Rozwiązywanie układów równań - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Materiał poświęcony jest rozwiązywaniu układów równań liniowych dowolną metodą. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat układów równań, zajrzyj do lekcji Układ równań liniowych.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż poniższe układy równań dowolną metodą.

$\{\begin{cases} y = 5 - x \\ 2 x - 3 y = 7 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = 4 y - 2 \\ 2 x - y = 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 1, 2 y = 2 \\ 4 x - 5 y = 10 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 2, 3 x - y = 4 \\ 2 x + 4 y = 6, 4 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 10 \\ 4 x - 2 y = 5 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} y = 4 \\ 2 x - 4 y = 6 \end{cases}$

RoQd4H2r3ssGJ

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

x =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

y =

2

, 2.

7, 5

, 3.

- 10

, 4.

1 \frac{5}{7}

, 5.

4, 4

, 6.

- 10

, 7.

5

, 8.

14, 5

, 9.

5, 75

, 10.

4 \frac{6}{7}

, 11.

0, 6

, 12.

0, 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Rozwiąż poniższe układy równań dowolną metodą.

$\{\begin{cases} x - y = - 1 \frac{1}{2} \\ 2 x + y = - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ 2 x + 3 y = - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 2 y = 1, 5 \\ x - 2 y = - 1, 5 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 0 \\ x - \frac{1}{2} y = 2 \frac{1}{2} \end{cases}$
$\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 \frac{4}{7} \\ 7 x + \frac{1}{2} y = 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{1}{3} x - 1 = y \\ x - 3 y = 3 \end{cases}$

RJFY2il4AI6ra

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

y =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

x =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

y =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

x =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

y =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

x =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

y =

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

1. sprzeczny, 2. nieoznaczony, 3.

2

, 4.

1

, 5.

2

, 6. sprzeczny, 7.

\frac{1}{7}

, 8.

- 1

, 9. oznaczony, 10.

\frac{1}{2}

, 11.

- 1

, 12.

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Rozwiąż poniższe układy równań dowolną metodą.

$\{\begin{cases} \frac{2 x + y}{3} + y = 4 \\ x + 3 y = 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} - (x - 3 y) + 2 (x - y) = 2 x + 3 \\ x - 2 (3 x - 4 y) = 12 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{2 x - y}{2} - \frac{x + 2 y}{4} = x - y \\ 2 (x + y) - 3 (2 x - y) = 12 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{2 x - y}{2} - (2 x - y) = 4 \\ 2 x - \frac{x - 3 y}{2} = y - 4 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 2 (x - 2) - (x + 2 y) = 4 x + 2 \\ 3 x + 3 y - (- 2 x + y) = 3 - x \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{1 - 2 x}{2} - \frac{- x - 2 y}{4} = \frac{x + y}{8} \\ \frac{x + 2}{2} - \frac{2 y - 1}{10} = \frac{x + y}{8} \end{cases}$

RiO9sBMY1GnSY

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

x =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

y =

4

, 2.

2, 4

, 3.

1 \frac{3}{5}

, 4.

8

, 5.

- 1

, 6.

- 7, 5

, 7.

2

, 8.

- 3 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

- 4

, 11.

0

, 12.

3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Rozwiąż poniższe układy równań dowolną metodą.

$\{\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5} = 3 \frac{1}{2} \\ x - 2 y = - 9 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{2 x - y}{3} + 2 x = - 6 \frac{1}{3} \\ 3 (x - 2) + 4 (1 - y) = - 20 \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 3 (x + 2) + 2 (x - y) = - 1 \\ \frac{x + 1}{2} - \frac{y}{3} = 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{x + 1}{3} + \frac{y - 2}{2} = - 2 \\ x + 3 (y + 2) = - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 2 (1 - x) + 3 y = x + \frac{2}{3} \\ x + 3 (x - y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{3} \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{x + 2 y}{2} - \frac{x - 2 y}{3} = \frac{x + y}{2} - \frac{2}{3} \\ 2 (3 - y) - (2 + x) = \frac{1}{2} (2 x - 16) \end{cases}$

RyXVfLZhvZTFg

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

x =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

y =

- 2

, 2.

- 2

, 3.

- 3

, 4.

5

, 5.

\frac{50}{93}

, 6.

- 1

, 7.

1

, 8.

\frac{46}{9}

, 9.

3

, 10.

\frac{8}{9}

, 11.

1

, 12.

\frac{66}{93}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.