Jednomiany i sumy algebraiczne - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, powstały już w starożytności. Znanymi przedstawicielami tej dziedziny jest Diofantos, Gottfried Leibniz czy Girolamo Cardano. Algebra, którą poznajemy w szkole, wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego rozkładem na czynniki i znajdowaniem pierwiastków. W tym materiale zdefiniujemy czym jest jednomian i wyrażenie algebraiczne, czyli główne narzędzia algebry elementarnej.

Przykład 1

Spośród poniższych wyrażeń algebraicznych wybierzemy te, które są jednomianami.

R179N60I6NSGM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jednomian

Definicja: Jednomian

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Ważne!

Wyrażenie algebraiczne zbudowane jest z jednomianów.

Wyrażenie algebraiczne	Jednomiany tworzące to wyrażenie
$\frac{- 6 a + 6 b}{4 a b c}$	$- 6 a$ , $6 b$ , $4 a b c$
$\frac{x^{2} y}{x - 8 y}$	$x^{2} y$ , $x$ , $- 8 y$
$(100 - h) \cdot h^{2}$	$100$ , $- h$ , $h^{2}$

Występujący w jednomianie znak mnożenia często pomijamy, na przykład:

4 \cdot x = 4 x

x \cdot y = x y

- 15 \cdot a = - 15 a

Jeżeli w jednomianie pierwszym czynnikiem jest litera, a drugim liczba, to znaku mnożenia nie pomijamy, albo zmieniamy kolejność czynników (mnożenie jest przemienne), na przykład:

x \cdot 3 = 3 x

a \cdot (- 9) = - 9 a

Przykład 2

Uporządkujemy jednomian i odczytamy jego współczynnik liczbowy.

RYVQ8R8LfNsnH1

Zapamiętaj!

Jednomian jest uporządkowany, jeżeli jego pierwszym czynnikiem jest liczba, a następnymi litery w kolejności alfabetycznej.

Współczynnik liczbowy

Definicja: Współczynnik liczbowy

Liczbę, która występuje na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.

Ważne!

W jednomianie współczynnik liczbowy $1$ możemy pominąć $1 \cdot d = d$ . Współczynnik $- 1$ możemy zastąpić znakiem minus

- 1 \cdot h = - h

Suma algebraiczna

Definicja: Suma algebraiczna

Sumą algebraiczną nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów. Jednomiany te nazywamy wyrazami sumy.

Wyrażenie algebraiczne, w którym występuje odejmowanie jednomianów, jest także sumą algebraiczną, ponieważ odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem jednomianów przeciwnych.

6 x^{2} - 4 y - (- 5 x) - 13 x y = 6 x^{2} + (- 4 y) + 5 x + (- 13 x y)

Sumę algebraiczną

- 2 x + x^{2} + 23 y + 15 x y - 3 y^{2} + x y^{2} + (- 5)

możemy zapisać bez użycia nawiasów

- 2 x + x^{2} + 23 y + 15 x y - 3 x^{2} + x y^{2} - 5

Przykład 3

Spośród jednomianów wybierzmy te, które różnią się tylko współczynnikiem liczbowym.

R1As5ViW5rwtd1

Jednomiany podobne

Definicja: Jednomiany podobne

Jednomianami podobnymi nazywamy jednomiany, w których występują takie same czynniki literowe w tej samej potędze.
Jednomiany podobne różnią się współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników. Jednomiany podobne występujące w sumie algebraicznej nazywamy wyrazami podobnymi sumy algebraicznej.

Przykład 4

RLS7stS2ju7H41

Redukcja wyrazów podobnych

Definicja: Redukcja wyrazów podobnych

Redukcją wyrazów podobnych nazywamy przekształcenie sumy algebraicznej polegające na wykonaniu dodawania lub odejmowania wyrazów podobnych. W wyniku redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy prostszą postać sumy algebraicznej.

Przykład 5

Konstruujemy pewną figurę, która powstaje przez powtórzenie tych samych czynności. W pierwszym etapie konstruujemy trójkąt. W drugim etapie na jednym z boków wyjściowego trójkąta budujemy kolejny, taki sam trójkąt. W trzecim etapie budujemy trójkąt na jednym z boków drugiego trójkąta i tak powtarzamy te czynności $n$ razy. Zobaczmy, jak to wygląda na rysunku.

