pewnych sytuacjach, dzieląc ułamki zwykłe, warto dzielić licznik dzielnej przez licznik dzielnika, a mianownik dzielnej przez mianownik dzielnika. Na przykład:
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych
Łączenie działań na ułamkach zwykłych
Poniższa animacja przybliża kolejność wykonywania działań. Zapoznaj się z nią, aby bez problemu rozwiązywać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.
Obliczanie ułamka danej liczby
Aby obliczyć ułamek danej liczby (lub ułamek z danej liczby), należy pomnożyć ułamek przez tę liczbę.
Na przykład: liczby wynosi , ponieważ .
Oblicz w pamięci.
Podsumowanie
Zapoznaj się z poniższym schematem, w którym zebrane zostały wszystkie wiadomości z tej lekcji.
Ułamki:
Podział ułamków:
Ułamek właściwy
Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku właściwym licznik jest mniejszy od mianownika, a cały ułamek jest mniejszy od jeden.
Ułamek niewłaściwy
Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku niewłaściwym licznik jest większy od mianownika, a cały ułamek jest większy od jeden.
Liczba mieszana
To pewna całość wraz z ułamkiem, na przykład .
Zagadnienia związane z ułamkami:
Ułamek z liczby
Ułamek, czyli pewną część z liczby możemy wyrażać nie tylko za pomocą procentów, ale również za pomocą ułamków, na przykład , czyli z liczby to .
Proporcje (mnożenie na krzyż)
Przykład: Jeśli ułamek o liczniku równym i o mianowniku równym przyrównamy do ułamka o liczniku równym i o mianowniku równym , to, aby obliczyć , korzystamy z proporcji. T taka równość jest zatem tożsama z równością , czyli licznik ułamka z lewej strony równania pomnożyliśmy przez mianownik ułamka z prawej strony równania i przyrównaliśmy go do iloczynu licznika ułamka z prawej strony równania do mianownika z lewej strony równania.
Wspólny mianownik dwóch ułamków
Wspólny mianownik dwóch ułamków o różnych mianownikach otrzymujemy, znajdując wspólną wielokrotność obu ułamków. Może być to najmniejsza wspólna wielokrotność, ale nie musi. Liczniki ułamków przemnażamy odpowiednio przez taką samą liczbę, przez jaką przemnożyliśmy mianownik tego ułamka, aby zachować równość. Przykład: .
Działania na ułamkach:
Dodawanie:
ułamków o takim samym mianowniku, na przykład ,
ułamków o różnych mianownikach, na przykład
ułamka i liczby, na przykład .
Odejmowanie:
ułamków o takim samym mianowniku, na przykład ,
ułamków o różnych mianownikach, na przykład
ułamka i liczby, na przykład .