Cechy podobieństwa trójkątów

W tym materiale dowiesz się, czym są trójkąty podobne. Poznasz cechy oraz własności podobieństwa trójkątów, a także ich zastosowanie.

Własności trójkątów podobnych

RwMv8VR0BK7DG11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty podobne mają ten sam kształt. Zatem miary kątów trójkątów podobnych są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.

Przykład 1

R7UrfCvr18YN31

Rysunek trójkątów A B C i D E F. W trójkącie A B C bok AB ma długość 3 centymetry, bok BC ma długość 4 centymetry i bok AC ma długość 2,5 centymetra. W trójkącie D E F bok DE ma długość 6 centymetrów, bok EF ma długość 8 centymetrów i bok DF ma długość 5 centymetrów. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są podobne w skali $\frac{1}{2}$ .

\frac{|A C|}{|D F|} = \frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|B C|}{|E F|} = \frac{1}{2}

R1QLzjlwEITjJ1

Rysunek trójkątów A B C i D E F. Kąty C A B i F D E są równe, kąty A C B i D F E są równe oraz kąty C B A i F E D są równe. Zapis: trójkąt A B C podobny do trójkąta D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności trójkątów podobnych:

Miary odpowiednich kątów są równe	Stosunek długości odpowiednich boków jest równy
$\|∢ C A B\| = \|∢ F D E\|$ $\|∢ A B C\| = \|∢ D E F\|$ $\|∢ B C A\| = \|∢ E F D\|$	$\frac{\|A C\|}{\|D F\|} = \frac{\|A B\|}{\|D E\|} = \frac{\|B C\|}{\|E F\|}$

Ważne!

Jeżeli trójkąty są podobne, to skali podobieństwa jest równy:

stosunek ich obwodów,
stosunek ich odpowiednich odcinków (np. wysokości, środkowych).

Przykład 2

RnUJUhYAY1wiU1

Rysunek trzech trójkątów prostokątnych A B C, D E F i G H I. Najmniejszy trójkąt A B C ma przyprostokątne długości 2 i 1,5 oraz przeciwprostokątną długości 2,5. Trójkąt D E F ma przyprostokątne długości 3 i 4 a przeciwprostokątną długości pięć. Trójkąt G H I ma przyprostokątne długości 4,5 i 6 oraz przeciwprostokątną długości 7,5. Odpowiednie kąty w trójkątach A C B, D E F i G I H mają są równe i mają miarę alfa, a kąty A B C, D E F i G H I też są równe i mają miarę beta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $A B C$ dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta $A B C$ trzy razy.

Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.

Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Skala podobieństwa trójkątów1

Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty $A^{'} B^{'} C^{'}$ oraz $A B C$ są podobne, przy czym wierzchołki $B$ , $A$ , $C$ odpowiadają wierzchołkom odpowiednio $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , to

\frac{|A^{'} B^{'}|}{|A B|} = \frac{|B^{'} C^{'}|}{|B C|} = \frac{|C^{'} A^{'}|}{|C A|}

oraz

|∢ A| = |∢ A'|

|∢ B| = |∢ B'|

|∢ C| = |∢ C'|

Skalą $k$ podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

\frac{|A^{'} B^{'}|}{|A B|} = \frac{|B^{'} C^{'}|}{|B C|} = \frac{|C^{'} A^{'}|}{|C A|} = k

RpSmx71LKr14i1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b, c oraz trójkąta A prim B prim C prim o bokach długości ka, kb, kc. Kąty przy wierzchołkach A i A prim są sobie równe, kąty przy wierzchołkach B i B prim są sobie równe oraz kąty przy wierzchołkach C i C prim są sobie równe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że trójkąty podobne w skali $k = 1$ są przystające.

Podobieństwo trójkątów $A^{'} B^{'} C^{'}$ oraz $A B C$ symbolicznie oznaczamy

Δ A^{'} B^{'} C^{'} ~ Δ A B C

Rdzf52hk9iKnG1

Cechy podobieństwa trójkątów1

Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów

Cecha bok‑bok‑bok ( $b b b$ ).

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem i przechodź między etapami .

RIsDAatAkggxX11

Zapoznaj się z opisem apletu. Rozwiąż zawarte w nim polecenia.