R11sWoM61cFoS

Rysunek przedstawia pierwsze trzy etapy konstrukcji pewnego wielokąta. W pierwszym etapie figura to trójkąt równoboczny. W drugim etapie figura składa się z dwóch trójkątów równobocznych, o wspólnym boku. W trzecim etapie figura składa się z trzech trójkątów równobocznych. Pierwszy i drugi trójkąt mają wspólny bok, podobnie drugi i trzeci trójkąt mają wspólny bok. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiemy sobie teraz na kilka pytań.

Z ilu odcinków składa się pierwszy trójkąt? Tu odpowiedź jest łatwa. Wynosi $3$ .

Z ilu odcinków składa się figura w drugim etapie? Odpowiedź brzmi $5$ . A w trzecim? $7$ .

Czy zauważamy już pewną zależność?

Każdy kolejny etap budowy figury powiększa swoją ilość odcinków o $2$ . Zatem z ilu odcinków będzie składała się figura w setnym etapie? A ile w $n$ -tym?

Skonstruujemy zatem odpowiednie wyrażenie algebraiczne, które pozwoli nam wyznaczyć ilość odcinków w zależności od numeru etapu. W pierwszym etapie mamy trzy odcinki i każdy kolejny etap powiększa się co dwa, zatem możemy to zapisać jako wzór postaci $3 + 2 \cdot (n - 1)$ .

Wówczas w setnym etapie figura składa się z $3 + 2 \cdot 99 = 201$ odcinków.

R1XIUUjro7Pu51

Ćwiczenie 1

$\frac{x}{y}$
$(- 2 x) ∙ x$
$x + x^{2}$
$6 h ∙ 7 t$
$100 + 100 x$
$- uk$
$ab + cd$
$g^{10} ∙ 2^{10}$
$\frac{a + b}{a - b}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZBul5knOyK6j1

Ćwiczenie 2

$- abc$
$6 abc - a$
$- 8$
$x^{2} y + x y^{2}$
$- 2 ab ∙ (- 3 cd)$
$a^{2} + c$
$d$
$\frac{3}{4} ∙ (- 12)$
$- x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVudQWyl72se71

Ćwiczenie 3

Uzupełnij tekst odpowiednimi sumami algebraicznymi lub wyrazami sumy algebraicznej. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakujące wyrażenie dla każdego zdania. Wyrazami sumy algebraicznej

\frac{2}{3} a - \frac{1}{2} b + 2 c

są 1.

- 20, 46 x y

- 11, 5 x^{2} y

, 2.

- x^{5} + 2 x^{3} - x

, 3.

1 \frac{1}{2} d \cdot (- \frac{8}{15} g) \cdot 30 + d g^{2} - 0, 5 g d^{2}

, 4.

- 3 a b

- 15 \frac{1}{3} c

, 5.

\frac{2}{3} a

- \frac{1}{2} b

2 c

Wyrazami sumy algebraicznej 1.

- 20, 46 x y

- 11, 5 x^{2} y

, 2.

- x^{5} + 2 x^{3} - x

, 3.

1 \frac{1}{2} d \cdot (- \frac{8}{15} g) \cdot 30 + d g^{2} - 0, 5 g d^{2}

, 4.

- 3 a b

- 15 \frac{1}{3} c

, 5.

\frac{2}{3} a

- \frac{1}{2} b

2 c

są

- x^{5}

2 x^{3}

- x

.Wyrazami sumy algebraicznej

9 a \cdot (- \frac{1}{3} b) - 15 \frac{1}{3} c

są 1.

- 20, 46 x y

- 11, 5 x^{2} y

, 2.

- x^{5} + 2 x^{3} - x

, 3.

1 \frac{1}{2} d \cdot (- \frac{8}{15} g) \cdot 30 + d g^{2} - 0, 5 g d^{2}

, 4.

- 3 a b

- 15 \frac{1}{3} c

, 5.

\frac{2}{3} a

- \frac{1}{2} b

2 c

.Wyrazami sumy algebraicznej 1.

- 20, 46 x y

- 11, 5 x^{2} y

, 2.

