Definicja funkcji liniowej - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Ten materiał jest dobrym wprowadzeniem do zadań o funkcji liniowej. Możesz je znaleźć w materiałach:

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowejPLN5fvTThWspółczynnik kierunkowy funkcji liniowej,
Zadania obliczeniowe oraz wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresuP1FulPEhmZadania obliczeniowe oraz wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresu,
Odczytywanie i obliczanie argumentów oraz wartości funkcjiPECro6DmwOdczytywanie i obliczanie argumentów oraz wartości funkcji,
Zadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część IPpO6Td6jxZadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część I.

Funkcja liniowa

Definicja: Funkcja liniowa

Funkcję $f$ zmiennej $x$ określoną wzorem

f (x) = a x + b

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniową.

Wykresem funkcji liniowej

f (x) = a x + b

jest prosta o równaniu $y = a x + b$ . Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu $y = a x$ oraz przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, b)$ .

Polecenie 1

Wykonaj polecenia zawarte w aplecie.

R1M2sRUfbssOd11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z opisem apletu.

Aplet pokazuje, że zmieniając współczynniki $a$ i $b$ funkcji liniowej otrzymujemy różne wykresy funkcji liniowej. Współczynnik $a$ wpływa na nachylenie prostej, natomiast współczynnik $b$ odpowiada za jej przesunięcie względem osi $Y$ . Rozpatrzmy dwa przypadki:

Niech $a = 2$ i $b = 3$ . Funkcja $g$ dana wzorem ogólnym $g (x) = a x$ dla tych parametrów to $g (x) = 2 x$ . Jej wykresem jest prosta przechodząca przez środek układu współrzędnych, która przechodzi przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Funkcja $f$ dana wzorem ogólnym $f (x) = a x + b$ dla tych parametrów to $f (x) = 2 x + 3$ . Jej wykresem jest prosta przecinająca oś $X$ w punkcie $(- 1 \frac{1}{2}, 0)$ i oś $Y$ w punkcie $(0, 3)$ , która przechodzi przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu. Jest to prosta równoległa do wykresu funkcji $g$ . Zauważmy, że druga współrzędna punktu przecięcia tego wykresu z osią $Y$ wynosi $3$ , czyli dokładnie tyle samo ile współczynnik $b$ .
Niech $a = - 1$ i $b = - 4$ . Funkcja $g$ dana wzorem ogólnym $g (x) = a x$ dla tych parametrów to $g (x) = - x$ . Jej wykresem jest prosta przechodząca przez środek układu współrzędnych, która przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę układu współrzędnych. Funkcja $f$ dana wzorem ogólnym $f (x) = a x + b$ dla tych parametrów to $f (x) = - x - 4$ . Jej wykresem jest prosta przecinająca oś $X$ w punkcie $(- 4, 0)$ i oś $Y$ w punkcie $(0, - 4)$ , która przechodzi przez drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę układu. Jest to prosta równoległa do wykresu funkcji $g$ . Zauważmy, że druga współrzędna punktu przecięcia tego wykresu z osią $Y$ wynosi $- 4$ , czyli dokładnie tyle samo ile współczynnik $b$ .