Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
1
Pokaż ćwiczenia:

W tym materiale zawarte są informacje na temat prostych i odcinków, które są prostopadłe lub równoległe. Poznasz definicje, oraz sposoby konstruowania takich prostych i odcinków. Po przeanalizowaniu filmów, możesz sprawdzić swoje umiejętności, samodzielnie wykonując zamieszczone ćwiczenia.

Proste prostopadłe i równoległe

R1T6kkUmzbPbj1
Animacja przedstawia, które proste możemy nazywać równoległymi, a które nazywamy przecinającymi się.
RNyuElAZB310Y1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować proste prostopadłe.
RpCpMSqWhJvcI1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy narysować proste równoległe.
1
Ćwiczenie 1

Wypisz wszystkie znalezione na rysunku pary prostych:

  1. równoległych,

  2. prostopadłych,

  3. przecinających się i nieprostopadłych.

RLODCBOEe1m5w1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest kwadrat ABCD z poprowadzonymi przekątnymi ACBD. Wypisz wszystkie pary boków:

  1. równoległych,

  2. prostopadłych.

R7bLwgaG64NHM
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniem.

R1Ai7i0y7DicL11
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD. Wykorzystując ekierkę należy tak zmienić położenie punktów C i D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Narysuj na kartce dwie proste równoległe, używając linijki i ekierki.

Opisz, jak przy użyciu ekierki i linijki skonstruować proste równoległe.

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniami.

RUgwO0xkBTBvU11
Animacja pokazuje odcinek AB i punkt C, leżący poza odcinkiem, położone na kratownicy. Punkty A, B, C są zawsze punktami kratowymi. Należy znaleźć takie położenie punktu D, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB. Poruszamy się po liniach pionowych i poziomych kratownicy, aby dojść od punktu A do punktu B. Odcinek AB jest przekątną pewnego prostokąta. Jeżeli chcemy, aby poszukiwany odcinek CD był prostopadły do odcinka AB, to przesuwamy prostokąt tak, aby jednym z wierzchołków był punkt C. Następnie obracamy go o 90 stopni. Wówczas odcinek CD, w obróconym prostokącie, będzie przekątną prostopadłą do przekątnej AB pierwszego prostokąta. Używając ekierki sprawdzamy czy odcinki AB i CD są prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uruchom aplet i postępuj zgodnie z poleceniem.

R13wP4tsn4p5g11
Animacja pokazuje różnej długości i różnie położone odcinki AB oraz odcinek CD, położone na kratownicy tak, że końce obu odcinków są zawsze punktami kratowymi. Należy bez użycia kątomierza znaleźć położenie punktów C i D tak, aby odcinek CD był prostopadły do odcinka AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 3

Narysuj na kartce prostą a i punkt M nieleżący na prostej a. Następnie narysuj prostą l równoległą do prostej a i przechodzącą przez punkt M.

Dana jest prosta a i punkt M nieleżący na prostej a. Opisz konstrukcję prostej l równoległej do prostej a i przechodzącej przez punkt M.

2
Ćwiczenie 4

Narysuj na kartce dwie proste prostopadłe, używając linijki i ekierki.

Opisz jak przy użyciu ekierki i linijki narysować dwie proste prostopadłe.

2
Ćwiczenie 5

Narysuj na kartce prostą b i punkt C nieleżący na prostej b. Następnie narysuj prostą k prostopadłą do prostej b i przechodzącą przez punkt C.

Dana jest prosta b i punkt C nieleżący na prostej b. Opisz konstrukcję prostej k prostopadłej do prostej b i przechodzącej przez punkt C.

2
Ćwiczenie 6
RGcqkkbGDLOTB1
Narysuj w zeszycie dwie proste prostopadłe ab. Następnie narysuj prostą c prostopadła do prostej b i prostą d równoległą do prostej b. Jak położone są względem siebie wskazane proste?
Uzupełnij zapisy, przeciągając w luki odpowiednie symbole lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. a 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. ca 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. dc 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. db 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. db 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. ac 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. b
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqUbeVPexIr7g
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu od prostej

1
Przykład 1
  • Co nazywamy odległością punktu od prostej?

  • Jak konstrukcyjnie wyznaczyć tę odległość?

  • Jak sprawdzić, czy narysowany odcinek określa odległość danego punktu od danej prostej?

RizcAXhZZTEj51
Animacja pokazuje punkt B leżący na prostej i punkt A, który nie leży na prostej. Zaznaczony jest kąt między prostą i utworzonym odcinkiem BA. Zmieniając położenie punktu B, zmieniamy długość odcinka BA. Należy odpowiedzieć na pytania: w jakim przypadku ta długość jest najmniejsza, jaka jest odległość punktu od prostej, jaki jest kąt pomiędzy odcinkiem AB a prostą, gdy odległość BA jest najmniejsza? Zauważamy, że najmniejsza odległość punktu A od prostej jest wtedy, gdy utworzony kąt ma miarę 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odległość punktu od prostej
Definicja: Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą.

R1AZfUlJxfy2g1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu P od prostej k to długość odcinka PR, prostopadłego do prostej k.

3
Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.  Załóż że k || l.

R1CS1vlTgrk2G1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Porównaj odległości punktów na prostej k od prostej l.

R1MoNmyaI9iDL
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Odległość dwóch prostych równoległych
Definicja: Odległość dwóch prostych równoległych

Odległość dwóch prostych równoległych to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste. Odcinek ten jest prostopadły do obu tych prostych.

R1N7BjPDVa61d1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość prostych kl to długość odcinka TZ.

Odcinki prostopadłe i równoległe

3
Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z poniższą grafiką, która przedstawia pewien dwunastokąt.

R1Du6mW1w6llg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RiDf1WHOrD237
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie nazwy odcinków lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odcinki równoległe do odcinka EP Możliwe odpowiedzi: 1. to 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR oraz 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR., 2. to 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR oraz 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR. Odcinki prostopadłe do odcinka EP Możliwe odpowiedzi: 1. to 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR oraz 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR., 2. to 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR, 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR oraz 1. ZC, 2. NZ, 3. IN, 4. OP, 5. FR, 6. OD, 7. EX, 8. KI, 9. FC, 10. XK, 11. DR.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RiNZI8CwbX1Ry
Ćwiczenie 8
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeżeli odcinki ABCD są równoległe oraz odcinki CDEF są równoległe, to odcinki ABEF muszą być równoległe., 2. Jeżeli odcinki ABCD są prostopadłe oraz odcinki CDEF są prostopadłe, to odcinki ABEF muszą być prostopadłe., 3. Jeżeli odcinki ABCD są równoległe oraz odcinki CDEF są prostopadłe, to odcinki ABEF muszą być równoległe., 4. Jeżeli odcinki ABCD są prostopadłe oraz odcinki CDEF są równoległe, to odcinki ABEF muszą być prostopadłe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Używając przyrządów geometrycznych, narysuj na gładkiej kartce figurę o takim samym kształcie, jak figura narysowana poniżej.

RvzQnEmaRLV1B1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaprojektuj i narysuj na gładkiej kartce inną figurę, która będzie składała się tylko z odcinków równoległych i prostopadłych.