Aplet ilustruje cechę podobieństwa trójkątów - $b b b$ . W pierwszym etapie komentarz brzmi: Trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ są podobne. Można by powiedzieć, że jeden z nich jest powiększoną kopią drugiego. Poznajmy cechy, które pozwolą nam w przyszłości ocenić, czy trójkąty są podobne. Na rysunku po prawej stronie, znajdują się dwa trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ . Pierwszy z nich jest mniejszy od drugiego, ale odpowiadające sobie wierzchołki leżą na tych samych prostych.

W drugim etapie możemy na rysunku po prawej poruszać wierzchołkami obu trójkątów lub zmieniać ich skalę powiększania/pomniejszania obu trójkątów. Służy do tego suwak, którego zakres jest od $0, 5$ do $2$ z krokiem co $0, 05$ . W momencie startowym skala jest równa $1, 75$ , $|A B| = 3$ $| A C | = 2$ , $|B C| = 4$ , $|A' B'| = 5, 25$ , $| A^{'} C^{'} | = 3, 5$ oraz $|B' C'| = 7$ . Przykładowo dla skali równej $0, 6$ , $|A B| = 3$ , $| A C | = 2$ , $|B C| = 4$ , $|A' B'| = 1, 8$ , $| A^{'} C^{'} | = 1, 2$ oraz $|B' C'| = 2, 4$ .

R1EJUeI6f9E2P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oczywiście, trójkąty pokryją się ze sobą całkowicie.

Zauważ, że dla ostatnio rozważanych długości boków $\frac{|A' C'|}{|A C|} = 0, 6$ oraz $\frac{|B' C'|}{|B C|} = 0, 6$ .

R1SwwgHE2AXeQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Cecha $b b b$ podobieństwa trójkątów : Trójkąty są podobne do siebie, gdy stosunki długości dwóch odpowiadających sobie boków w obu trójkątach są takie same. Stosunek ten wyznacza skalę podobieństwa tych trójkątów.

R2SnUykHlTnYD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy wielokąta ( w tym też czworokąt) da się rozciąć na pewną ilość trójkątów. Jeżeli są one podobne w skali s, wówczas wielokąty też są podobne w tej samej skali.

Podsumowując, jeżeli każdy bok trójkąta $A^{'} B^{'} C^{'}$ jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta $A B C$ , to trójkąty te są podobne.

Zapoznaj się z apletem przedstawiającym trójkąty podobne, na podstawie cechy bbb.

R1GbB1jaE0cWr1

Poniższa animacja pokazuje opisaną cechę na podstawie fotografii pewnego obiektu architektonicznego.

RPv5Po5yhmiiP1

Cecha bok‑kąt‑bok ( $b k b$ )

Poniższy aplet przedstawia cechę bok‑kąt‑bok.

Polecenie 2

Odtwórz aplet i przechodź między kolejnymi etapami.

RQioYP297E2ja11

Zapoznaj się z opisem apletu i wykonaj polecenia.

Aplet ilustruje cechę podobieństwa trójkątów - $b k b$ . W pierwszym etapie komentarz brzmi: Trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ są podobne. Można by powiedzieć, że jeden z nich jest powiększoną kopią drugiego. Poznajmy cechy, które pozwolą nam w przyszłości ocenić, czy trójkąty są podobne. Na rysunku po prawej stronie, znajdują się dwa trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ . Pierwszy z nich jest mniejszy od drugiego, ale odpowiadające sobie wierzchołki leżą na tych samych prostych.

W drugim etapie możemy na rysunku po prawej poruszać wierzchołkami obu trójkątów lub zmieniać ich skalę powiększania/pomniejszania obu trójkątów. Służy do tego suwak, którego zakres jest od $0, 5$ do $2$ z krokiem co $0, 05$ . W momencie startowym skala jest równa $1, 75$ , $|A C| = 5$ , $|B C| = 4$ , $|A' C'| = 8, 75$ oraz $|B' C'| = 7$ . Kąt $|∢ A C B| = |∢ A' C' B'| = 60 °$ . Przykładowo dla skali równej $0, 6$ , $|A C| = 5$ , $|B C| = 4$ , $|A' C'| = 7$ oraz $|B' C'| = 2, 4$ , kąt pozostaje bez zmian.

R1EJUeI6f9E2P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oczywiście, trójkąty pokryją się ze sobą całkowicie.

R1SwwgHE2AXeQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ilorazy pokrywają się z wartością skali powiększania/pomniejszania trójkątów.

Cecha $b k b$ podobieństwa trójkątów : Trójkąty są podobne do siebie, gdy stosunki długości dwóch boków w obu trójkątach są takie same oraz miara kąta pomiędzy tymi bokami w obu trójkątach jest równa.

