Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami.
Przykłady siatek graniastosłupów prostych:
RITxTgjxvvO9Q1
R1bmXcocQZCId1
R19h28wgDtSQo1
R54Vz4TRMuxwM1
Prostopadłościan jest trójwymiarową bryłą przypominająca klocek. Składa się on z czterech prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami dokładnie w taki sam sposób jak na przykład ściany pokoju. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną, które w naszym porównaniu byłyby sufitem i podłogą pokoju. Prostopadłościan możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu figur: dwóch par identycznych prostokątów, czyli przeciwległych ścian oraz dwóch identycznych prostokątów będących podstawami. Oznacza to, że nie wszystkie ściany bryły muszą być identyczne. Prostopadłościan może bowiem być „spłaszczony”. Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde trzy pary identycznych prostokątów mogą utworzyć prostopadłościan. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz prostopadłościan składa się z pary identycznych ścian A, pary identycznych ścian B oraz podstawy górnej i dolnej. Oczywiście ściany A i B mogą być w szczególności identyczne, jeśli tylko podstawy są kwadratami. 1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana A. Po bokach tej ściany znajdują przylegające do niej ściany B. Do dolnego boku ściany A przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna, a do dolnego boku dolnej podstawy przylega ściana A. 2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od ściany B. Do jej prawego boku przylega ściana A. Do prawego boku ściany A przylega druga ściana B. Do prawego boku drugiej ściany B przylega druga ściana A, do której górnego i dolnego boku przylegają obie podstawy.
Graniastosłup sześciokątny jest trójwymiarową bryłą, która składa się z sześciu prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną. Taki graniastosłup możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z ośmiu figur: dwóch identycznych sześciokątów, czyli przeciwległych podstaw oraz sześciu identycznych prostokątów, będących ścianami bocznymi. Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie z każdych dwóch sześciokątów i sześciu prostokątów możemy ułożyć siatkę graniastosłupa sześciokątnego. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 6. 1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1 . Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3, 4, 5 i 6. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna. 2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do każdego boku podstawy przylega jedna ściana boczna, a do dolnego boku dowolnej ze ścian przylega dolna podstawa.
Ważne!
Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.
R17lVU8ZOzKpH1
R1RXkaFe6bD841
Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, którego wszystkie ściany są identyczne i są kwadratami. Sześcian możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu takich samych kwadratów. Tak samo jak w przypadku prostopadłościanu, układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde sześć identycznych kwadratów może utworzyć sześcian. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 4. 1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1 . Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3 i 4. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna. 2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do jej prawego boku przylega ściana 1, do lewego boku przylega ściana 2, do górnego boku przylega ściana 3, a do dolnego boku przylega ściana 4 .Do dolnego boku ściany 4 przylega dolna podstawa.
Ważne!
Przykłady siatek prostopadłościanów.
R6JvrnRe8D7v51
RKDHS2NKhIzh71
RRAEyKgIzrPP41
REycyJtxikr1a1
Przykład 1
Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa prostego. Obliczymy sumę długości krawędzi tego graniastosłupa.
RZZWGaylFl8dp1
Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość . Suma ich długości jest równa
.
Podstawą jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnej długości . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość drugiej przyprostokątnej.
.
Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.
.
Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi.
.
Odpowiedź:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi .
Pole powierzchni graniastosłupa
Znajomość siatki graniastosłupa pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.
RakstiyKlRQHs1
Rt6YvFP5ZvwVp1
Siatka każdego sześcianu składa się z sześciu takich samych kwadratów. Przyjmując, że długość boku jednego takiego kwadratu wynosi , możemy wyznaczyć wzór ogólny na pole powierzchni sześcianu. Będzie to pole powierzchni jednego kwadratu pomnożone przez ilość kwadratów, czyli .
