Zadania związane z różnymi własnościami okręgów
Zapoznaj się z poniższą infografiką i przypomnij sobie podstawowe pojęcia związane z okręgami.
Własności okręgów
Kąty w okręgu
środkowe – Kąty, które mają wierzchołek w środku okręgu, a ramionami są promienie okręgu. Każdy kąt środkowy oparty na pewnym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego, opartego na tym samym łuku.
wpisane – Kąty, które mają wierzchołek na okręgu, a ramionami są cięciwy okręgu. Kąt wpisany oparty na pewnym łuku jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
wzajemne położenie prostej i okręgu
sieczna – Prosta, która przecina okrąg w dokładnie dwóch punktach,
styczna – Prosta, która przecina okrąg w dokładnie jednym punkcie. Jest ona prostopadła do promienia łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.
rozłączna – Prosta, która w żadnym punkcie nie przecina okręgu.
podział koła
wycinek – Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.
odcinek – Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.
okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
promień – Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i oraz przeciwprostokątnej długości jest równy
.
okrąg opisany na trójkącie prostokątnym
średnica – Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą opisanego na nim okręgu.
promień – Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość równą połowie przeciwprostokątnej.
Punkty , , leżą na okręgu o środku . Miara kąta jest równa , a kąt jest prosty (jak na rysunku).
Odcinek jest średnicą okręgu o środku , punkty i leżą na tym okręgu. Kąty w tym okręgu zaznaczono na rysunku.
Trzy okręgi, każdy o promieniu , są styczne zewnętrznie każdy do każdego. Okręgi wpisano w prostokąt, jak na rysunku. Oblicz długości boków tego prostokąta.
R1XOHY4OVSuzU1 Trzy okręgi, każdy o promieniu , są parami styczne zewnętrznie. Każdy z tych okręgów jest wewnętrznie styczny do czwartego okręgu, jak na rysunku. Uzasadnij, że promień czwartego okręgu jest równy .
RgnRloWz8XRFS1
Poprowadzono styczne do okręgu o środku , w punktach i , które przecięły się w punkcie . Odcinek ma długość . Przez punkt leżący na krótszym z łuków , poprowadzono styczną do okręgu, która przecina odcinki i w punktach i (jak na rysunku). Oblicz obwód trójkąta .
Na rysunku jest przedstawiony kąt o wierzchołku oraz okrąg o środku i promieniu , styczny w punktach i do ramion tego kąta.
Dany jest prostokąt . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i . Wykaż, że punkty , i leżą na jednej prostej.
Odległość środków dwóch kół jest równa i promień każdego z nich jest równy . Oblicz pole części wspólnej tych kół.
RVLrJvsgriput1 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości i . Trzy półokręgi, których średnicami są boki tego trójkąta, wyznaczają figurę zaznaczoną na rysunku (są to tzw. księżyce Hipokratesa). Oblicz pole tej figury.
RmSk3w855yHJ71
Odcinek jest średnicą okręgu o środku . Punkt leży na tym okręgu. Punkty , i leżą na okręgu o środku .
Dane są trzy okręgi o środkach , , i promieniu . Każdy z tych okręgów przechodzi przez środki dwóch pozostałych.
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do jego boków w punktach , i tak, jak pokazano na rysunku. Długości odcinków , i są równe , oraz . Oblicz obwód trójkąta .
Punkty i leżą na okręgu o środku . Kąt środkowy ma miarę . Oblicz miarę kąta, pod jakim przecinają się styczne do tego okręgu poprowadzone przez punkty i .
Na okręgu koła o promieniu leżą punkty , , (patrz rysunek). Oblicz pole zacieniowanego odcinka koła.
Dwa okręgi o promieniach i są styczne zewnętrznie, a także są styczne do ramion kąta (patrz rysunek). Oblicz odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta.
Dane są dwa okręgi: pierwszy o środku i promieniu , a drugi o środku i promieniu . Odległość między środkami tych okręgów jest równa . Wspólna styczna do tych okręgów przecina prostą w punkcie . Oblicz długości odcinków i . Rozważ dwa przypadki.
Trzy okręgi o środkach , , i promieniach odpowiednio równych , , są parami styczne zewnętrznie. Punktami styczności są punkty , , . Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do jego boków w punktach , , .