Szczególne trójkąty prostokątne - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale poznasz szczególne trójkąty prostokątne oraz dowiesz się jakie związki występują między długościami boków takich trójkątów. Rozwiążesz zadania dotyczące tego zagadnienia.

Trójkąt prostokątny równoramienny

R9FtK2hFRw4T01

Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych o kątach 90 stopni, 45 stopni i 45 stopni. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne równe a i przeciwprostokątną równą a pierwiastek z dwóch. Pod trójkątem znajdują się zapisy: a - długość przyprostokątnej, a pierwiastków z dwóch - długość przeciwprostokątnej, 45 stopni, 45 stopni, 90 stopni - miary kątów. Drugi trójkąt ma przyprostokątne równe jedna druga razy x razy pierwiastek z dwóch i przeciwprostokątną równą x. Pod trójkątem znajdują się zapisy: jedna druga x pierwiastków z dwóch - długość przyprostokątnej, x - długość przeciwprostokątnej, 45 stopni, 45 stopni, 90 stopni - miary kątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby podać długości boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym, wystarczy znać długość tylko jednego z boków.

RU9wXB2S1MRS31

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych równoramiennych. Pierwszy trójkąt ma przyprostokątne równe 4 i przeciwprostokątną cztery pierwiastki z dwóch. Drugi trójkąt ma przyprostokątne równe 1 i przeciwprostokątną pierwiastek z dwóch. Trzeci trójkąt ma przyprostokątne równe pierwiastek z dwóch i przeciwprostokątną równą 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równa $6$ . Oblicz obwód $L$ tego trójkąta. Wymierne przybliżenie obwodu podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

RfFMRgW7SWeQg1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych równych a i przeciwprostokątnej równej 6. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równoramiennym przyprostokątne są równe. Oznaczmy przez $a$ długość przyprostokątnej i zapiszmy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa.

a^{2} + a^{2} = 6^{2}

2 a^{2} = 36 / : 2

a^{2} = 18

a = \sqrt{18}

Długość przyprostokątnej wyraża się liczbą niewymierną. Możemy w dalszych rozważaniach uwzględniać wartość dokładną: $\sqrt{18}$ lub $3 \sqrt{2}$ (wyłączając czynnik przed znak pierwiastka) lub przybliżoną

\sqrt{18} = 4, 2426 \dots \approx 4, 24

3 \sqrt{2} = 3 \cdot 1, 414 . . . \approx 3 \cdot 1, 41 = 4, 23

Obliczamy obwód trójkąta.

Sposób $I$	Sposób $II$
$L = \sqrt{18} + \sqrt{18} + 6$	$L = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 6$
$L = 2 \sqrt{18} + 6$	$L = 6 \sqrt{2} + 6$
$L \approx 2 \cdot 4, 24 + 6$	$L \approx 6 \cdot 1, 41 + 6$
$L \approx 14, 48$	$L \approx 14, 46$

Obwód prostokąta jest równy w przybliżeniu $14, 5$ .

Przykład 2

Obliczymy promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym $A B C$ , którego pole jest równe $4, 5 {cm}^{2}$ .

R1eDkaWdnuE131

Rysunek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym A B C gdzie AB i BC to przyprostokątne. Przeciwprostokątna AC jest średnicą tego okręgu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy długość przyprostokątnej, korzystając ze wzoru na pole trójkąta.
$P = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |B C|$ , gdzie $|A B| = |B C|$

\frac{1}{2} {|A B|}^{2} = 4, 5

{|A B|}^{2} = 9

|A B| = 3

|A B| > 0

Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.

r = \frac{|A C|}{2}

|A C| = \sqrt{{|A B|}^{2} + {|B C|}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2}

r = \frac{3}{2} \sqrt{2}

r = 1, 5 \sqrt{2} cm

Promień okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ jest równy $1, 5 \sqrt{2} cm$ .

Przykład 3

Sześciokąt $A B C D E F$ zbudowany jest z dwóch przystających równoramiennych trójkątów prostokątnych. Przeciwprostokątna w każdym z tych trójkątów ma długość $12$ . Stosunek długości odcinków $E B$ do $F E$ jest równy $2 : 1$ . Obliczymy obwód wielokąta $A B C D E F$ .

