Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Wielokąty foremne mają wiele ciekawych zastosowań w architekturze i sztuce. Na przestrzeni lat architekci różnych kultur tworzyli budowle, wykorzystujące wielokąty foremne jako podstawę do budowy ich konstrukcji.

Z tego materiału dowiesz się:

  • czym jest wielokąt foremny,

  • jakie figury są wielokątami foremnymi,

  • jak rozpoznać wielokąt foremny.

Zapoznaj się z poniższą animacją, aby poznać najczęściej spotykane wielokąty foremne.

R1bRDSumWAYrF1
Animacja przedstawia przykłady wielokątów foremnych: sześciokąt foremny, kwadrat oraz trójkąt równoboczny.
Wielokąt foremny
Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

RLLoAwlkaOsKI1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt foremny

Ważne!

Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Jest on przykładem wielokąta foremnego.

Zapamiętaj!

Zauważmy, że środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym pokrywają się. Środek okręgu wpisanego (opisanego) leży w punkcie przecięcia wysokości trójkąta.

Tylko w trójkącie równobocznym punkt przecięcia się symetralnych oraz dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości.

Punkt przecięcia dzieli taki odcinek w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka trójkąta.

Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w  ten trójkąt.

R71BMUFI1n2Ws1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworokąt foremny

Zapamiętaj!
  • Czworokąt, który jest wielokątem foremnym, to kwadrat.

  • Na kwadracie można opisać okrąg i w kwadrat można wpisać okrąg.

RVEW26rprTvEs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu.

  • Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości jego przekątnej.

Polecenie 1

Narysuj na kartce kwadrat i:

  • zaznacz jego przekątne,

  • wytnij ten kwadrat,

  • odrysuj go na kartce,

  • połóż wycięty kwadrat tak, aby pokrywał rysunek,

  • obróć wycięty kwadrat o 45° wokół punktu przecięcia przekątnych,

  • obrysuj figurę, która powstała z kwadratu narysowanego i  wyciętego.

Jak myślisz, czy powstały wielokąt jest wielokątem foremnym?

Pięciokąt foremny

Kolejnym wielokątem foremnym jest pięciokąt foremny.

R14Fvbpb9w6w11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielu wybitnych matematyków poszukiwało najprostszych sposobów konstrukcji tego wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki. Poniżej przedstawiona jest jedna z  najbardziej znanych konstrukcji. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

R207XCDAr0LtC
Animacja przedstawia kolejne etapy konstrukcji pięciokąta foremnego.
Przykład 1

Obliczymy miary kątów pięciokąta.

W tym celu dzielimy go na trójkąty równoramienne.

RsgM25JJd6MwB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt miedzy równymi ramionami każdego z tych trójkątów to piąta część kąta 360°.

α=15·360°=72°.

Zatem kąt przy podstawie trójkąta:

β=180°-72°2=54°.

Kąt pięciokąta jest dwukrotnie większy od kąta β

γ=2·54°=108°.

Każdy kąt pięciokąta foremnego ma więc miarę 108°.

Sześciokąt foremny

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym każdy z kątów ma miarę 60°. Możemy więc takie trójkąty ułożyć w ten sposób, aby miały jeden punkt wspólny tak, jak na rysunku.

RtXaIF1H1l61H1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstanie wtedy sześciokąt o równych bokach. Każdy kąt tego wielokąta ma miarę:

2·60°=120°.

Jest to więc wielokąt foremny. Nazywamy go sześciokątem foremnym.

Zauważmy, że długość boku sześciokąta jest równa połowie dłuższej przekątnej.

Poniżej przedstawiona jest konstrukcja sześciokąta. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

RqUVjbeHQkHko1
Animacja przedstawia konstrukcję sześciokąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki.

Siedmiokąt foremny

Ciekawostka

Siedmiokąt można narysować, wykorzystując konstrukcję neusis [njusis], co oznacza po grecku „dopasowanie”. Jest to konstrukcja geometryczna, w której, w odróżnieniu od konstrukcji klasycznej, oprócz cyrkla używa się linijki z podziałką (z dwoma zaznaczonymi punktami).

RthIfkxMhr0rU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Siedmiokąt foremny jest przykładem wielokąta foremnego, którego nie można skonstruować jedynie za pomocą linijki i cyrkla. Udowodnił to wybitny niemiecki matematyk Karol Gauss [Karol Gaus] (17771855), który tym samym położył kres wielowiekowym wysiłkom matematyków próbujących znaleźć taką konstrukcję.

