Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia - przykłady

Analizując przykłady zawarte w tym materiale, poznasz wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia. Zapiszesz kwadrat dwumianu oraz iloczyn dwóch takich samych wyrażeń w postaci sumy algebraicznej.

Przykład 1

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

$(3 a + 2) (3 a + 2)$
$(2 + 4 x) (2 + 4 x)$
$(x + y) (x + y)$

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$(3 a + 2) (3 a + 2) = {(3 a)}^{2} + 6 a + 6 a + 4 = 9 a^{2} + 12 a + 4$
$(2 + 4 x) (2 + 4 x) = 4 + 8 x + 8 x + 16 x^{2} = 4 + 16 x + 16 x^{2}$
$(x + y) (x + y) = x^{2} + x y + x y + y^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

Iloczyn dwóch takich samych wyrażeń to inaczej kwadrat danego wyrażenia.

(x + y) (x + y) = {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

R1wjGVtqMtyPg11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Graficznie można ten wzór zilustrować, obliczając pole kwadratu o boku $a + b$ .

R1T6CuSiTEgaB11

Przykład 2

Oblicz.

${(a - 3)}^{2}$
${(4 x - 1)}^{2}$
${(x - y)}^{2}$

Różnicę dwóch wyrażeń zapisujemy w postaci sumy i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Otrzymamy wtedy:

${(a - 3)}^{2} = {(a + (- 3))}^{2} = a^{2} + 2 \cdot (- 3) \cdot a + {(- 3)}^{2} = a^{2} - 6 a + 9$
${(4 x - 1)}^{2} = {(4 x + (- 1))}^{2} = {(4 x)}^{2} + 2 \cdot (- 1) \cdot 4 x + {(- 1)}^{2} = 16 x^{2} - 8 x + 1$
${(x - y)}^{2} = {(x + (- y))}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot (- y) + {(- y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Otrzymujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

{(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Przykład 3

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

$(3 x - 1) (3 x + 1)$
$(2 a - 4) (2 a + 4)$
$(x + y) (x - y)$

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

$(3 x - 1) (3 x + 1) = 9 x^{2} - 3 x + 3 x - 1 = 9 x^{2} - 1$
$(2 a - 4) (2 a + 4) = 4 a^{2} - 8 a + 8 a - 16 = 4 a^{2} - 16$
$(x + y) (x - y) = x^{2} - x y + x y - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Zauważmy, że po pomnożeniu sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, otrzymamy różnicę kwadratów tych wyrażeń:

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

RI7AiRBekfupk1

Przykład 4

Powyższy wzór możemy zilustrować graficznie, porównując pola sześciokąta i prostokąta.

R1CxPqxmS8cif1