Stosunek długości odcinków $E B$ do $F E$ jest równy $2 : 1$ , zatem

długość odcinka $E B$ stanowi $\frac{2}{3}$ długości odcinka $F B$ ,
długość odcinka $F E$ stanowi $\frac{1}{3}$ długości odcinka $F B$ .

|E B| = \frac{2}{3} \cdot |F B|

|E B| = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8

|E F| = \frac{1}{3} \cdot |F B|

|E F| = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4

R1cMoSMIKy6GD1

Rysunek sześciokąta A B C D E F zbudowanego z dwóch przystających trójkątów prostokątnych A B F i E C D. W trójkącie A B F boki AB i AF to przyprostokątne, BF przeciwprostokątna. W trójkącie E C D boki ED i CD to przyprostokątne, EC przeciwprostokątna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez $a$ długość przyprostokątnej trójkąta $A B F$ . Obliczamy $a$ , korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

a^{2} + a^{2} = 1 2^{2}

2 a^{2} = 144

a^{2} = 72

a = \sqrt{72}

a = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}

Obliczamy obwód sześciokąta $A B C D E F$ .

L = |A F| + |F E| + |E D| + |D C| + |B C| + |B A|

L = a + |E F| + a + a + (|E C| - |E B|) + a

L = 4 a + 4 + (12 - 8)

L = 4 \cdot 6 \sqrt{2} + 4 + 4

L = 4 (6 \sqrt{2} + 2)

Obwód sześciokąta jest równy $4 (6 \sqrt{2} + 2)$ .

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

Przykład 4

Bok trójkąta równobocznego $A B C$ ma długość $2 a$ . Obliczmy miary kątów i długości boków trójkąta $C D B$ , gdzie punkt $D$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ .

R19UjYifi7kwP1

Rysunek trójkąta równobocznego A B C o boku długości 2a i wysokości CD = h. Wysokość podzieliła bok AB trójkąta na dwa równe odcinki AD = DB = a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę równą $60 °$ . Kąt $A B C$ jest kątem w trójkącie równobocznym, zatem jego miara jest równa $60 °$

|∡ D B C| = 60 °

Wysokość $C D$ jest prostopadła do podstawy $A B$ , zatem kąt $C D B$ jest kątem prostym

|∡ C D B| = 90 °

Wysokość w trójkącie równobocznym jest zarazem dwusieczną kąta, zatem kąt $D C B$ ma miarę $60 ° : 2 = 30 °$

|∡ D C B| = 30 °

Miary kątów w trójkącie $C D B$ są równe $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Trójkąt $D B C$ jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna ma długość $2 a$ .

Wysokość $C D$ dzieli podstawę $A B$ na dwa przystające odcinki

x = |D B| = \frac{1}{2} |A B| = \frac{1}{2} \cdot 2 a = a

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku $C D$ , czyli wysokość $h$ trójkąta $C D B$

h^{2} + a^{2} = {(2 a)}^{2}

h^{2} = 4 a^{2} - a^{2}

h^{2} = 3 a^{2}

h = a \sqrt{3}

bo $a > 0$ i $h > 0$ .

Boki trójkąta $C D B$ mają długości: $2 a$ , $a$ , $a \sqrt{3}$ .

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Miary kątów w każdym z tych trójkątów są równe: $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Jeśli oznaczymy przez $2 a$ długość przeciwprostokątnej w tak otrzymanym trójkącie prostokątnym, to długości pozostałych boków są równe $a$ i $a \sqrt{3}$ . Przy czym naprzeciw kąta o mierze $30 °$ leży przyprostokątna, której długość jest dwukrotnie mniejsza od długości przeciwprostokątnej.

Ważne!

Trójkąt prostokątny o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

RbgyWVMQyISS21

Rysunek trójkąta prostokątnego o miarach kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Długość przeciwprostokątnej - 2a. Długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta 30 stopni - a. Długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 30 stopni- a pierwiastek z trzech. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 a$ – długość przeciwprostokątnej,
$a$ – długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30 °$ ,
$a \sqrt{3}$ - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie $30 °$ .

Przykład 5

Torba wykonana jest z dwóch jednakowych kawałków skóry. Każdy z nich ma kształt trapezu równoramiennego, w którym ramię i krótsza podstawa mają długość $30 cm$ , a kąt rozwarty ma miarę $120 °$ .