1
Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R19wskq0JgPMU1
Aplet opisuje przybliżoną konstrukcję siedmiokąta foremnego wpisanego w koło o środku S. Na początku wybieramy punkt A na okręgu i tworzymy jego obraz B w symetrii względem środka S okręgu. Następnie kreślimy średnicę AB koła o środku S. Na odcinku SB wybieramy taki punkt C1, aby SB=3·SC1, następnie wykreślamy półokrąg o środku S i promieniu SC1. Na drugim końcu wykreślonego łuku zaznaczamy punkt C2. W następnym kroku kreślimy łuk o środku B i promieniu BS, miejsce przecięcia tego łuku z okręgiem o środku S i promieniu SC1 oznaczamy jako punkt D. Kreślimy półprostą C2D. Następnie z punktu B kreślimy prostopadłą do półprostej C2D i punkt przecięcia tej prostej z półprostą C2D oznaczamy jako punkt E. W kolejnym kroku w punkcie C1 wystawiamy prostopadłą do średnicy AB i punkt przecięcia tej prostopadłej z prostą BE oznaczamy jako punkt F. Następnie wykreślamy łuk o środku A i promieniu AS. Punkt przecięcia tego łuku z okręgiem bazowym oznaczamy jako punkt H, a punktem H' oznaczamy rzut prostokątny punktu H na średnicę okręgu bazowego. Na tym etapie prosta BE przecina okrąg bazowy, ten punkt przecięcia oznaczamy jako punkt G i tworzymy odcinek FG. W kolejnym kroku kreślimy okrąg o środku H i promieniu FG oraz okrąg o środku H' i promieniu AS i oznaczamy punkt przecięcia obu tych okręgów punktem K. (uwaga: punkt K nie leży na okręgu bazowym, choć jest blisko niego) Następnie kreślimy półprostą KF i oznaczamy punkt przecięcia tej półprostej z półprostą C2D jako punkt L. Z punktu B kreślimy łuk o promieniu BL i oznaczamy punkt przecięcia tego łuku z okręgiem bazowym jako punkt B1. Odcinek BB1 jest przybliżonym bokiem szukanego siedmiokąta foremnego. Kreślimy łuki o długości BB1 w celu wyznaczenia wierzchołków siedmiokąta. W ostanim kroku kreślimy siedmiokąt foremny (z bardzo dobrym przybliżeniem) na podstawie wyznaczonych wierzchołków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Własności wielokąta foremnego:

  • wszystkie boki równe,

  • wszystkie kąty równe,

  • można na nim opisać okrąg,

  • można weń wpisać okrąg,

  • środki okręgu wpisanego i opisanego pokrywają się,

  • przekątne nie muszą być równe.

Wielokąty gwiaździste

Wykorzystując niektóre wielokąty foremne, można budować wielokąty, zwane gwiaździstymi.

Najpopularniejszym z nich jest pięciokąt gwiaździsty znany od czasów starożytnych pod nazwą pentagramu. Rysunek pentagramu był znakiem rozpoznawczym uczniów Pitagorasa.

RGRG1cQ3QFpJ6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 2

Na bazie siedmiokąta można wykreślić siedmiokąt gwiaździsty zwany z greckiego heptagramem.

RCBoVttDUYgzk
Animacja ilustruje dwa różne siedmiokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc wszystkie możliwe przekątne siedmiokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden lub dwa wierzchołki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 3

Tworząc formy gwiaździste, kreślimy przekątne wielokąta, omijając za każdym razem tę samą liczbę wierzchołków. Inną gwiazdę otrzymamy, gdy będziemy omijać dwa wierzchołki, inną, gdy trzy.

R154fY4DFeieo1
Aplet ilustruje trzy różne dziewięciokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc przekątne dziewięciokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden, dwa lub trzy wierzchołki. Dziewięciokąt gwiaździsty, który powstał przez kreślenie przekątnych omijając dwa wierzchołki składa się z trzech trójkątów, więc takiej figury nie można narysować bez odrywania ołówka od papieru. O takiej figurze mówimy, że nie jest unikursalna. Próbując ominąć cztery wierzchołki otrzymamy gwiazdę dziewięcioramienną taką samą, jak w przypadku, gdy omijaliśmy trzy wierzchołki. Podane są również następujące informacje: na bazie pięciokąta foremnego można skonstruować jedną gwiazdę pięciokątną, na bazie siedmiokąta foremnego można skonstruować dwie gwiazdy siedmiokątne, na bazie dziewięciokąta foremnego można skonstruować trzy gwiazdy dziewięciokątne, a  na bazie jedenastokąta foremnego można skonstruować cztery gwiazdę jedenastokątne. Zadane jest pytanie: Ile jest wielokątów gwiaździstych dla k‑kąta foremnego?
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 4

Zastanówmy się, czy wielokąty foremne są figurami środkowosymetrycznymi. Sprawdzimy to, wykorzystując poniższy aplet.

