Przybliżenia i zaokrąglenia liczb

Cena netto zestawu akcesoriów rowerowych jest równa $\mathrm{155,60}\mathrm{ zł}$. Aby otrzymać cenę brutto, musimy doliczyć jeszcze $23\%$ podatku VAT. Zatem cena brutto jest równa

Jest to wartość dokładna. Ponieważ najmniejszą jednostką monetarną w Polsce jest $1$grosz, to obliczoną cenę musimy zaokrąglić do drugiego miejsca po przecinku.

W rozliczeniach podatku PIT stosuje się zasadę, że ostateczna kwota należnego podatku zaokrąglana jest do pełnych złotych.

Jeśli zatem obliczony podatek jest równy $\mathrm{8562,15}\mathrm{ zł}$, to po prawidłowym zaokrągleniu będzie równy $8562\mathrm{ zł}$, natomiast jeśli obliczony podatek jest równy $\mathrm{8562,78}\mathrm{ zł}$, to po zaokrągleniu będzie równy $8563 \mathrm{z}\mathrm{ł}$.

Jeżeli liczbę dodatnią zaokrąglamy do ustalonego rzędu wielkości, np. do tysięcy, setek, dziesiątek, jedności, części dziesiątych, części setnych itd., to wszystkie cyfry stojące po prawej stronie ostatniej (licząc od strony lewej) cyfry znaczącej zastępujemy zerami. Z cyframi znaczącymi postępujemy następująco:

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest mniejsza od $5$, to wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian,

• gdy pierwsza cyfra z prawej strony ostatniej cyfry znaczącej jest co najmniej równa $5$, a ostatnia cyfra znacząca jest mniejsza od $9$, to tę cyfrę zwiększamy o $1$, a wszystkie poprzednie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Jeśli natomiast ostatnią cyfrą znaczącą jest $9$, to zamiast niej piszemy cyfrę $0$ i tę samą procedurę stosujemy do poprzednich cyfr znaczących.

• Liczbę $207195468$ zaokrąglimy do tysięcy. Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to:
  $2$, $0$, $7$, $1$, $9$, $5$. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to $4$, a więc jest mniejsza od $5$. Zatem wszystkie cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, a pozostałe zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby $207195468$ do tysięcy jest liczba $207195000$.

• Tę samą liczbę $207195468$ zaokrąglimy do setek tysięcy. Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to: $2$, $0$, $7$, $1$. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to $9$, ostatnia cyfra znacząca to $1$, a więc jest mniejsza od $9$. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą zwiększamy o $1$, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nieznaczące zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby $207195468$ do setek tysięcy jest liczba $207200000$.

• Raz jeszcze zaokrąglimy liczbę $207195468$, tym razem do dziesiątek tysięcy. Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to: $2$, $0$, $7$, $1$, $9$. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to $5$, ostatnia cyfra znacząca to $9$. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą zastępujemy cyfrą $0$. Przedostatnią (jest ona równa $1$, a więc mniejsza od $9$) zwiększamy o $1$, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian. Cyfry nieznaczące zastępujemy zerami. Zatem zaokrągleniem liczby $207195468$ do dziesiątek tysięcy jest liczba $207200000$.

• Zaokrąglimy liczbę $\sqrt{37}$ do części tysięcznych, czyli do trzeciego miejsca po przecinku. Rozwinięcie dziesiętne liczby$\sqrt{37}$ to $\mathrm{6,0827625}\dots$ . Cyfry znaczące tego zaokrąglenia to: $6$, $0$, $8$, $2$. Pierwsza cyfra stojąca po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej to $7$, a ostatnia cyfra znacząca to $2$, a więc mniejsza od $9$. Zatem ostatnią cyfrę znaczącą zwiększamy o $1$, pozostałe cyfry znaczące pozostawiamy bez zmian, cyfry nieznaczące zastępujemy zerami, których w tym przypadku możemy nie pisać. Zatem zaokrągleniem liczby $\sqrt{37}$ do części tysięcznych jest liczba $\mathrm{6,083}$.

Główny Urząd Statystyczny podaje, że w $2012$ roku w Polsce mieszkało $\mathrm{38,54}\mathrm{ mln}$ ludzi. Jest to oczywiście wielkość przybliżona, ponieważ niemożliwe jest podanie liczby ludności kraju z dokładnością do $1$ osoby.

Jeśli zachodzi taka konieczność, możemy zaokrąglać duże liczby do zadanego rzędu.

Np. liczba $65 846 236$ może być zapisana z dokładnością do:

Ze względów praktycznych tak zaokrąglone liczby możemy zapisać w skrócie: $66\mathrm{ mln}$ lub $\mathrm{65,8}\mathrm{ mln}$ lub $\mathrm{65,85}\mathrm{ mln}$.

Przybliżeniem liczby dodatniej $a$ z ustaloną dokładnością $d>0$ jest każda liczba, która różni się od liczby $a$ o nie więcej niż $d$.

Bardzo często używanym w praktyce przybliżeniem liczby $\pi$ z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku jest liczba $\mathrm{3,14}$. Jest to liczba mniejsza od $\pi$. Mówimy wtedy, że jest to przybliżenie z niedomiarem. Archimedes ($\mathrm{III}$ w. p.n.e) w obliczeniach przyjmował, że stosunek długości okręgu do jego średnicy (a więc liczba $\pi$) jest równy $\frac{22}{7}$, czyli $\mathrm{3,142857142857}\dots$ . Jest to liczba większa od $\pi$, a więc jest przybliżeniem liczby $\pi$ z nadmiarem. Dokładność tego przybliżenia jest mniejsza od $\mathrm{0,01}$ ale większa od $\mathrm{0,001}$.

Zwróć uwagę, że nie każde przybliżenie jest zaokrągleniem. Liczba $\frac{22}{7}$ jest przybliżeniem liczby $\pi$, ale nie jest jej zaokrągleniem.

Sprawdź, czy liczba $\frac{11}{2-\sqrt{3}}$ jest większa od $41$.

W obliczeniach wykorzystamy liczbę $\mathrm{1,73}$, a więc przybliżenie liczby $\sqrt{3}$ z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Stąd można by wywnioskować, że liczba $\frac{11}{2-\sqrt{3}}$ jest mniejsza od $41$. Wniosek ten jest jednak błędny.

Wykażemy, że liczba $\frac{11}{2-\sqrt{3}}$ jest większa od $41$. Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymujemy

Po odjęciu $22$ od obu stron nierówności $22+11\sqrt{3}>41$ otrzymujemy $11\sqrt{3}>19$, co jest prawdą, gdyż