Ile ${cm}^{2}$ skóry zużyto na wykonanie tej torebki?

Obliczymy pole powierzchni jednego z kawałków skóry, z którego wykonana jest torebka, czyli pole odpowiedniego trapezu.

R1SP1N9OQ6Lsq1

Rysunek trapezu równoramiennego o wysokości h, podstawie dolnej 30 cm i ramieniu równym 30 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołków dolnej podstawy dzieli górną podstawę na trzy odcinki długości: x, 30 cm, x. Powstał trójkąt o kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. Kąt 60 stopni leży naprzeciwko wysokości h trapezu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy podzieliła trapez na czworokąt i trójkąt prostokątny o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $30 cm$ , zatem $x = 15 cm$ (przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta o mierze $30 °$ ) i $h = 15 \sqrt{3} cm$ (przyprostokątna leżąca przy kącie o mierze
$30 °$ ).

Zatem wysokość trapezu jest równa $15 \sqrt{3} cm$ , a dłuższa podstawa ma długość

15 cm + 30 cm + 15 cm = 60 cm

Obliczamy pole trapezu.

P = \frac{60 + 30}{2} \cdot 15 \sqrt{3}

P = 675 \sqrt{3}

P \approx 1170 {cm}^{2}

Obliczamy, ile ${cm}^{2}$ skóry zużyto, aby wykonać torebkę.

2 \cdot 1170 = 2340

Na wykonanie torebki zużyto około $2340 {cm}^{2}$ skóry.

Ćwiczenie 1

Trójkąty na rysunkach są prostokątne i równoramienne. Wyznacz $x$ na każdym z poniższych rysunków.

RFf5WLf5BMtW4

Trójkąt o podstawie długości 52 i bokach długości x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1O4QZmomSqhx

Trójkąt o podstawie długości x i ramionach długości 11. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKEVTKWJOfMLq

Trójkąt o podstawie długości 2 i wysokości opuszczonej na tą podstawę długości x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc7hj9dHVIRTs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RseMPrPBtG9Hx1

Ćwiczenie 2

długość przynajmniej jednego z boków jest wyrażona liczbą niewymierną
przeciwprostokątna jest dwukrotnie dłuższa od przyprostokątnej
stosunek obwodu do długości przeciwprostokątnej jest równy $\sqrt{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R2tps7RQxyb6G

Kąty trójkąta są równe

45 °

45 °

90 °

. Najdłuższy bok ma długość

m

. Oblicz sumę długości krótszych boków. Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie liczby w odpowiedniej kolejności.

\frac{m}{\sqrt{2}} +

\frac{m \sqrt{2}}{2}

, 2.

\frac{m}{\sqrt{2}}

, 3.

\frac{2m}{\sqrt{2}}

, 4.

\frac{3 m \sqrt{2}}{2}

, 5.

\frac{2 m \sqrt{2}}{2}

, 6.

\frac{m \sqrt{2}}{m}

, 7.

m \sqrt{2}

=

\frac{m \sqrt{2}}{2}

, 2.

\frac{m}{\sqrt{2}}

, 3.

\frac{2m}{\sqrt{2}}

, 4.

\frac{3 m \sqrt{2}}{2}

, 5.

\frac{2 m \sqrt{2}}{2}

, 6.

\frac{m \sqrt{2}}{m}

, 7.

m \sqrt{2}

=

\frac{m \sqrt{2}}{2}

, 2.

\frac{m}{\sqrt{2}}

, 3.

\frac{2m}{\sqrt{2}}

, 4.

\frac{3 m \sqrt{2}}{2}

, 5.

\frac{2 m \sqrt{2}}{2}

, 6.

\frac{m \sqrt{2}}{m}

, 7.

m \sqrt{2}

=

\frac{m \sqrt{2}}{2}

, 2.

\frac{m}{\sqrt{2}}

, 3.

\frac{2m}{\sqrt{2}}

, 4.

\frac{3 m \sqrt{2}}{2}

, 5.

\frac{2 m \sqrt{2}}{2}

, 6.

\frac{m \sqrt{2}}{m}

, 7.

m \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RnxImFeaKGWqK

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny. Oblicz obwód

L

tego trójkąta w podanych przypadkach. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby. Kiedy przyprostokątna tego trójkąta ma długość

2

, wtedy obwód tego trójkąta wynosi

4

+

4 \sqrt{2}

, 2.