- x^{5} + 2 x^{3} - x

, 3.

1 \frac{1}{2} d \cdot (- \frac{8}{15} g) \cdot 30 + d g^{2} - 0, 5 g d^{2}

, 4.

- 3 a b

- 15 \frac{1}{3} c

, 5.

\frac{2}{3} a

- \frac{1}{2} b

2 c

są

- 24 d g

d g^{2}

- 0, 5 g d^{2}

.Wyrazami sumy algebraicznej

9, 3 x \cdot (- 2, 2 y) + 11, 5 x y \cdot (- x)

są 1.

- 20, 46 x y

- 11, 5 x^{2} y

, 2.

- x^{5} + 2 x^{3} - x

, 3.

1 \frac{1}{2} d \cdot (- \frac{8}{15} g) \cdot 30 + d g^{2} - 0, 5 g d^{2}

, 4.

- 3 a b

- 15 \frac{1}{3} c

, 5.

\frac{2}{3} a

- \frac{1}{2} b

2 c

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NklSCbYY7u31

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono jednomiany oraz ich uporządkowane formy. Połącz w pary jednomiany z ich uporządkowaną formą.

6 \cdot a \cdot (- 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

4 \frac{1}{2} \cdot (- 10) \cdot x x x \cdot y

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

- 0, 9 a^{2} b \cdot 100 a b^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

- 1 \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z \cdot (- 18 x y z^{3})

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

\frac{4}{9} a d r \cdot (- \frac{3}{8} r a^{2}) \cdot (- d^{3}) \cdot (- a r^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

- 3 h k \cdot (- k) \cdot (- h^{4}) \cdot \frac{8}{27} k h^{2} \cdot (- 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{8}{9} h^{7} k^{3}

, 2.

- 90 a^{3} b^{3}

, 3.

- 45 x^{3} y

, 4.

- 12 a

, 5.

- \frac{1}{6} a^{4} d^{4} r^{4}

, 6.

30 x^{4} y^{3} z^{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQqc9hmTR8fNX1

Ćwiczenie 5

$12 x y^{2} z^{2}, 2 xyyzz$
$12 xyz$ , $- 12 xxyyzz$ , $x y^{2} z$
$- 3 x ∙ 0,7 yz ∙ yz, 2 xyz ∙ (- 6 yz)$
$- x ∙ (- y^{2} z) ∙ z, \frac{3}{7} z^{2} x y^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JPNlJjZwmeq1

Ćwiczenie 6

$5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c, - 5 ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c$
$50 abc$ , $5 ∙ 2 a ∙ 2 b ∙ 2$
$2 \frac{5}{7} a^{2} b^{2} c^{2}$ , $0,5 aabbcc$
$7 ∙ a ∙ b ∙ c ∙ a ∙ b ∙ c$ , $\frac{1}{3} a c^{2} b^{2} a$
$7 a^{2} b c^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RspPxacPoVZYL11

Ćwiczenie 7

Poniżej przedstawiono pewne jednomiany. Połącz w pary jednomiany do siebie podobne.

- 7 x y

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 7 y z

, 2.

32 x z

, 3.

- 4 x

, 4.

12 x y

, 5.

- 3 x y z

15 \frac{1}{2} y x z

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 7 y z

, 2.

32 x z

, 3.

- 4 x

, 4.

12 x y

, 5.

- 3 x y z

x \cdot (- 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 7 y z

, 2.

32 x z

, 3.

- 4 x

, 4.

12 x y

, 5.

- 3 x y z

- 32 z x

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 7 y z

, 2.

32 x z

, 3.

- 4 x

, 4.

12 x y

, 5.

- 3 x y z

\frac{7}{10} z y

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 7 y z

, 2.

32 x z

, 3.

- 4 x

, 4.

12 x y

, 5.

- 3 x y z

Połącz w pary podobne do siebie jednomiany.

$- 7 yx$
$15 \frac{1}{2} yxz$
$x ∙ (- 2)$
$- 32 zx$
$\frac{7}{10} zy$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROnKfOYU17fkq11

Ćwiczenie 8

Poniżej przedstawiono pewne jednomiany. Połącz w pary jednomiany do siebie podobne.