Siatka każdego prostopadłościanu składa się z trzech par prostokątów o takich samych wymiarach. Przyjmując, że wymiary jednej pary prostokątów to na , wymiary drugiej pary prostokątów to na , a wymiary trzeciej pary prostokątów to na , możemy wyznaczyć wzór ogólny na pole powierzchni prostopadłościanu. Będzie to suma trzech składników, każdy składnik to pole odpowiedniego prostokąta pomnożone przez ilość takich prostokątów w siatce, czyli .
Ważne!
Wzór na pole powierzchni graniastosłupa:
– pole powierzchni graniastosłupa,
– pole podstawy,
– pole powierzchni bocznej.
R1W6wIGUE2BjL1
Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości i krawędzi podstawy
.
RNuSCAsAWs78S1
Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy i wysokości
.
Przykład 2
Podstawą graniastosłupa jest romb o wysokości i kącie ostrym . Pole powierzchni bocznej jest równe . Obliczymy wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.
RVcNyG5eXNk7z1
Podstawą graniastosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę , a wysokość jest równa . Z własności trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej i kącie ostrym leżącym naprzeciw tej przyprostokątnej o mierze wynika, że długość przeciwprostokątnej jest równa .
Zatem bok rombu ma długość .
Obliczymy wysokość graniastosłupa, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej jest równe .
.
Obliczamy pole podstaw graniastosłupa.
.
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jako sumę pola podstaw i pola powierzchni bocznej.
.
Odpowiedź:
Wysokość graniastosłupa jest równa , a pole powierzchni jest równe .
Zadania
Ćwiczenie 1
R18GOIZNH0SLC1
Rnm9OpLNB52wU
1
Ćwiczenie 2
RDoBcAwLxLanO1
RXifd0acJOFpJ
1
Ćwiczenie 3
R1SIMYoefvs0Y
Suma pól podstaw to .
1
Ćwiczenie 4
RcqqLsqQoPnrb1
Zacznij od obliczenia pola powierzchni bocznej. Następnie dodaj pole powierzchni bocznej do dwóch pól podstawy, aby otrzymać pole całkowite bryły.
2
Ćwiczenie 5
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość . Wysokość graniastosłupa jest równa . Narysuj siatkę tego graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest:
trójkąt
czworokąt
pięciokąt
sześciokąt
R1VqzXXyGA39r
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość . Wysokość graniastosłupa jest równa . Opisz jak wygląda siatka tego graniastosłupa, wiedząc, że jego podstawą jest
trójkąt
czworokąt
pięciokąt
sześciokąt
R1T0eGwksrPUr
Pamiętaj, że siatka każdego graniastosłupa prawidłowego składa się z dwóch figur, które są jego podstawami i odpowiedniej liczby prostokątów, które są jego ścianami bocznymi.
RoI7BXPLKZpc7
R1CgQy4hp7T89
RwUGQDak9AdY3
R1TyvyGhDTmLr
Siastka graniastosłupa składa się z dwóch trójkątów równobocznych o bokach długości i trzech prostokątów o wymiarach .
Siastka graniastosłupa składa się z dwóch kwadratów o bokach długości i czterech prostokątów o wymiarach .
Siastka graniastosłupa składa się z dwóch pięciokątów foremnych o bokach długości i pięciu prostokątów o wymiarach .
Siastka graniastosłupa składa się z dwóch sześciokątów foremnych o bokach długości i sześciu prostokątów o wymiarach .
2
Ćwiczenie 6
R1LrkIoCqZw92
R1QEmhXymNFea
RgJaHReBI9xWH
2
Ćwiczenie 7
R1Wmpr0dQWYz8
Do obliczenia długości przeciwprostokątnej podstawy wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa. Aby obliczyć pole narysowanej siatki należy pole powierzchni całkowitej pudełka pomnożyć przez ułamek .
Przeciwprostokątna podstawy ma długość .
Pole całkowite pudełka to .
Pole narysowanej siatki to .
2
Ćwiczenie 8
RQ1Z9I3AbzmSn
Rzg0tZDj0lscS
2
Ćwiczenie 9
Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Rg8jS4RerSGho1
R1Ioia1gzxt7D
Suma długości krawędzi bocznych to , suma wszystkich krawędzi to , czyli jest o większa. Zdanie prawdziwe.
Pole podstawy to . Zdanie to jest więc prawdziwe.
Suma pól podstaw jest równa , zaś pole powierzchni całkowitej to . Zdanie jest fałszywe.
Krawędź boczna jest prostopadłą, więc jest to zdanie fałszywe.
Ćwiczenie 10
Siatki graniastosłupów prostych przedstawionych na poniższych ilustracjach składają się z odcinków, których suma długości jest równa . Oblicz, jakie są długości wysokości tych graniastosłupów.
RbhgrRRKsdSL8
RQr0weaX7jM0N
RYrH5ESP1lnM7
RrEVLMhbjO9az2
2
Ćwiczenie 11
R6KVjjMQzpnqZ
Przeciwprostokątna trójkąta w podstawie ma długość , a krótsza przyprostokątna – . Stąd druga przyprostokątna ma długość . Pole powierzchni bocznej jest równe: .
Długości boków trapezu są równe , , i . Wysokość graniastosłupa jest równa
.
Pole boczne graniastosłupa to .
2
Ćwiczenie 12
RXb3Y0ajoWXJH
Zacznij od obliczenia pola trapezu w podstawie, a następnie, korzystając z informacji na temat pola powierzchni całkowitej, oblicz wysokość graniastosłupa.
Wysokość trapezu jest równa , pole trapezu jest równe . Pole powierzchni całkowitej jest równe
.
Zatem otrzymujemy równanie
.
Stąd
.
R1WOGndBl95Cm2
Ćwiczenie 13
2
Ćwiczenie 14
R1FI2xDwXizak
Pole podstawy to . Długość krawędzi podstawy – .
Pole powierzchni bocznej jest równe .
RiYPYJT4lNOi52
Ćwiczenie 15
2
Ćwiczenie 16
RUu9X5JOjpgW2
Krawędź boczna to połowa przekątnej, czyli . Długość krawędzi podstawy spełnia równanie
,
skąd .
Pole powierzchni bocznej jest równe
.
2
Ćwiczenie 17
RSVjvFa2oLdDI
Wysokość podstawy jest równa , pole podstawy to , wysokość graniastosłupa to .
3
Ćwiczenie 18
R1Qe2Kt4S1Cqz
Długość krawędzi podstawy jest równa wysokości graniastosłupa i wynosi .
Pole podstawy jest równe . Pole powierzchni całkowitej jest równe:
.
3
Ćwiczenie 19
R1amhyZGuP1pi
Graniastosłup trójkątny ma krawędzi, czyli każda ma długości.
W prostopadłościanie jest ich , więc każda ma długości. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa trójkątnego to
,
pole powierzchni prostopadłościanu jest równe .
3
Ćwiczenie 20
Betonowy blok ma kształt sześcianu o krawędzi długości . W bloku wycięto otwór, tak jak na rysunku. Otwór ma kształt prostopadłościanu, którego niektóre krawędzie mają długość . Oblicz pole powierzchni pozostałej części bloku.
R1eeYzsdkEsAi1
RGMdXhFVC8Ue8
Pole pozostałej części jest równe .
3
Ćwiczenie 21
RnawsIxGQupnS
Pole powierzchni basenu to pole powierzchni graniastosłupa, bez pola podstawy górnej.
ReX17UmgnE1Nl3
Ćwiczenie 22
3
Ćwiczenie 23
Oceń prawdziwość poniższego wniosku.
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość .
Wysokość graniastosłupa jest równa . Zatem pole jego powierzchni całkowitej wyraża się liczbą naturalną.
RhKC4dIDs3pwI
Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa i zastanów się, czy jest wyrażone liczbą naturalną.
Fałsz. Ponieważ wysokość trójkąta będącego podstawą jest równa , więc liczba wyrażająca pole powierzchni całkowitej nie będzie liczbą naturalną.