12

, 3.

3 \sqrt{2}

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

2

, 6.

6

, 7.

2 \sqrt{2}

, 8.

5 \sqrt{2}

. Kiedy przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość

\sqrt{72}

, wtedy obwód tego trójkąta wynosi

4

+

4 \sqrt{2}

, 2.

12

, 3.

3 \sqrt{2}

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

2

, 6.

6

, 7.

2 \sqrt{2}

, 8.

5 \sqrt{2}

. Kiedy pole tego trójkąta jest równe

8

, wtedy obwód tego trójkąta wynosi

8

+

4 \sqrt{2}

, 2.

12

, 3.

3 \sqrt{2}

, 4.

2 \sqrt{2}

, 5.

2

, 6.

6

, 7.

2 \sqrt{2}

, 8.

5 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RLFAaHCaZzqnk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Czy w poniższym trójkącie $A B C$ bok $B C$ jest najdłuższy?

R1JVheq5mm0iI1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, w którym kąt prosty znajduje się przy wierzchołku A. Boki A B i A C są przyprostokątnymi, a bok B C jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Kąt A B C ma miarę 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1S7nAylonm5F

Tak, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Nie, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.
Nie, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Tak, trójkąt jest prostokątny i $BC$ jest jego przeciwprostokątną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się trzy trapezy.

RwQGti9IzAuUS1

Rysunki trzech trapezów. Trapez A o podstawie górnej 40 cm i podstawie dolnej 20 cm. Kąty przy podstawie górnej mają miarę 45 stopni. Trapez B o górnej podstawie 8 cm i wysokości 10 cm. Kąty przy dolnej podstawie mają miarę 45 stopni. Trapez C prostokątny o dolnej podstawie cztery pierwiastki z dwóch. Kąt przy dolnej podstawie o mierze 45 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JgmsdYGlO9W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RXbO3CvilMN8e

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że kąt ostry w tym równoległoboku ma miarę $45 °$ , więc wysokość opuszczona na dłuższy bok tworzy trójkąt, którego kąty mają miary $90 °$ , $45 °$ i $45 °$ .

Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym znajdują się trzy trójkąty.

R1Xa1S2LN1eyN

Trójkąt prostokątny z kątem o mierze 30°, na przeciw którego znajduje się przyprostokątna o długości 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12S05xqFapif

Trójkąt prostokątny z kątem o mierze 60°, na przeciw którego znajduje się przyprostokątna o długości 3,53. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Tlk6pdlhCb5

Trójkąt prostokątny z kątem o mierze 30° oraz z przeciwprostokątną długości 10. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzB1oK4SGycjG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem trójkąta.

RVYDxGMe1D3QR1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 9 i k oraz przeciwprostokątnej a. Bok k leży naprzeciw kąta 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FsoTN2lMPLk

$k = 3 \sqrt{3}$
$a = 18$
$a - k = \sqrt{2}$
$k = 3 \sqrt{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

RhxOVJiiplB9h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że kąty ostre w tym trójkącie mają miary $30 °$ i $60 °$ .

Ćwiczenie 12

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem trójkąta.

R1Fhn6ayqXxmI1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych y oraz dwa pierwiastki z trzech. Wysokość x opuszczona na przeciwprostokątną trójkąta. Kąt zewnętrzny przy przeciwprostokątnej równy 120 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17kI4VXkSk4l

$x + y = 2 \sqrt{3}$
$x + y = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + y = 4 \sqrt{3}$
$x + y = 2 + \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Metalowy element ozdobny ma kształt trapezu przedstawionego na rysunku. Ile $m^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie?

R1D4se1nZsUJn1

Rysunek trapezu o górnej podstawie równej 8 m i wysokości 5 m. Kąt między lewym ramieniem a dolną podstawą ma miarę 45 stopni. Kąt między wysokością (poprowadzoną z prawego wierzchołka górnej podstawy) a prawym ramieniem trapezu ma miarę 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RT3DATBxMhtwt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P = \frac{8 + 5 + 8 + 5 \sqrt{3}}{2} \cdot 5$

$P = 52,5 + 12,5 \sqrt{3} (m^{2})$

Ćwiczenie 14

Punkty: $E$ , $F$ , $G$ są środkami boków trójkąta równobocznego $A B C$ . Punkt $D$ jest punktem przecięcia środkowych boków tego trójkąta i $|D E| = 2$ .

