Przed egzaminem - kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Reguła mnożenia

Twierdzenie: Reguła mnożenia

Niech wynik pewnego doświadczenia zależy od kolejno podejmowanych decyzji. Jeśli przy podejmowaniu pierwszej decyzji mamy do wyboru $m_{1}$ możliwości, przy podejmowaniu drugiej mamy $m_{2}$ możliwości itd., a przy podejmowaniu ostatniej decyzji mamy $m_{k}$ możliwości, to liczba różnych wyników, które możemy otrzymać, jest równa:

m_{1} \cdot m_{2} \cdot . . . \cdot m_{k}

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Definicja: Prawdopodobieństwo zdarzenia

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwem zdarzenia losowego nazywamy iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu, przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

R58M3FfESStoQ

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RO9YlNnDFObzH

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RPr1Vl1Jezrna

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 4

RcdedEi4HhhC5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1JxOZhQk3PcT

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RcQp4Uc0iHvCM

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R7CcGKxZQ1i3n

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1GBOsmEVnpVd

Ćwiczenie 8

Łączenie par. Na stole leży tarcza w kształcie koła, ze wskazówką umocowaną na środku. Średnice tego koła dzielą tarczę na 8 równych części. Pięć z tych części pomalowanych jest na czerwono, dwie na złoto i jedna na niebiesko. Marek zakręcił wskazówką. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Prawdopodobieństwo tego, że obracająca się wskazówka zatrzyma się na niebieskim polu jest większe, niż prawdopodobieństwo tego, ze zatrzyma się na polu złotym.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Najbardziej prawdopodobne jest, że wskazówka zatrzyma się na czerwonym polu.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Prawdopodobieństwo tego, że wskazówka zatrzyma się ma złotym polu jest o

\frac{1}{8}

większe nić, że zatrzyma się na niebieskim polu.. Możliwe odpowiedzi: P, F. Prawdopodobieństwo tego, że obracająca się wskazówka zatrzyma się na czerwonym polu jest równa prawdopodobieństwu, że wskazówka zatrzyma się na złotym polu.. Możliwe odpowiedzi: P, F

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RXtm9r3S6ZcAY

Ćwiczenie 9

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RUFQyMNbzGGiv

Ćwiczenie 10

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RaZCYTQ1YEnto

Ćwiczenie 11

W torebce znajdują się cukierki czekoladowe i malinowe. Cukierków czekoladowych jest

3

razy więcej niż malinowych. Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie ułamki dziesiętne. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z torebki cukierka czekoladowego jest równe 1. 0,4, 2. 0,6, 3. 0,75.
Jeśli do torebki dosypiemy jeszcze tyle cukierków malinowych, ile jest ich teraz, to prawdopodobieństwo wyciągnięcia z torebki cukierka czekoladowego będzie równe 1. 0,4, 2. 0,6, 3. 0,75, a cukierka malinowego będzie równe 1. 0,4, 2. 0,6, 3. 0,75.

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1Z2Y1OBH2CFP

Ćwiczenie 12

Z talii liczącej

52

karty losujemy jedną kartę. Połącz w pary zdanie i prawdopodobieństwo zajścia tego zdarzenia. Wyslosowanie karty koloru pik. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{13}

, 2.

\frac{1}{52}

, 3.

\frac{2}{13}

, 4.

\frac{13}{52}

Wylosowanie damy. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{13}

, 2.

\frac{1}{52}

, 3.

\frac{2}{13}

, 4.

\frac{13}{52}

Wylosowanie damy lub króla. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{13}

, 2.

\frac{1}{52}

, 3.

\frac{2}{13}

, 4.

\frac{13}{52}

Wylosowanie damy koloru pik. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{13}

, 2.

\frac{1}{52}

, 3.

\frac{2}{13}

, 4.

\frac{13}{52}

Ćwiczenie 13

W szufladzie leżą białe i czarne apaszki. W sumie jest $20$ apaszek. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z szuflady apaszki białej jest równe $\frac{3}{5}$ . Oblicz, ile apaszek czarnych znajduje się w szufladzie.

Rf3vHEgpOJIgI

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeżeli prawdopodobieństwo wyciągnięcia z szuflady apaszki białej jest równe $\frac{3}{5}$ , to prawdopodobieństwo wyciągnięcia apaszki czarnej wynosi $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ .

Oznaczmy przez $x$ liczbę apaszek czarnych.

Ponieważ prawdopodobieństwo wyciągnięcia z szuflady apaszki białej jest równe $\frac{3}{5}$ , zatem prawdopodobieństwo wyciągnięcia apaszki czarnej wynosi $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ .

Wszystkich apaszek jest $20$ , zatem:

$\frac{x}{20} = \frac{2}{5}$

$5 x = 40$

$x = 8$

W szufladzie znajduje się $8$ apaszek czarnych.

Ćwiczenie 14

Oblicz, ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których w rzędzie jedności i setek występuje ta sama cyfra.

RlclLEPPLCa3s

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Liczbą spełniającą warunki zadania jest na przykład liczba $3424$ . Pamiętaj, że cyfrą tysięcy liczby czterocyfrowej nie może być zero.

Cyfrą tysięcy liczby czterocyfrowej może być $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ lub $9$ – $9$ możliwości.

Cyfrą setek może być $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ lub $9$ – $10$ możliwości.

Cyfrą dziesiątek może być $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ lub $9$ – $10$ możliwości.

Ponieważ cyfra jedności musi być taka sama jak cyfra setek, to gdy cyfra setek jest ustalona, mamy tylko $1$ możliwość na cyfrę jedności.

Korzystamy z reguły mnożenia.

$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 900$

Jest $900$ liczb spełniających warunki zadania.

Ćwiczenie 15

W pudełku znajduje się $5$ kul ponumerowanych od $1$ do $5$ . Losujemy kolejno dwie kule (bez zwracania) i zapisujemy ich numery. Oblicz prawdopodobieństwo zapisania liczby, w której cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.

RIJreJKCd7Nx7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Pierwszą kulę losujemy spośród pięciu znajdujących się w pudełku – $5$ możliwości.

Drugą kulę losujemy spośród czterech pozostałych – $4$ możliwości.

Wszystkich możliwości wylosowania dwóch kul (bez zwracania) jest więc $5 \cdot 4 = 20$ .

Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zapisaniu liczby, w której cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.

$\{(2, 1); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4)\}$

Jest $10$ zdarzeń elementarnych sprzyjających rozpatrywanemu zdarzeniu.

$p = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Prawdopodobieństwo zapisania liczby dwucyfrowej, w której cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności wynosi $\frac{1}{2}$ .