Przesuwając punkty odpowiednio P1, P2, po bokach wielokątów, obserwujemy zmianę położenia punktów P1, P2, . Punkty P1, P2, są obrazami punktów P1, P2, w symetrii środkowej o środkach w punktach S1, S2, odpowiednio.

ReKYfHj8Ck2VW1
Aplet pokazuje, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków. Pokazano na przykładzie: trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego i sześciokąta foremnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków.

1
Ćwiczenie 1
Rkh194mooJxH5
Znajdź miary kątów siedmiokąta foremnego i oblicz sumę miar tych kątów. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Suma miar tych kątów wynosi 900°., 2. Suma miar tych kątów wynosi 800°., 3. Suma miar tych kątów wynosi 950°., 4. Suma miar tych kątów wynosi 850°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Większość ciał stałych ma budowę krystaliczną. Charakteryzuje się ona regularnym ułożeniem atomów, które tworzą tzw. siatkę krystaliczną. Bardzo często atomy w krysztale ułożone są w wierzchołkach wielokątów foremnych, a te z kolei tworzą struktury mające kształt brył nazywanych wielościanami foremnymi.

1
Ćwiczenie 2
R11kBKS2WdsrI1
Które spośród wielokątów na rysunku to wielokąty foremne? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DoT2XjkdjcK
Które spośród wielokątów to wielokąty foremne? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Kwadrat obrócony o 90°., 2. Trójkąt o wszystkich bokach takiej samej długości odwrócony do góry nogami., 3. Figura w kształcie gwiazdy pięcioramiennej., 4. Pięciokąt o wszystkich bokach takiej samej długości, wszystkich kątach o tej samej mierze i obrócony lekko w prawo., 5. Figura w kształcie strzałki skierowanej w prawą stronę, 6. Prostokąt o jednej parze boków dłuższych, niż druga para boków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Skonstruuj kwadrat

  1. o boku długości 4 cm,

  2. którego obwód jest równy 20 cm,

  3. którego przekątna ma długość 4 cm.

R1LNBLUBJZiSt
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RACE7qAGAWRmR1
Ćwiczenie 3
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kwadrat jest wielokątem foremnym., 2. Kwadrat jest figurą środkowosymetryczną., 3. W kwadracie możemy zbudować wielokąt gwiaździsty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

  1. Czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne?

  2. Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?

  3. Ile osi symetrii ma kwadrat? A ile pięciokąt foremny?

  4. Ile osi symetrii ma n – kąt foremny?

2
Ćwiczenie 5

Skonstruuj sześciokąt foremny.
Wykorzystując konstrukcję sześciokąta foremnego, skonstruuj dwunastokąt foremny.

R1bXJtHM4ijQf
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyjaśnij czy na podstawie sześciokąta foremnego można skonstruować dwunastokąt foremny?

R1dR8RNAmGq91
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RM9r2P2i8AkWL2
Ćwiczenie 6
Połącz w pary figury z ilością ich przekątnych. kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. 9, 2. nn-32, 3. 5, 4. 2 pięciokąt foremny Możliwe odpowiedzi: 1. 9, 2. nn-32, 3. 5, 4. 2 sześciokąt foremny Możliwe odpowiedzi: 1. 9, 2. nn-32, 3. 5, 4. 2 n-kąt foremny Możliwe odpowiedzi: 1. 9, 2. nn-32, 3. 5, 4. 2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8tRoy8WNcQSf2
Ćwiczenie 7
Bok pewnego sześciokąta foremnego ma długość 6 cm. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Obwód tego sześciokąta wynosi 1. 42, 2. najkrótszych, 3. 360, 4. 36, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7. 720, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków cm.Każda z przekątnych tego sześciokąta ma długość nie większą od 12 cm, ponieważ najdłuższa przekątna jest równa 1. 42, 2. najkrótszych, 3. 360, 4. 36, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7. 720, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków.Suma miar kątów tego sześciokąta wynosi 1. 42, 2. najkrótszych, 3. 360, 4. 36, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7. 720, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków°.Środek okręgu wpisanego w ten sześciokąt znajduje się w punkcie przecięcia 1. 42, 2. najkrótszych, 3. 360, 4. 36, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7. 720, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków przekątnych.Wielokąt gwiaździsty 1. 42, 2. najkrótszych, 3. 360, 4. 36, 5. sumie długości trzech boków, 6. może, 7. 720, 8. nie może, 9. najdłuższych, 10. sumie długości dwóch boków być wyznaczony przy użyciu tego sześciokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8
Rn2olPBoggexb2
Określ ile boków mają wielokąty foremne, o podanych miarach kątów wewnętrznych. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 60° ma Tu uzupełnij boki.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 90° ma Tu uzupełnij boki.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 120° ma Tu uzupełnij boków.Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 150° ma Tu uzupełnij boków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9