2 m m k

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

3 m k

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- m k m k

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- 3 m^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- 7 m k k

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- \frac{1}{3} m

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- 0, 6 k^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

- 9 k

Możliwe odpowiedzi: 1.

- m k

, 2.

5 m k^{2}

, 3.

{- 2 m}^{2} k

, 4.

\frac{2}{7} k^{2}

, 5.

\frac{1}{3} m

, 6.

0, 23 m^{2} k^{2}

, 7.

6 m m

, 8.

- k

Połącz w pary jednomiany podobne.

$2 m m k$
$3 m k$
$- m k m k$
$- 3 m^{2}$
$- 7 m k k$
$- \frac{1}{3} m$
$- 0, 6 k^{2}$
$- 9 k$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIF9vsLQsbqxr11

Ćwiczenie 9

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian w pary.

7 a - 6 a + a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

a

, 3.

- a

, 4.

- 3 a

, 5.

3 a

- a - a - a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

a

, 3.

- a

, 4.

- 3 a

, 5.

3 a

- 10 a + 10 a + a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

a

, 3.

- a

, 4.

- 3 a

, 5.

3 a

- 5 a - a + 9 a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

a

, 3.

- a

, 4.

- 3 a

, 5.

3 a

2 a - 5 a + 2 a

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

a

, 3.

- a

, 4.

- 3 a

, 5.

3 a

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

$7 a - 6 a + a$
$- a - a - a$
$- 10 a + 10 a + a$
$- 5 a - a + 9 a$
$2 a - 5 a + 2 a$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Podaj przykład jednomianu podobnego do jednomianu

$2 \frac{3}{7} x^{2} \cdot (- 21 x) \cdot 0, 21 x y^{3}$ ,
$- \frac{2}{3} a b a b a \cdot c a c a c a$ ,
$\frac{5}{11} k h t^{4} \cdot \frac{4}{11} k^{4} h t \cdot \frac{2}{11} k h^{4} t \cdot (- 11)$ .

R6kaxzoapL6aM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

${5 x}^{4} y^{3}$ ,
$a^{6} b^{2} c^{3}$ ,
$k^{6} h^{6} t^{6}$ .

R18FCBcZFaHKs21

Ćwiczenie 11

Połącz w pary jednomian i odpowiadający mu współczynnik liczbowy.

- 4, 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

- 10

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

6

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

10

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

- 0, 44

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

- 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

4, 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 6 t \cdot (- d) \cdot (- \frac{100}{6})

, 2.

- \frac{1}{3} z^{4} \cdot 30 z

, 3.

- 0, 44 a h r (- a h) (- 10 r h a)

, 4.

- 2 a k \cdot \frac{3}{4} k^{4} \cdot (- 4 a)

, 5.

3 x (- 2 y z)

, 6.

2, 2 r s t (- s) r t (- 2)

, 7.

0, 11 y z x (- 2 x z) 2 y

Połącz w pary jednomian i odpowiadający mu współczynnik liczbowy.

$- 4,4$
$- 10$
$6$
$10$
$- 0,44$
$- 6$
$4,4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1S1J4zYTzAoi2

Ćwiczenie 12

$2 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 8$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 13 x - 7$
$\frac{1}{6} x^{2} - 13 x - 7$
$1 \frac{1}{6} x^{2} + 17 x - 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6wRxP6Fgbpgk21

Ćwiczenie 13

Połącz w pary sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

- 2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

3 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- 3 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- 2 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

2 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

Połącz w pary sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

- 2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

3 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- 3 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

2 x

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

- 2 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

2 x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{4 x + x}^{2} + x^{2} - 4 x

, 2.

3 x - 7 x + 5 x

, 3.

{- x}^{2} - x^{2} - x^{2}

, 4.

x + 3 x^{2} - x + (- 5 x^{2})

, 5.

x - x - 2 x + x

, 6.

13 x^{2} + 2 x + (- 13 x^{2})

, 7.

x^{2} - 5 x^{2} + {7 x}^{2}

, 8.

12 x + x - 15 x

Połącz w pary sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

$- 2 x$
$x$
$3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$
$- x$
$2 x$
$- 2 x^{2}$
$2 x^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R175qH4MlrEDo2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1d8kpY7kT4xW2

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QQVbwryK2DT2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UUarZDFeyEy21

Ćwiczenie 17

Uzupełnij poniższe luki tak, aby otrzymany jednomian był podobny do jednomianu

2 x \cdot \frac{3}{5} y^{2} \cdot (- 20 x y z^{7})

. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawne wyrażenie.

