Dziedzina

We wzorze występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik $x-3$ musi być różny od zera. A zatem dziedziną funkcji $k$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $3$, co zapisujemy symbolicznie: $D_k=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$ lub $D_k=\left(-\infty ,3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$.

We wzorze funkcji występuje pierwiastek, a zatem wyrażenie pod pierwiastkiem $x-5$ musi być nieujemne. Wobec tego $x⩾5$. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie mniejszych od $5$, co zapisujemy $D_f=⟨5, \infty )$.

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, więc jego mianownik $\left(x+1\right)\left(2x-6\right)$ musi być różny od zera. Wobec tego każdy z czynników tego iloczynu musi być różny od zera. Stąd $x+1\ne 0$ i $2x-6\ne 0$, czyli $x\ne -1$ i $x\ne 3$. Wynika z tego, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $-1$ i od $3$, co zapisujemy $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1, 3\right\}$.

We wzorze funkcji występuje wyrażenie wymierne, stąd wniosek, że jego mianownik $x^2-4x$ musi być różny od zera. Ponieważ $x^2-4x=x\left(x-4\right)$, to każdy z czynników tego iloczynu musi być różny od zera. Stąd $x\ne 0$ i $x-4\ne 0$.
A zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ i od $4$, co zapisujemy $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0, 4\right\}$.

We wzorze funkcji $t$ występuje wyrażenie wymierne, w którego mianowniku zapisany jest pierwiastek. Wynika z tego, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne i jednocześnie wartość tego pierwiastka musi być różna od $0$. Stąd $\sqrt{-1-x}\ne 0$ i $-1-x⩾0$, czyli $-1-x\ne 0$ i $-1⩾x$, $x\ne -1$ i $x⩽-1$, a zatem $x<-1$. Dziedziną funkcji $t$ są wobec tego wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od $-1$, co zapisujemy $D_t=\left(-\infty , -1\right)$.

Warto przy okazji podkreślić, że jeżeli mianownik wyrażenia wymiernego jest zapisany w postaci pierwiastka kwadratowego, to liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia.

We wzorze funkcji $f$ występują pierwiastek i wyrażenie wymierne.
Wobec tego funkcja $f$ jest określona dla tych $x$, które spełniają układ warunków $2-x⩾0$ i $x+7\ne 0$ czyli $x⩽2$ i $x\ne -7$.

Do dziedziny funkcji $f$ należą wobec tego wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $\left(-\infty ,-7\right)$ lub do przedziału $\left(-7,2\right.⟩$.

Zauważmy, że pole kwadratu jest równe $4$ i jest równe sumie pól trójkątów: $AEF$, $ABE$, $ADF$ i $ECF$. Pole trójkąta $AEF$ zapiszemy jako różnicę pola kwadratu oraz sumy pól trójkątów $ABF$, $ADE$ i $ECF$.

Trójkąt $ECF$ jest prostokątny, jego przyprostokątne mają długość $x$, czyli jego pole jest równe $\frac{1}{2}{x}^2$. Trójkąty $ABF$ i $ADE$ są przystającymi trójkątami prostokątnymi, w których długości przyprostokątnych są równe $2$ i $2-x$. Wobec tego każdy z tych trójkątów ma pole $\frac{1}{2}·2·\left(2-x\right)=2-x$, a zatem

Ponieważ długość odcinka $CE$ nie przekracza $2$, to $D_P=(0, 2)$.