Podsumowując. Jeżeli dwa boki trójkąta $A B C$ są proporcjonalne do dwóch boków trójkąta $A^{'} B^{'} C^{'}$ , a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

Zapoznaj się z filmikiem pokazującym opisaną cechę na podstawie pewnego obiektu architektonicznego.

R1a8cmRRqffVq1

-Cecha kąt‑kąt‑kąt ( $k k k$ ).

Polecenie 3

Poniższy aplet przedstawia cechę kąt‑kąt‑kąt. Odtwórz go i przechodź między kolejnymi etapami.

R1eJLF4Xqv0pu11

Zapoznaj się z opisem apletu i rozwiąż polecenia.

Aplet ilustruje cechę podobieństwa trójkątów - $k k k$ . W pierwszym etapie komentarz brzmi: Trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ są podobne. Można by powiedzieć, że jeden z nich jest powiększoną kopią drugiego. Poznajmy cechy, które pozwolą nam w przyszłości ocenić, czy trójkąty są podobne. Na rysunku po prawej stronie, znajdują się dwa trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ . Pierwszy z nich jest mniejszy od drugiego, ale odpowiadające sobie wierzchołki leżą na tych samych prostych.

Dzięki suwakami o zakresie od $0, 5$ do $3, 5$ z krokiem co $0, 1$ możemy powiększać lub pomniejszać trójkąt $A' B' C'$ .

W drugim etapie komentarz brzmi: Poruszaj wierzchołkami trójkąta ABC. Zmieniaj skale powiększania/pomniejszania tych trójkątów. Obserwuj miary ich kątów. Na rysunku dwóch trójkątów po prawej stronie, pojawiają się kąty $|∢ A B C| = |∢ A' B' C'| = 34, 6 °$ oraz $|∢ B A C| = |∢ B' A' C'| = 64, 2 °$ . Przykładowo dla skali $1, 8$ lub $0, 8$ miary kątów przy odpowiednich wierzchołkach są takie same.

RhVAti3ChIMdy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Miary dwóch kątów w obu trójkątach są takie same. Trzecie kąty w obu trójkątach mają też taką samą miarę, gdyż dopełniają poprzednie dwa do $180 °$ .

RXn9gdZIjzQ3Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jak zauważasz, w trójkątach podobnych miary odpowiadających kątów są takie same. Własność ta, przysługuje trójkątom podobnym, nosi nazwę cechy $k k k$ podobieństwa trójkątów.

R1FZ1W1bynyGy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niestety, nie każde dwa czworokąty, które mają te samy miary odpowiadających kątów są podobne. Przykładem tego jest prostokąt i kwadrat. Oba mają te same miary kątów, ale mimo to nie są podobne. Aby stały się podobne, należy kwadrat zmienić na prostokąt lub prostokąt na kwadrat.

Podsumowując, jeżeli miary kątów trójkąta $A B C$ są równe miarom odpowiednich kątów trójkąta $A^{'} B^{'} C^{'}$ , to trójkąty te są podobne.

Zapoznaj się z poniższą animacją przedstawiającą opisaną cechę na podstawie zdjęć pewnego budynku.

R1bGl3RJugKDv1

Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów

Przykład 3

W trójkąt $A B C$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ wpisano romb $A F D E$ tak, jak na rysunku. Wykażemy, że długość boku tego rombu jest równa $\frac{a b}{a + b}$ .

RAuUWsespyk3l1

Przykład 4

Można wykazać, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego. Uzasadnij, że jest równy połowie boku trzeciego.

Rozważmy trójkąt $A B C$ , w którym punkty $D$ i $E$ są środkami boków odpowiednio $A C$ i $B C$ oraz

| C B | = 2 a

|A B| = c

|D E| = x

RO7YOaEzO1HaP1

RQmxBISwFMvN61

Ćwiczenie 1

Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne.
Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne.
Każde dwa trójkąty, w których stosunek miar kątów jest równy $1 : 2 : 4$ , są podobne.
Każde dwa trójkąty o równych obwodach są podobne.
Każde dwa trójkąty przystające są podobne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRvVaoC5STZ1I1

Ćwiczenie 2

jest krótszy od każdego z boków trójkąta $ABC$
jest równy długości jednego z boków trójkąta $ABC$
jest równy $4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGwZG7YE6zaZU1

Ćwiczenie 3

$39 °$
$54 °$
$25 °$
$15 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RG9xATQYKfOqB1

Ćwiczenie 4

$36 : 9$
$3 : 6$
$1 : 4$
$18 : 36$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Rj3G7YuRFiDp71

Rysunek dwóch trójkątów podobnych. Pierwszy trójkąt ma boki długości x i cztery. Drugi trójkąt ma boki długości 2,4 i 3,2. Długość boku x pierwszego trójkąta odpowiada długości 2,4 drugiego trójkąta oraz długość boku 4 pierwszego trójkąta odpowiada długości 3,2 drugiego trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RuZ0G5cZtw6OL

$x = 1,4$
$x = 5,3$
$x = 1,92$
$x = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RB9N9LQQIdpuA1

Rysunek trójkąta A D E. Punkt B dzieli bok AD trójkąta na dwa odcinki długości AB = 3 i BD=2. Punkt C dzieli bok AE trójkąta na dwa odcinki długości AC=x i CE=3. Odcinki BC i DE są równoległe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rwb2iA9O4LYiU

$x = 1,8$
$x = 4,5$
$x = 6$
$x = 9$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RG7FrEDzrYdp11

Rysunek trójkąta A D E. Punkt B dzieli bok AD trójkąta na dwa odcinki długości AB = 3 i BD=2. Punkt C dzieli bok AE trójkąta na dwa odcinki długości AC i CE. Odcinki BC i DE są równoległe. Odcinek BC = x i odcinek DE=5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1K5lU0iOoBTu

$x = 3$
$x = 7,5$
$x = 1$
$x = 1,2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1a2nixMmYgbG1

Rysunek dwóch równoramiennych trójkątów podobnych. W pierwszym trójkącie ramiona mają długość 7 a podstawa trzy. W drugim trójkącie ramiona mają długość 3,5 a podstawa 1 i pół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgIkrX6w1InbC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RThY5yK2nGKc32

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtE7Hp0cvanob2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RphxBo0sanSuL2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDKzqtNxhrFZe2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SpFYtLJ0aGk2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ry5ZvCsoB66Ju2

Ćwiczenie 14

$3 dm$
$240 cm$
$90 cm$
$12 dm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

RVx31ybw3jprw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CqTXxrtI34P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nazwijmy czworokąt $A B C D$ , a środki boków odpowiednio $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . Odcinki $E F$ i $H G$ łączą środki boków, czyli zachodzą proporcje:

$\frac{|E B|}{|A B|} = \frac{|B F|}{|B C|} = \frac{1}{2}$ , czyli odcinek $E F$ jest równoległy do $A C$ .

$\frac{|D H|}{|D A|} = \frac{|D G|}{|D C|} = \frac{1}{2}$ , czyli odcinek $H G$ jest równoległy do $A C$ .

Stąd odcinki $E F$ i $H G$ są równoległe do siebie.

Podobnie:

$\frac{|A E|}{|A B|} = \frac{|A H|}{|A D|} = \frac{1}{2}$ , czyli $H E$ jest równoległy do $B D$ .

$\frac{|C G|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C B|} = \frac{1}{2}$ , czyli odcinki $G F$ i $B D$ są równoległe.

W czworokącie $E F G H$ :

$E F ∥ G H$

$H E ∥ G F$ ,

czyli czworokąt ten jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 16

Narysuj dowolny trójkąt i podziel go na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi $4 : 9$ .

RopaGeihHXfc0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj przykład dowolnego trójkąta i zastanów się czy można go podzielić na dwa trójkąty w taki sposób, żeby stosunek ich pól wynosił $4 : 9$ .

R3WZE4xu6wHup

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podziel podstawę trójkąta na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy $4 : 9$ . Odcinek poprowadzony z przeciwległego wierzchołka do punktu podziału dzieli dany trójkąt na szukane trójkąty.

R1PR8rmiCrRmD

Załóżmy, że wybrany przez nas trójkąt ma podstawę długości $13$ . Podstawę tą należy podzielić na dwie części, jedną część o długości $4$ i drugą część o długości $9$ . Dla dowolnej wysokości tego trójkąta stosunek pól tych trójkątów będzie wynosił $4 : 9$ .

RKk0xLu8ozDV12

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Zh3GJyVZaBm2

Ćwiczenie 18

Dowolne dwa trójkąty równoramienne są podobne.
Dowolne dwa trójkąty o jednakowych kątach są podobne.
Dowolne dwa trójkąty o jednakowych polach są podobne.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsZFJEj0elx6I2

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EpSKxjTipy63

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.