5 x^{2} \cdot

- x^{2} z^{7}

, 2.

y z^{5}

, 3.

x y^{2} z^{6}

\cdot y^{2} \cdot 12 z^{2}

x y z \cdot

- x^{2} z^{7}

, 2.

y z^{5}

, 3.

x y^{2} z^{6}

24 \cdot

- x^{2} z^{7}

, 2.

y z^{5}

, 3.

x y^{2} z^{6}

\cdot y^{3}

Przeciągnij i upuść tak, aby otrzymany jednomian był podobny do jednomianu $2 x \cdot \frac{3}{5} y^{2} \cdot (- 20 x y z^{7})$ .

$x y^{2} z^{6}$ , $y z^{5}$ , $- x^{2} z^{7}$

$5 x^{2} \cdot$ .............................................. $\cdot y^{2} \cdot 12 z^{2}$
$x y z \cdot$ ..............................................
$24 \cdot$ .............................................. $\cdot y^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAUY8sYtX7mal2

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DvTm1bS4GRw2

Ćwiczenie 19

Łączenie par. Dany jest prostokąt, którego długość jest równa

x

, a szerokość jest trzecią częścią długości. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.. Jednomian opisujący pole tego prostokąta jest postaci

\frac{1}{3} x^{2}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jednomian opisujący obwód tego prostokąta jest postaci

2 \frac{2}{3} x

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Dla

x = 9

obwód prostokąta wynosi

14

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Dla

x = 9

pole prostokąta wynosi

27

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6WvGsJwDbHxq2

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8O87IvMEirWF2

Ćwiczenie 21

W równoległoboku krótsza wysokość ma długość

x

, a krótszy bok ma długość

y

. Wysokość poprowadzona do krótszego boku ma długość

3

razy większą niż krótsza wysokość równoległoboku.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną wartość. Pole równoległoboku można zapisać za pomocą jednomianu postaci 1.

80 cm

, 2.

50 cm

, 3.

160 {cm}^{2}

, 4.

240 {cm}^{2}

, 5.

8 x

, 6.

2 x y

, 7.

8 y

, 8.

3 y

, 9.

3 x y

.Obwód równoległoboku można zapisać za pomocą jednomianu postaci 1.

80 cm

, 2.

50 cm

, 3.

160 {cm}^{2}

, 4.

240 {cm}^{2}

, 5.

8 x

, 6.

2 x y

, 7.

8 y

, 8.

3 y

, 9.

3 x y

.Dłuższy bok równoległoboku można zapisać za pomocą jednomianu postaci 1.

80 cm

, 2.

50 cm

, 3.

160 {cm}^{2}

, 4.

240 {cm}^{2}

, 5.

8 x

, 6.

2 x y

, 7.

8 y

, 8.

3 y

, 9.

3 x y

.Dla

x = 8 cm

oraz

y = 1 dm

pole równoległoboku wynosi 1.

80 cm

, 2.

50 cm

, 3.

160 {cm}^{2}

, 4.

240 {cm}^{2}

, 5.

8 x

, 6.

2 x y

, 7.

8 y

, 8.

3 y

, 9.

3 x y

,a obwód 1.

80 cm

, 2.

50 cm

, 3.

160 {cm}^{2}

, 4.

240 {cm}^{2}

, 5.

8 x

, 6.

2 x y

, 7.

8 y

, 8.

3 y

, 9.

3 x y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego obwód trójkąta. Oblicz wartość liczbową tego wyrażenia dla $x = 4$ i $y = \frac{1}{2}$ .

R15ZNPVG2xFGS1

Rysunek przedstawia trójkąt różnoboczby o bokach : 2x-1, x+3y oraz 4y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13TYWzvPevJc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

R7bxIcqpXus7o1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmWFOMKvskfpM

Obwód kwadratu o boku długości

3, 2 x

jest postaci Możliwe odpowiedzi: 1.

12, 8 x

., 2.

12, 4 x + 6 y

., 3.