R1cWUK76EK2N11

Rysunek przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Zaznaczono punkty E, F i G, które są środkami boków trójkąta. Odcinki A E, B F i C G są jednocześnie wysokościami trójkąta, środkowymi boków oraz dwusiecznymi kątów tego trójkąta. Punktem D oznaczono przecięcie boków A E, B F i C G tego trójkąta. Długość odcinka DE =2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWiGXcGOljt20

Połącz w pary wielokąty z odpowiadającymi im obwodami. trójkąt

E D B

Możliwe odpowiedzi: 1.

L = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}

, 2.

L = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 6 + 6 \sqrt{3}

, 3.

L = 2 + 4 + 2 \sqrt{3} = 6 + 2 \sqrt{3}

, 4.

L = 2 + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}

trójkąt

E A B

Możliwe odpowiedzi: 1.

L = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}

, 2.

L = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 6 + 6 \sqrt{3}

, 3.

L = 2 + 4 + 2 \sqrt{3} = 6 + 2 \sqrt{3}

, 4.

L = 2 + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}

trójkąt

A B C

Możliwe odpowiedzi: 1.

L = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}

, 2.

L = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 6 + 6 \sqrt{3}

, 3.

L = 2 + 4 + 2 \sqrt{3} = 6 + 2 \sqrt{3}

, 4.

L = 2 + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}

czworokąt

F D E C

Możliwe odpowiedzi: 1.

L = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}

, 2.

L = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 6 + 6 \sqrt{3}

, 3.

L = 2 + 4 + 2 \sqrt{3} = 6 + 2 \sqrt{3}

, 4.

L = 2 + 2 + 2 \sqrt[]{3} + 2 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Rs2ygpC9jqCKU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $3 m$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną dodatnią. Z punktu $P$ leżącego poza okręgiem poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się pod kątem $120 °$ . Ile wynosi długość odcinka $S P$ ? Rozważ dwa przypadki.

R18MbvpV5OlYM

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zastanów się jak mogą leżeć kąty przecięcia stycznych w stosunku do okręgu. Znajdź szczególne trójkąty prostokątne aby znaleźć długość odcinka $S P$ .

Długość odcinka $S P$ wynosi $2 \sqrt{3} m$ albo $6 m$ .

Ćwiczenie 17

RnaasMGOBCb1t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RIkHUstYxNbKY

Na trójkącie opisano okrąg o promieniu

7 dm

. Oblicz trzy wysokości trójkąta, wiedząc, że miary kątów tego trójkąta są w stosunku

3 : 2 : 1

. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby.

h_{1} =

3, 5 \sqrt{3}

, 2.

2, 5 \sqrt{3}

, 3.

8 \sqrt{3}

, 4.

6 \sqrt{3}

, 5.

6

, 6.

7 \sqrt{3}

, 7.

4, 5 \sqrt{3}

, 8.

8

, 9.

7

dm

h_{2} =

3, 5 \sqrt{3}

, 2.

2, 5 \sqrt{3}

, 3.

8 \sqrt{3}

, 4.

6 \sqrt{3}

, 5.

6

, 6.

7 \sqrt{3}

, 7.

4, 5 \sqrt{3}

, 8.

8

, 9.

7

dm

h_{3} =

3, 5 \sqrt{3}

, 2.

2, 5 \sqrt{3}

, 3.

8 \sqrt{3}

, 4.

6 \sqrt{3}

, 5.

6

, 6.

7 \sqrt{3}

, 7.

4, 5 \sqrt{3}

, 8.

8

, 9.

7

dm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że trójkąt, na którym opisano okrąg jest trójkątem prostokątnym, w którym kąty ostre mają miary $60 °$ i $30 °$ .

Ćwiczenie 19

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i oblicz długość $x$ w każdym rombie. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednią liczbę.

R4fPjPZKmOlUl1

Rysunki trzech rombów. Romb A ma przekątne długości 20 i x oraz kąt rozwarty równy 120 stopni. Romb B ma bok długości 5 i wysokość x oraz kąt ostry równy 30 stopni. Romb C ma boki długości 4 i x oraz kąt pomiędzy przekątną a bokiem rombu równy 60 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Qbt8zwserNZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.