Liczba elementów zbioru skończonego

Do klasy pierwszej przyjęto $35$ uczniów. Zatem w dzienniku lekcyjnym powinni być oni wpisani w porządku alfabetycznym, otrzymując numery: $1$, $2$, $3$, $...$, $34$, $35$.

W zbiorze $A=\left\{1,2,3,...,1674,1675\right\}$ kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $1675$ jest $1675$ elementów.

Uwaga:
Liczbę elementów zbioru $A$ będziemy oznaczać symbolem $\left|A\right|$. Wobec tego liczbę elementów zbioru $A$ z powyższego przykładu zapiszemy symbolicznie: $\left|A\right|=1675$.

Ustalimy, ile jest elementów w zbiorze $\left\{12,13,14,...,26,27\right\}$ kolejnych liczb naturalnych od $12$ do $27$.

• sposób $\mathrm{I}$:

Można wypisać wszystkie elementy tego zbioru i po prostu policzyć, ile ich jest.

Warto zauważyć, że numerując dla porządku kolejne elementy tego zbioru

$\left(1\right)$ – $12$,
$\left(2\right)$ – $13$,
$\left(3\right)$ – $14$.

ustawiamy je w ciąg, w którym numer elementu jest niezmiennie o $11$ mniejszy od tego elementu.

Takie numerowanie zakończy się więc przyporządkowaniem liczbie $27$ numeru $16$ (bo $27-11=16$), co oznacza, że w zbiorze $\left\{12,13,14,...,26,27\right\}$ jest $16$ elementów.

Uwaga:
Ciąg, którego własności wykorzystaliśmy przy obliczaniu elementów danego zbioru jest ciągiem arytmetycznym, o pierwszym wyrazie $12$ i różnicy $1$. Można go więc opisać wzorem ogólnym $n+11$, gdzie $n=1$, $2$, $3$, $...$, $16$.

• sposób $\mathrm{II}$:

Zauważmy, że zbiór $\left\{1,2,3,...,26,27\right\}$, liczący $27$ elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:

– liczb mniejszych od $12$:

$\left\{1,2,3,...,11\right\}$, który ma $11$ elementów oraz

– liczb od $12$ do $27$:

$\left\{12,13,14,...,26,27\right\}$.

Oznacza to, że zbiór $\left\{12,13,14,...,26,27\right\}$ ma $27-11=16$ elementów.

Korzystając z pomysłów z poprzedniego przykładu, wykażemy, że w zbiorze kolejnych liczb naturalnych od $k$ do $l$:

jest $l-k+1$ elementów.

• sposób $\mathrm{I}$:

Ustawiamy kolejne elementy zbioru $\left\{k,k+1,k+2,...,l-1,l\right\}$ w taki ciąg $\left(a_n\right)$, że $a_1=k$, $a_2=k+1$ i tak dalej co $1$, do ostatniego wyrazu równego $l$.

W tym ciągu numer wyrazu jest więc niezmiennie o $k-1$ mniejszy od tego wyrazu, zatem jego ostatni wyraz to $a_{l-\left(k-1\right)}=l$.

Wobec tego taki ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony dla $n=1$, $2$, $...$, $l-k+1$, czyli ma $l-k+1$ wyrazów.

Uwaga:
Ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ o wyrazie pierwszym $a_1=k$ i różnicy $1$ jest określony wzorem ogólnym $a_n=k+n-1$. Gdy $a_n=l$, to $k+n-1=l$, stąd $n=l-k+1$.

• sposób $\mathrm{II}$:

Zauważmy, że zbiór $\left\{1,2,...,l-1,l\right\}$, liczący $l$ elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:

– liczb mniejszych od $k$:

$\left\{1,2,...,k-2,k-1\right\}$, który ma $k-1$ elementów oraz

– liczb od $k$ do $l$:

$\left\{k,k+1,k+2,...,l-1,l\right\}$.

Oznacza to, że zbiór $\left\{k,k+1,k+2,...,l-1,l\right\}$ ma $l-\left(k-1\right)=l-k+1$ elementów.

Sprawdzimy, czy zbiory:

są równoliczne.

Zbiór $C$ ma $55$ elementów, liczba elementów zbioru $A$ to $\left|A\right|=74-\left(20-1\right)=55$, a liczba elementów zbioru $B$ to $\left|B\right|=190-\left(136-1\right)=55$.

Zatem zbiory $A$, $B$ i $C$ są równoliczne.

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $3$.

Wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb ze zbioru $\left\{10,11,12,...,98,99\right\}$, jest $99-9=90$.