Na kwadracie można opisać okrąg. Wyjaśnij, czy to jedyny czworokąt, na którym można opisać okrąg? Jeżeli nie, narysuj inne czworokąty, na których można opisać okrąg.

RZQWQUBTrUr8n
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na kwadracie można opisać okrąg. Wyjaśnij, czy to jedyny czworokąt, na którym można opisać okrąg? Jeżeli nie, podaj inne czworokąty, na których można opisać okrąg.

R19k3yjECTCot
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10

Narysuj sześciokąt foremny o boku 3 cm i opisz na nim okrąg.

RFTq2tKw2TOas
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest sześciokąt foremny o boku 3 cm. Odpowiedz na pytanie, jaką średnicę będzie miał opisany na nim okrąg?

RFM8E68SISbPC
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RBZXBFWV9cxB62
Ćwiczenie 11
Ile form gwiaździstych ma jedenastokąt i trzynastokąt foremny? Które z tych form można wykreślić jednym pociągnięciem ołówka? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi Możliwe odpowiedzi: 1. Jedenastokąt ma 4 formy gwiaździste foremne., 2. Trzynastokąt ma 5 form gwiaździstych foremnych., 3. Trzynastokąt ma 7 form gwiaździstych foremnych., 4. Jedenastokąt ma 5 form gwiaździstych foremnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RaBlEuVM8cyMP2
Ćwiczenie 12
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Wielokąt, który ma wszystkie boki równe jest wielokątem foremnym., 2. Wielokąt, który ma wszystkie kąty równe jest wielokątem foremnym., 3. Czworokąt foremny ma środek symetrii., 4. Sześciokąt foremny ma środek symetrii.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmwvJIua3cDAZ2
Ćwiczenie 13
Suma kątów wielokąta foremnego jest równa 720°, a jego obwód 24 cm. Oblicz długość jego boku. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 4 cm, 2. 8 cm, 3. 2 cm, 4. 7 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 14

Narysuj kwadrat. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać czworokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1HLKvC33m0av
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym kwadracie zaznaczono środki jego boków i połączono zaznaczone punkty tak, że otrzymano czworokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1EOnsVtjzdDD
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15

Narysuj kwadrat. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać ośmiokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1Whnq8wMSOsQ
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym kwadracie podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano ośmiokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1aXaqS4s3zY0
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16

Narysuj trójkąt równoboczny. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać trójkąt. Wyjaśnij, czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1WpDCt0wnQiX
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym trójkącie równobocznym  zaznaczono środki jego boków i połączono je tak, że otrzymano trójkąt. Wyjaśnij, czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RT3oVeWwoe4ms
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 17

Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać sześciokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

R1ZgW5Ozxy1Yn
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W narysowanym trójkącie równobocznym podzielono każdy z jego boków na trzy równe części i połączono punkty podziału tak, że otrzymano sześciokąt. Wyjaśnij, czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

RA3lnI583bOzb
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RDa2nQ3oYIJLC3
Ćwiczenie 18
Wysokość w trójkącie równobocznym ma długość 6 cm. Jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten trójkąt? A opisanego na tym trójkącie? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość 2 cm., 2. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość 4 cm., 3. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość 4 cm., 4. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość 6 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 19
RnRPPCcKVEmb23
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 5 dm. Jaką długość ma promień okręgu opisanego na tym trójkącie? Jaką długość ma wysokość tego trójkąta?
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 20
R17qwZWhlbL033
Promień okręgu wpisanego w kwadrat ma długość 10 mm. Oblicz pole i obwód kwadratu. Pole kwadratu wynosi 400 mm2, obwód - 80 mm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R17Fxv5KsAIXq3
Ćwiczenie 21
Promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość 8 mm. Oblicz pole kwadratu. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 128 mm2, 2. 124 mm2, 3. 122 mm2, 4. 130 mm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.