4, 2 x + 9, 8 y

., 4.

13, 2 x + 10, 6 y

. Obwód prostokąta o bokach

4, 9 y

oraz

2, 1 x

jest postaci Możliwe odpowiedzi: 1.

12, 8 x

., 2.

12, 4 x + 6 y

., 3.

4, 2 x + 9, 8 y

., 4.

13, 2 x + 10, 6 y

. Obwód równoległoboku o bokach

5, 3 y

oraz

6, 6 x

jest postaci Możliwe odpowiedzi: 1.

12, 8 x

., 2.

12, 4 x + 6 y

., 3.

4, 2 x + 9, 8 y

., 4.

13, 2 x + 10, 6 y

. Obwód trapezu równoramiennego o dłuższej podstawie długości

3 x + 1

, krótszej podstawie

6 y - 1

oraz ramionach długości

4, 7 x

jest postaci Możliwe odpowiedzi: 1.

12, 8 x

., 2.

12, 4 x + 6 y

., 3.

4, 2 x + 9, 8 y

., 4.

13, 2 x + 10, 6 y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11tzDSs7FUfi2

Ćwiczenie 24

Łączenie par. W teatrze znajduje się

x

rzędów, a w każdym rzędzie jest

z

miejsc siedzących. Piątą część liczby wszystkich rzędów stanowią rzędy dla gości zagranicznych. Zaznacz poprawną odpowiedź na poniższe pytania w tabeli.. Ile miejsc siedzących jest przeznaczonych dla gości zagranicznych?. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Podczas przedstawienia teatralnego w każdym rzędzie było wolnych

20 %

miejsc siedzących. Ilu zagranicznych gości było obecnych na tym seansie?. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GqutqXZNU9p2

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XCubfcPte6531

Ćwiczenie 26

Łączenie par. Zaznacz poprawną odpowiedź na poniższe pytania w tabeli.. Postacią zredukowaną wyrażenia

2 x + 6 y + (- 10 x) - 15 y - x - y

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

12 a^{2} - 6 a + a^{2} - 7 a - a + (- 14 a^{2})

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

5 x^{2} y + 2 x y - 7 x y^{2} + (- 16 x^{2} y) - x y + y^{2} x

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

1,2 a b - b + a - \frac{1}{3} b a + \frac{7}{9} b - \frac{3}{7} a + (- a b)

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

4 \frac{1}{4} x a r - a r x + \frac{1}{2} a r - x r - 3 \frac{1}{4} r a x + 1,5 r a + x r

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

4,2 k m - 0,2 m m + 4 m k - 10 k + 12 k m - 0,8 m^{2} + 21 k

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2. Postacią zredukowaną wyrażenia

3 w s^{2} z + 4 w s z - 2 s z^{2} + (- \frac{3}{4} s^{2} w z) + w s z - 7 z^{2} s

jest:. Możliwe odpowiedzi: Wariant 1, Wariant 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RR4N4BAidtYYu3

Ćwiczenie 27

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 28

R1NSniMwoeyV2

Oblicz za pomocą wyrażeń algebraicznych liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian dla poniższych figur. Połącz w pary figurę z liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian, które ją opisują. graniastosłup

n

- kątny Możliwe odpowiedzi: 1.

W - n + 1

K - 2 n

S - n + 1

, 2.

W - n + 2

K - 3 n

S - 2 n

, 3.

W - 2 n

K - 3 n

S - n + 2

ostrosłupa

n

- kątny Możliwe odpowiedzi: 1.

W - n + 1

K - 2 n

S - n + 1

, 2.

W - n + 2

K - 3 n

S - 2 n

, 3.

W - 2 n

K - 3 n

S - n + 2

wielościan, który powstanie w wyniku sklejenia podstawami dwóch jednakowych ostrosłupów

n

- kątnych Możliwe odpowiedzi: 1.

W - n + 1

K - 2 n

S - n + 1

, 2.

W - n + 2

K - 3 n

S - 2 n

, 3.

W - 2 n

K - 3 n

S - n + 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyxM8p8ckRwKU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu:

W + S = K + 2

gdzie:

$W$ — liczba wierzchołków,

$S$ — liczba ścian,

$K$ — liczba krawędzi.