Zauważmy teraz, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna podzielna przez $3$, jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ oraz jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Ponieważ $\frac{1}{3}\cdot 90=30$, więc zbiór liczb dwucyfrowych możemy rozbić na $30$ podzbiorów trzyelementowych

takich, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez $3$.

Oznacza to, że jest $30$ wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $3$.

Korzystając z wniosków zapisanych w poprzednim przykładzie, wykażemy, że w każdym ze zbiorów: liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez $3$ dają resztę $1$ oraz liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez $3$ dają resztę $2$, jest $30$ elementów.

Korzystamy z rozbicia zbioru $\left\{10,11,12,...,98,99\right\}$ liczb dwucyfrowych na trzy podzbiory:

$A_0=\left\{12,15,...,99\right\}$ – zbiór liczb podzielnych przez $3$,

$A_1=\left\{10,13,...,97\right\}$ – zbiór liczb, które przy dzieleniu przez $3$ dają resztę $1$,

$A_2=\left\{11,14,...,98\right\}$ – zbiór liczb, które przy dzieleniu przez $3$ dają resztę $2$.

Podzbiory te są parami rozłączne (bo rozdzielaliśmy ich elementy ze względu na resztę z dzielenia przez $3$) oraz równoliczne (jednoznaczne przyporządkowanie między ich elementami gwarantuje podział na trzydzieści podzbiorów trzyelementowych – wykorzystaliśmy ten podział w przykładzie $6$).

Podsumowując:

• jest $90$ wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb w zbiorze $A_0\cup A_1\cup A_2$:

  $$\left|A_0\cup A_1\cup A_2\right|=90$$,

• zbiór liczb dwucyfrowych można rozbić na trzy podzbiory $A_0$, $A_1$, $A_2$, które są parami rozłączne, stąd

  $$\left|A_0\cup A_1\cup A_2\right|=\left|A_0\right|+\left|A_1\right|+\left|A_2\right|$$,

• otrzymane podzbiory są równoliczne, a więc

  $$\left|A_0\right|=\left|A_1\right|=\left|A_2\right|$$.

Wynika z tego, że każdy z tych podzbiorów ma $30$ elementów:

Uwaga:

Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory $A_0$, $A_1$, $A_2$ są parami rozłączne. Oznacza to, że każda z par zbiorów: $A_0$ i $A_1$, $A_1$ i $A_2$ oraz $A_0$ i $A_2$ nie ma elementu wspólnego.

Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego $\left(\varnothing \right)$, następująco zapisujemy fakt, że zbiory $A_0$, $A_1$, $A_2$ są parami rozłączne:

$A_0\cap A_1=\varnothing$ i $A_1\cap A_2=\varnothing$ oraz $A_0\cap A_2=\varnothing$.

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $7$.

• sposób $\mathrm{I}$:

Każdą liczbę podzielną przez $7$ możemy zapisać w postaci $7n$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą.

Wystarczy zatem obliczyć, ile jest wszystkich całkowitych $n$, które spełniają układ nierówności

$7n\ge 100$ i $7n\le 999$.

Ponieważ $7n\ge 100$ dla $n\ge \frac{100}{7}=14\frac{2}{7}$ oraz $7n\le 999$ dla $n\le \frac{999}{7}=142\frac{5}{7}$, więc $n=15$, $16$, $17$, $...$, $141$, $142$.

Wynika z tego, że najmniejszą liczbą trzycyfrową, która dzieli się przez $7$, jest $15\cdot 7=105$, a największą $142\cdot 7=994$.

W zbiorze $\left\{15,16,17,...,141,142\right\}$ jest $142-14=128$ elementów, więc dokładnie tyle jest liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $7$.

• sposób $\mathrm{II}$:

Wszystkich liczb trzycyfrowych, czyli liczb ze zbioru $\left\{100,101,102,...,998,999\right\}$, jest $999-99=900$.

Zauważmy teraz, że wśród siedmiu kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie po jednej liczbie dla każdej z możliwych reszt z dzielenia przez $7$: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.

Ponieważ $900=128\cdot 7+4$, więc jeżeli ze zbioru liczb trzycyfrowych wyjmiemy podzbiór czteroelementowy $\left\{100,101,102,103\right\}$, to pozostały podzbiór, liczący $896$ elementów, możemy rozbić na $128$ podzbiorów siedmioelementowych – w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez $7$:

Sprawdzamy, że żadna z liczb ze zbioru $\left\{100,101,102,103\right\}$ nie dzieli się przez $7$, zatem jest dokładnie $128$ liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $7$.

