Szczególne trójkąty prostokątne
W tym materiale poznasz szczególne trójkąty prostokątne oraz dowiesz się jakie związki występują między długościami boków takich trójkątów. Rozwiążesz zadania dotyczące tego zagadnienia.
Trójkąt prostokątny równoramienny
Aby podać długości boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym, wystarczy znać długość tylko jednego z boków.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równa . Oblicz obwód tego trójkąta. Wymierne przybliżenie obwodu podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
W trójkącie równoramiennym przyprostokątne są równe. Oznaczmy przez długość przyprostokątnej i zapiszmy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa.
Długość przyprostokątnej wyraża się liczbą niewymierną. Możemy w dalszych rozważaniach uwzględniać wartość dokładną: lub (wyłączając czynnik przed znak pierwiastka) lub przybliżoną
Obliczamy obwód trójkąta.
Sposób | Sposób |
---|---|
Obwód prostokąta jest równy w przybliżeniu .
Obliczymy promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym , którego pole jest równe .
Obliczymy długość przyprostokątnej, korzystając ze wzoru na pole trójkąta.
, gdzie
bo
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy .
Sześciokąt zbudowany jest z dwóch przystających równoramiennych trójkątów prostokątnych. Przeciwprostokątna w każdym z tych trójkątów ma długość . Stosunek długości odcinków do jest równy . Obliczymy obwód wielokąta .
Stosunek długości odcinków do jest równy , zatem
długość odcinka stanowi długości odcinka ,
długość odcinka stanowi długości odcinka .
Oznaczmy przez długość przyprostokątnej trójkąta . Obliczamy , korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Obliczamy obwód sześciokąta .
Obwód sześciokąta jest równy .
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°
Bok trójkąta równobocznego ma długość . Obliczmy miary kątów i długości boków trójkąta , gdzie punkt jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka .
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę równą . Kąt jest kątem w trójkącie równobocznym, zatem jego miara jest równa
Wysokość jest prostopadła do podstawy , zatem kąt jest kątem prostym
Wysokość w trójkącie równobocznym jest zarazem dwusieczną kąta, zatem kąt ma miarę
Miary kątów w trójkącie są równe , , .
Trójkąt jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna ma długość .
Wysokość dzieli podstawę na dwa przystające odcinki
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku , czyli wysokość trójkąta
bo i .
Boki trójkąta mają długości: , , .
Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Miary kątów w każdym z tych trójkątów są równe: , , .
Jeśli oznaczymy przez długość przeciwprostokątnej w tak otrzymanym trójkącie prostokątnym, to długości pozostałych boków są równe i . Przy czym naprzeciw kąta o mierze leży przyprostokątna, której długość jest dwukrotnie mniejsza od długości przeciwprostokątnej.
Trójkąt prostokątny o kątach , , .
– długość przeciwprostokątnej,
– długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ,
- długość przyprostokątnej leżącej przy kącie .
Torba wykonana jest z dwóch jednakowych kawałków skóry. Każdy z nich ma kształt trapezu równoramiennego, w którym ramię i krótsza podstawa mają długość , a kąt rozwarty ma miarę .
Ile skóry zużyto na wykonanie tej torebki?
Obliczymy pole powierzchni jednego z kawałków skóry, z którego wykonana jest torebka, czyli pole odpowiedniego trapezu.
Wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy podzieliła trapez na czworokąt i trójkąt prostokątny o kątach , , . Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość , zatem (przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta o mierze ) i (przyprostokątna leżąca przy kącie o mierze
).
Zatem wysokość trapezu jest równa , a dłuższa podstawa ma długość
Obliczamy pole trapezu.
Obliczamy, ile skóry zużyto, aby wykonać torebkę.
Na wykonanie torebki zużyto około skóry.
Trójkąty na rysunkach są prostokątne i równoramienne. Wyznacz na każdym z poniższych rysunków.
a)
b)
c)
Czy w poniższym trójkącie bok jest najdłuższy?
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się trzy trapezy.
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się trzy trójkąty.
a)
b)
c)
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem trójkąta.
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem trójkąta.
Metalowy element ozdobny ma kształt trapezu przedstawionego na rysunku. Ile blachy potrzeba na jego wykonanie?
Punkty: , , są środkami boków trójkąta równobocznego . Punkt jest punktem przecięcia środkowych boków tego trójkąta i .
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu , gdzie jest liczbą naturalną dodatnią. Z punktu leżącego poza okręgiem poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się pod kątem . Ile wynosi długość odcinka ? Rozważ dwa przypadki.
Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i oblicz długość w każdym rombie. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednią liczbę.