Błąd bezwzględny, błąd względny - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale obliczysz błąd względny oraz błąd bezwzględny przybliżenia, również w kontekście realistycznym. Zawarte są w nim podstawowe definicje oraz przykłady zastosowań obu rodzajów błędów w życiu codziennym.

Przykład 1

Rg07vfAuqrmYV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Należy pomalować lakierem podłogę w prostokątnym pokoju o wymiarach $5,9 m$ i $4,35 m$ . Powierzchnia podłogi jest równa $5,9 m \cdot 4,35 m = 25,665 m^{2}$ . W celu oszacowania, ile lakieru należy kupić, możemy przyjąć, że powierzchnia podłogi jest równa $26 m^{2}$ . Pomylimy się wtedy o $0,335 m^{2}$ .

Jest to błąd bezwzględny tego przybliżenia.

Błąd bezwzględny

Definicja: Błąd bezwzględny

Jeżeli liczba $a_{p}$ jest przybliżeniem liczby $a$ , to liczbę $|a - a_{p}|$ nazywamy błędem bezwzględnym tego przybliżenia.

Błąd bezwzględny zawsze wyrażamy w takich samych jednostkach jak przybliżaną wielkość.
Błąd bezwzględny jest zawsze liczbą nieujemną.

Przykład 2

Prostokątną podłogę balkonu zmierzono taśmą mierniczą z dokładnością do $1 cm$ . Określono, że podłoga ma wymiary $250 cm$ na $145 cm$ . Na tej podstawie obliczono, że pole powierzchni podłogi jest równe $250 cm \cdot 145 cm = 36250 {cm}^{2}$ . Jaki największy błąd bezwzględny mógł być popełniony?

Ponieważ pomiaru dokonano taśmą z podziałką centymetrową, zatem możliwy błąd popełniony przy pomiarze długości każdego z boków wynosi $1 cm$ (z nadmiarem lub z niedomiarem).

Długość podłogi balkonu $(250 cm)$	Szerokość podłogi balkonu $(145 cm)$	Powierzchnia $(36250 {cm}^{2})$	Błąd bezwzględny
$249 cm$	$144 cm$	$35856 {cm}^{2}$	$\|36250 - 35856\| = 394 ({cm}^{2})$
$251 cm$	$146 cm$	$36646 {cm}^{2}$	$\|36250 - 36646\| = 396 ({cm}^{2})$

Zatem największy możliwy błąd bezwzględny jest równy $396 {cm}^{2}$ .

Przykład 3

R1OOqDyZW6Wex1

Prostokątna podłoga w sali gimnastycznej długości $24,1 m$ i szerokości $10,65 m$ wymaga wymiany parkietu. Dokładne pole powierzchni podłogi tej sali jest równe

24,1 m \cdot 10,65 m = 256, 665 m^{2}

Jeśli przyjmiemy, że pole powierzchni jest równe $257 m^{2}$ , to popełniony przez nas błąd bezwzględny będzie równy $257 m^{2} - 256,665 m^{2} = 0, 335 m^{2}$ , czyli dokładnie tyle samo, ile błąd bezwzględny obliczony w pierwszym przykładzie.

Błędy bezwzględne w obu przypadkach są równe, ale odnoszą się do różnych wielkości.

Obliczmy, jaką częścią przybliżanej wielkości jest każdy z błędów:

w przypadku pokoju: $\frac{0,335}{25,665} \approx 0,013053 \approx 1,3 %$ ,
w przypadku sali gimnastycznej: $\frac{0,335}{256,665} \approx 0,0013053 \approx 0,13 %$ .

Możemy więc powiedzieć, że w pewnym sensie błąd popełniony w pierwszej sytuacji jest $10$ razy większy od błędu popełnionego w drugiej sytuacji.

Błąd względny

Definicja: Błąd względny

Jeżeli liczba $a_{p}$ jest przybliżeniem liczby $a$ , to liczbę $\frac{|a - a_{p}|}{a}$ nazywamy błędem względnym tego przybliżenia.

Błąd względny jest wielkością, którą możemy wyrazić w procentach.

Przykład 4

Michał robi zakupy w supermarkecie. Oszacował, że za wybrane produkty będzie musiał zapłacić $250 zł$ . Po dokładnym policzeniu okazało się, że koszt zakupów wyniósł $317,78 zł$ . Przyjmując, że wartością dokładną jest faktyczny koszt zakupu, oblicz błąd względny oszacowania, jakiego dokonał Michał.
Błąd bezwzględny jest równy:

|250 - 317,78| zł = 67,78 zł .

Błąd względny jest równy

\frac{67,78}{317,78} \approx 21,33 %.

Michał pomylił się o więcej niż $21 %$ .