• sposób $\mathrm{III}$:

Zbiór $\left\{100,101,102,...,998,999\right\}$ wszystkich liczb trzycyfrowych jest podzbiorem zbioru $\left\{1,2,3,...,998,999\right\}$ wszystkich liczb naturalnych od $1$ do $999$.

Ponieważ $999=142\cdot 7+5$, więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od $1$ do $999$ wyjmiemy podzbiór pięcioelementowy $\left\{995,996,997,998,999\right\}$, to pozostałe $994$ liczby możemy rozdzielić do $142$ podzbiorów siedmioelementowych:

W każdym z nich jako ostatnia zapisana jest jedyna w takim podzbiorze liczba podzielna przez $7$.

Zatem bez sprawdzania możemy stwierdzić, że wśród liczb ze zbioru $\left\{995,996,997,998,999\right\}$ nie ma liczby podzielnej przez $7$.

Skoro $99=14\cdot 7+1$, więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od $1$ do $99$ wyjmiemy liczbę $99$, to pozostałe $98$ liczb możemy rozdzielić do $14$ podzbiorów siedmioelementowych:

Oznacza to, że w zbiorze liczb naturalnych od $1$ do $99$ jest dokładnie $14$ liczb podzielnych przez $7$.

Wobec tego w zbiorze liczb naturalnych od $100$ do $999$ jest ich $142-14=128$.

Uwaga:

Zauważmy, że wykorzystane w rozwiązaniu liczby $142$ i $14$ otrzymaliśmy, przybliżając z niedomiarem ułamki odpowiednio $\frac{999}{7}=142\frac{5}{7}$ oraz $\frac{99}{7}=14\frac{1}{7}$.

Dowolnej liczbie rzeczywistej $x$ można jednoznacznie przypisać jej część całkowitą (zwaną też cechą lub podłogą tej liczby), która oznacza największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od $x$.

Część całkowita liczby $x$ oznaczana jest symbolem $⌊x⌋$.

Stosując to oznaczenie, zapiszemy, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez $7$ jest

Rozumując w podobny sposób jak w ostatnim sposobie rozwiązania, stwierdzimy np., że

• wszystkich liczb czterocyfrowych podzielnych przez $11$ jest

  $$⌊\frac{9999}{11}⌋-⌊\frac{999}{11}⌋=⌊909⌋-⌊90\frac{9}{11}⌋=909-90=819$$,

• wszystkich liczb pięciocyfrowych podzielnych przez $17$ jest

  $$⌊\frac{99999}{17}⌋-⌊\frac{9999}{17}⌋=⌊5882\frac{5}{17}⌋-⌊588\frac{3}{17}⌋=5882-588=5294$$,

• a wszystkich liczb sześciocyfrowych podzielnych przez $29$ jest

  $$⌊\frac{999999}{29}⌋-⌊\frac{99999}{29}⌋=⌊34482\frac{21}{29}⌋-⌊3448\frac{7}{29}⌋=34482-3448=31034$$.

Jeżeli zbiory $A_1$, $A_2$, $...$, $A_n$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów$A_1$, $A_2$, $...$, $A_n$:

Regułę, która jest zapisana w powyższym wzorze, nazywamy regułą dodawania.

Obliczymy, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez $2$ lub są podzielne przez $5$.

Oznaczmy:

$A_2$ – zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$,

$A_5$ – zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez $5$.

Mamy obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez $2$ lub przez $5$, czyli wartość $\left|A_2\cup A_5\right|$.

Zauważmy, że:

• wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna parzysta i dokładnie jedna nieparzysta. Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory dwuelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez $2$, więc $\left|A_2\right|=\frac{1}{2}\cdot 90=45$.

• wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych występuje dokładnie jedna podzielna przez $5$. Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory pięcioelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez $5$, więc $\left|A_5\right|=\frac{1}{5}\cdot 90=18$.

Zbiory $A_2$ oraz $A_5$ nie są jednak rozłączne – wśród liczb dwucyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez $2$, jak i przez $5$, taką jest np. $10$.

Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez $2$ i przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez $10$, więc musimy jeszcze obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez $10$.

Liczb tych jest $9$, co można sprawdzić, wypisując je wszystkie lub zauważając, że takich liczb jest $\frac{1}{10}\cdot 90=9$.

Przedstawimy teraz trzy pomysły na dokończenie rozwiązania przykładu $9$.

• sposób $\mathrm{I}$:

Zbiór $A_2\cup A_5$ rozbijemy na trzy rozłączne podzbiory:

– zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$ i przez $5$.

Jest to zbiór liczb podzielnych przez $10$, zatem takich liczb jest $9$.

– zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $2$ i nie dzielą się przez $5$.

Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb podzielnych przez $5$ i podzbiór liczb niepodzielnych przez $5$.
Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$ jest $45$, tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez $5$, jest $9$, zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $2$ i nie dzielą się przez $5$, jest $45-9=36$.

– zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $5$ i nie dzielą się przez $2$.

Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez $5$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb parzystych i podzbiór liczb nieparzystych. Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $5$, jest $18$, tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez $2$, jest $9$, zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $5$ i nie dzielą się przez $2$, jest $18-9=9$.

Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez $2$ lub przez $5$, jest

• sposób $\mathrm{II}$:

Obliczając liczbę tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez $2$ i nie dzielą się przez $5$, można zauważyć, że zbiór parzystych liczb dwucyfrowych da się rozbić na pięć podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez $5$. Obliczymy wtedy, że szukane przez nas liczby są elementami $4$ z tych $5$ podzbiorów, zatem ich liczba to

Analogiczny pomysł można zastosować do ustalenia, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez $2$ lub przez $5$.

Rozbijemy mianowicie zbiór liczb dwucyfrowych na $10$ podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez $10$.

W każdym z tych podzbiorów jest $\frac{1}{10}\cdot 90=9$ elementów.

Wyróżnimy wśród tych podzbiorów dwie grupy:

$\left(1\right)$ podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez $10$ jedną z reszt: $0$, $2$, $4$, $5$, $6$ lub $8$,

$\left(2\right)$ podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez $10$ jedną z reszt: $1$, $3$, $7$, $9$.

Zauważmy, że każda z liczb, która znalazła się w dowolnym z podzbiorów grupy $\left(1\right)$ dzieli się przez $2$ lub przez $5$, a każda z liczb, które są w dowolnym z podzbiorów grupy $\left(2\right)$ jest liczbą niepodzielną ani przez $2$, ani przez $5$.

Zatem

• sposób $\mathrm{III}$:

Obliczyliśmy wcześniej, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$ jest $\left|A_2\right|=45$, liczb dwucyfrowych podzielnych przez $5$ jest $\left|A_5\right|=18$, liczb dwucyfrowych podzielnych jednocześnie przez $2$ i przez $5$ jest $\left|A_2\cap A_5\right|=9$.

Każda liczba należącą do tego ostatniego zbioru jest również elementem każdego ze zbiorów $A_2$ oraz $A_5$.

Wypisując zatem wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez $2$ oraz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez $5$, wypiszemy dokładnie dwa razy każdą z liczb podzielnych przez $10$, a każdą inną – dokładnie raz.

Oznacza to, że jeśli od sumy $\left|A_2\right|+\left|A_5\right|=45+18=63$ odejmiemy liczbę $\left|A_2\cap A_9\right|=9$, to ustalimy, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez $2$ lub $5$:

Rozumując podobnie jak w ostatnim sposobie rozwiązania przykładu $9$, możemy stwierdzić, że dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ i $B$ liczba $\left|A\cup B\right|$ elementów należących do zbioru $A$ lub do zbioru $B$ jest równa sumie liczb $\left|A\right|$ i $\left|B\right|$, pomniejszonej o liczbę $\left|A\cap B\right|$ elementów należących jednocześnie do zbioru $A$ i do zbioru $B$:

W konkursie matematycznym uczestniczyło $132$ uczniów. Siedmiu spośród nich nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań, $98$ uczestników rozwiązało zadanie pierwsze, a $55$ z nich rozwiązało zadanie drugie. Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali oba zadania: pierwsze i drugie.

Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie, jest równa

Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia: uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania pierwsze, przypiszemy do zbioru $A$, a tych uczestników, którzy rozwiązali zadania drugie – do zbioru $B$.

Wiemy, że $\left|A\cup B\right|=125$, $\left|A\right|=98$ i $\left|B\right|=55$.

Ponieważ $\left|A\cup B\right|=\left|A\right|+\left|B\right|-\left|A\cap B\right|$, więc $125=98+55-\left|A\cap B\right|$, stąd $\left|A\cap B\right|=98+55-125=28$, co oznacza, że $28$ uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

W konkursie matematycznym, w którym uczestnicy mieli do rozwiązania trzy zadania, uczestniczyło $49$ uczniów. Zadanie pierwsze rozwiązało $34$ uczniów, zadanie drugie – $27$, zadanie trzecie – $18$. Ponadto: zadanie pierwsze i drugie rozwiązało $19$ uczniów, zadanie drugie i trzecie – $10$ uczniów, zadanie pierwsze i trzecie – $13$ uczniów, a $8$ uczniów rozwiązało wszystkie trzy zadania.

Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy nie rozwiązali żadnego z trzech zadań.

Oznaczamy literami $P$, $D$, $T$ zbiory uczniów, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie.

Przedstawimy rozwiązanie, korzystając z poniższego diagramu:

R11nYOyebFwHi1

Rysunek trzech okręgów ilustrujących zbiory uczniów P, D i T, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie. Zbiory parami mają części wspólne. Istnieje część wspólna dla wszystkich trzech zbiorów.

Wpisujemy w odpowiednie miejsce diagramu liczbę uczestników, którzy:

• rozwiązali wszystkie trzy zadania (jest ich $8$),

• rozwiązali zadania $1$ i $2$, ale nie rozwiązali zadania $3$ (jest ich $19-8=11$),

• rozwiązali zadania $1$ i $3$, ale nie rozwiązali zadania $2$ (jest ich $13-8=5$),

• rozwiązali zadania $2$ i $3$, ale nie rozwiązali zadania $1$ (jest ich $10-8=2$),

• rozwiązali tylko zadanie $1$ (jest ich $34-\left(11+8+5\right)=10$),

• rozwiązali tylko zadanie $2$ (jest ich $27-\left(11+8+2\right)=6$),

• rozwiązali tylko zadanie $3$ (jest ich $18-\left(5+8+2\right)=3$).

RhZMLNcKmNz9E1

Rysunek trzech okręgów ilustrujących zbiory uczniów P, D i T, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie. Zbiór P zawiera elementy - 5, 8, 10, 11. Zbiór D zawiera elementy – 2, 6, 8, 11. Zbiór T zawiera elementy – 2, 3, 5, 8. Część wspólna zbiorów P i D – 8, 11. Część wspólna zbiorów D i T – 2, 8. Część wspólna zbiorów P i T – 5, 8. Część wspólna zbiorów P, D i T – 8.

Wobec tego wszystkich uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, było

Zatem $4$ uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań.

Uwaga:

To zadanie można też rozwiązać, rozumując w następujący sposób. Wybieramy po kolei wszystkie elementy zbiorów: najpierw $P$, potem $D$ i następnie $T$ – jest ich razem

Na diagramie zaznaczamy „$+$” w każdym miejscu, z którego wzięliśmy wszystkie elementy

RxxMzh0qjTnqp1

Rysunek trzech okręgów ilustrujących zbiory uczniów P, D i T, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie. Zbiory P, D i T zawierają po 8 znaków plus. Część wspólna zbiorów P i D – 5 plusów. Część wspólna zbiorów D i T – 5 plusów. Część wspólna zbiorów P i T – 5 plusów. Część wspólna zbiorów P, D i T – 3 plusy

Zauważamy, że elementy należące do części wspólnej każdych dwóch zbiorów obliczyliśmy za dużo razy – poprawiamy wynik, odejmując od niego liczby $\left|P\cap D\right|$, $\left|D\cap T\right|$ i $\left|P\cap T\right|$:

Na diagramie zabieramy „$+$” z każdego miejsca, z którego elementy usunęliśmy.

R11JilSt2V8K11

Rysunek trzech okręgów ilustrujących zbiory uczniów P, D i T, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie. Zbiory P, D i T zawierają po 3 znaki plus. Część wspólna zbiorów P i D – 1 plus. Część wspólna zbiorów D i T – 1 plus. Część wspólna zbiorów P i T – 1 plus. Brak plusów w części wspólnej zbiorów P, D i T.

Zatem pozostaje jeszcze tylko dodać elementy części wspólnej wszystkich trzech zbiorów tak, żeby każdy element sumy był policzony dokładnie raz.

R1BxHwwXmpHN71

Rysunek trzech okręgów ilustrujących zbiory uczniów P, D i T, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie. Zbiory P, D i T zawierają po 4 znaki plus. Część wspólna zbiorów P i D – 2 plusy. Część wspólna zbiorów D i T – 2 plusy. Część wspólna zbiorów P i T – 2 plusy. Część wspólna zbiorów P, D i T – jeden plus.

Ponieważ $\left|P\cap D\cap T\right|=8$, więc otrzymujemy, że liczba elementów zbioru $P\cup D\cup T$, czyli liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, jest równa

Oznacza to, że $4$ uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań.