Lekcja poświęcona jest zadaniom tekstowym, które najprościej rozwiązuje się układając i rozwiązując odpowiednie równanie. W tym materiale:
zapiszesz treści zadań za pomocą równań,
rozwiążesz zadania tekstowe z kontekstem realistycznym i z elementami geometrii, za pomocą równań.
Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie podstawowe wiadomości dotyczące tego zagadnienia, zajrzyj do lekcji Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań D1G6Bgq3k Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań .
1
Ćwiczenie 1
RCIZvcMinWz5k 1 Wśród kwiatów rosnących w ogródku pani Urszuli połowa to róże, tulipany stanowią czwartą część wszystkich kwiatów, a żonkile ósmą część wszystkich kwiatów. Oprócz nich rośnie jeszcze 14 narcyzów. Ile kwiatów rośnie w ogródku pani Urszuli? Oblicz i wpisz odpowiedź w lukę. Odpowiedź: W ogródku pani Urszuli rośnie Tu uzupełnij kwiatów.
Wśród kwiatów rosnących w ogródku pani Urszuli połowa to róże, tulipany stanowią czwartą część wszystkich kwiatów, a żonkile ósmą część wszystkich kwiatów. Oprócz nich rośnie jeszcze 14 narcyzów. Ile kwiatów rośnie w ogródku pani Urszuli? Oblicz i wpisz odpowiedź w lukę. Odpowiedź: W ogródku pani Urszuli rośnie Tu uzupełnij kwiatów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Wyznacz rozwiązanie równania 1 2 x + 1 4 x + 1 8 x + 14 = x .
1
Ćwiczenie 2
RaDnFRolOK9gY 1 W akwarium Michała pływają skalary, gupiki i welony. Skalarów jest o pięć więcej niż welonów, a gupików dwa razy więcej niż welonów. Ile skalarów, gupików i welonów pływa w akwarium Michała, jeżeli wszystkich ryb jest 13 ? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ilość skalarów pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .Ilość gupików pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .Ilość welonów pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .
W akwarium Michała pływają skalary, gupiki i welony. Skalarów jest o pięć więcej niż welonów, a gupików dwa razy więcej niż welonów. Ile skalarów, gupików i welonów pływa w akwarium Michała, jeżeli wszystkich ryb jest 13 ? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ilość skalarów pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .Ilość gupików pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .Ilość welonów pływających w akwarium Michała to 1. 7 , 2. 2 , 3. 4 , 4. 9 , 5. 6 , 6. 3 .
W akwarium Michała pływają skalary, gupiki i welony. Skalarów jest o pięć więcej niż welonów, a gupików dwa razy więcej niż welonów. Ile skalarów, gupików i welonów pływa w akwarium Michała, jeżeli wszystkich ryb jest 13 ? Przeciągnij i upuść liczbę odpowiadającą ilości każdego z gatunków ryb.
4 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9
Ilość skalarów: ............
Ilość gupików: ............
Ilość welonów: ............
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Wyznacz rozwiązanie równania x + x + 5 + 2 x = 13 , aby poznać liczbę welonów w tym akwarium. Liczbę gupików i skalarów oblicz korzystając z informacji podanych w poleceniu oraz z rozwiązania powyższego równania.
2
Ćwiczenie 3
RPCCub8sfL9id 2 Zosia podzieliła wstążkę na dwie części, tak że pierwsza z nich stanowiła 3 4 całej długości wstążki. Druga część była o 8 cm krótsza od pierwszej. Jaka była długość wstążki przed podziałem? Oblicz i wpisz w lukę odpowiedź. Odpowiedź: Przed podziałem długość wstążki wynosiła Tu uzupełnij cm .
Zosia podzieliła wstążkę na dwie części, tak że pierwsza z nich stanowiła 3 4 całej długości wstążki. Druga część była o 8 cm krótsza od pierwszej. Jaka była długość wstążki przed podziałem? Oblicz i wpisz w lukę odpowiedź. Odpowiedź: Przed podziałem długość wstążki wynosiła Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Wyznacz rozwiązanie równania 3 4 x + 3 4 x - 8 = x .
R11dCkXVz98Zx 2
Ćwiczenie 4
Kinga kupiła bluzkę i spódnicę, za które zapłaciła 138 zł . Bluzka była o 43 zł tańsza od spódnicy. Jeżeli przez x oznaczymy cenę bluzki, to jakiej postaci będzie równanie opisujące treść zadania? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2 x - 43 = 138 , 2. 2 x + 43 = 138 , 3. x + 43 = 138 , 4. x - 43 = 138
2 x – 43 = 138
2 x + 43 = 138
x + 43 = 138
x – 43 = 138
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5
RuK7mUNd7uG3W 2 Maciek kupił 2 długopisy i ołówek, za które zapłacił 15 , 20 zł . Długopis był o 20 % droższy od ołówka. Jeżeli przez x oznaczymy cenę ołówka, to równanie opisujące treść zadania będzie postaci: Możliwe odpowiedzi: 1. 2 x + 1 , 2 x = 15 , 20 , 2. x + 2 , 4 x = 15 , 20 , 3. x + 1 , 6 x = 15 , 20 , 4. 2 x + 0 , 8 x = 15 , 20
2 x + 1,2 x = 15,20
x + 2,4 x = 15,20
x + 1,6 x = 15,20
2 x + 0,8 x = 15,20
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zwróć uwagę na to, że cena długopisu to 120 % x = 1 , 2 x .
2
Ćwiczenie 6
R1N0DGPuKtzOO 2 Gospodarstwa Pawlaka i Nowaka mają razem 8 , 6 ha powierzchni. Jaka jest powierzchnia każdego z gospodarstw, jeżeli gospodarstwo Pawlaka jest o 15 % większe od gospodarstwa Nowaka? Oblicz i uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Gospodarstwo Nowaka ma Tu uzupełnij ha , a gospodarstwo Pawlaka Tu uzupełnij ha .
Gospodarstwa Pawlaka i Nowaka mają razem 8 , 6 ha powierzchni. Jaka jest powierzchnia każdego z gospodarstw, jeżeli gospodarstwo Pawlaka jest o 15 % większe od gospodarstwa Nowaka? Oblicz i uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Gospodarstwo Nowaka ma Tu uzupełnij ha , a gospodarstwo Pawlaka Tu uzupełnij ha .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zakładając, że x oznacza powierzchnię gospodarstwa Nowaka, wyznacz rozwiązanie równania x + 1 , 15 x = 8 , 6 . Następnie oblicz powierzchnię gospodarstwa Pawlaka.
Przykład 1
Zmieszano ze sobą różne ilości dwóch solanek o różnych stężeniach procentowych. Wiemy, że pierwsza solanka ma stężenie 10 % , a druga 15 % . Po zmieszaniu obu solanek otrzymano 100 g solanki o stężeniu 11 % . Obliczymy, jakie ilości obu solanek zmieszano.
Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy ułożyć, a następnie rozwiązać odpowiednie równanie. Wiemy, że obie solanki łącznie ważą 100 g . Oznacza to, że jedna z solanek waży x g , a druga 100 - x g .
Rozwiązaniem równania
x · 10 % + 100 - x · 15 % = 100 · 11 %
jest liczba x = 80 . Oznacza to, że solanki 10 -procentowej było 80 g , a solanki 15 -procentowej było 20 g .
RSPxcYrZsj0jB 2
Ćwiczenie 7
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 5 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 20 -procentowej = 50 dag solanki 10 -procentowej
1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 10 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 4 -procentowej = 40 dag solanki 8 -procentowej
1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 25 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 30 -procentowej = 60 dag solanki 28 -procentowej
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 5 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 20 -procentowej = 50 dag solanki 10 -procentowej
1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 10 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 4 -procentowej = 40 dag solanki 8 -procentowej
1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 25 -procentowej + 1. 36 dag , 2. 33 1 3 dag , 3. 26 2 3 dag , 4. 24 dag , 5. 13 1 3 dag , 6. 16 2 3 dag solanki 30 -procentowej = 60 dag solanki 28 -procentowej
Uzupełnij.
26 2 3 dag , 36 dag , 13 1 3 dag , 16 2 3 dag , 33 1 3 dag , 24 dag
a) .................... solanki 5 -procentowej + .................... solanki 20 -procentowej = 50 dag solanki 10 -procentowej
b) .................... solanki 10 -procentowej + .................... solanki 4 -procentowej = 40 dag solanki 8 -procentowej
c) .................... solanki 25 -procentowej + .................... solanki 30 -procentowej = 60 dag solanki 28 -procentowej
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8
RdBNgAa82znRc Paweł i Gaweł mają razem a znaczków, ale kolekcja Pawła jest o 1 4 większa od kolekcji Gawła. Ile znaczków ma Paweł? Oblicz, a następnie zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 5 9 · a , 2. 1 2 · a , 3. 2 3 · a , 4. 3 7 · a
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zakładając, że x oznacza liczbę znaczków w kolekcji Gawła, to liczba znaczków w kolekcji Pawła wynosi x + 1 4 x = 5 4 x . Wyznacz rozwiązanie równania x + 5 4 x = a . Otrzymany wynik odejmij od a , aby otrzymać liczbę znaczków w kolekcji Pawła.
2
Ćwiczenie 9
R1IiziFH91Yff 2 Zosia narysowała 18 figur: kwadraty, trójkąty i koła. Ile figur geometrycznych każdego rodzaju narysowała Zosia, jeżeli trójkątów było o 50 % więcej niż kół, a kwadratów o 20 % mniej niż kół i trójkątów razem? Przeciągnij i upuść liczbę odpowiadającą ilości narysowanych figur. Odpowiedź: Zosia narysowała: 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 koła, 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 trójkątów i 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 kwadratów.
Zosia narysowała 18 figur: kwadraty, trójkąty i koła. Ile figur geometrycznych każdego rodzaju narysowała Zosia, jeżeli trójkątów było o 50 % więcej niż kół, a kwadratów o 20 % mniej niż kół i trójkątów razem? Przeciągnij i upuść liczbę odpowiadającą ilości narysowanych figur. Odpowiedź: Zosia narysowała: 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 koła, 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 trójkątów i 1. 4 , 2. 8 , 3. 7 , 4. 5 , 5. 9 , 6. 6 , 7. 3 , 8. 2 , 9. 1 , 10. 10 kwadratów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zakładając, że x oznacza liczbę kół, rozwiąż równanie x + 1 , 5 x + 0 , 8 · 2 , 5 x = 18 . Na podstawie rozwiązania równania i treści ćwiczenia wyznacz liczby odpowiednich figur.
2
Ćwiczenie 10
R1Ty10D3kM0Pu 2 Ania jest o 5 lat młodsza od Stasia. Cztery lata temu Staś był dwa razy starszy od Ani. Ile lat ma Ania, a ile Staś? Oblicz i wpisz odpowiedź. Odpowiedź: Ania ma Tu uzupełnij lat, a Staś ma Tu uzupełnij lat.
Ania jest o 5 lat młodsza od Stasia. Cztery lata temu Staś był dwa razy starszy od Ani. Ile lat ma Ania, a ile Staś? Oblicz i wpisz odpowiedź. Odpowiedź: Ania ma Tu uzupełnij lat, a Staś ma Tu uzupełnij lat.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zakładając, że x oznacza wiek Ani, rozwiąż równanie x + 1 = 2 x - 4 . Na podstawie rozwiązania i treści ćwiczenia wyznacz wiek Stasia.
Rza4Rdlx5Ittb 2
Ćwiczenie 11
Połącz w pary treści zadań z równaniami, za pomocą których można zapisać te treści. Tata jest o 24 lata starszy od Kasi. Cztery lata temu był od niej cztery razy starszy. Przez x oznaczmy wiek taty. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Kinga jest o 15 lat starsza od Basi. Siedem lat temu była od niej dwa razy starsza. Przez x oznaczmy wiek Basi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Tata jest o 24 lata starszy od Kasi. Cztery lata temu był od niej cztery razy starszy. Przez x oznaczmy wiek Kasi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Kinga jest o 15 lat starsza od Basi. Siedem lat temu była od niej dwa razy starsza. Przez x oznaczmy wiek Kingi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7
Połącz w pary treści zadań z równaniami, za pomocą których można zapisać te treści. Tata jest o 24 lata starszy od Kasi. Cztery lata temu był od niej cztery razy starszy. Przez x oznaczmy wiek taty. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Kinga jest o 15 lat starsza od Basi. Siedem lat temu była od niej dwa razy starsza. Przez x oznaczmy wiek Basi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Tata jest o 24 lata starszy od Kasi. Cztery lata temu był od niej cztery razy starszy. Przez x oznaczmy wiek Kasi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7 Kinga jest o 15 lat starsza od Basi. Siedem lat temu była od niej dwa razy starsza. Przez x oznaczmy wiek Kingi. Możliwe odpowiedzi: 1. x - 7 = 2 x - 22 , 2. x + 20 = 4 x - 4 , 3. x - 4 = 4 x - 28 , 4. x + 8 = 2 x - 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BaPP9xp17mS 2
Ćwiczenie 12
W trapezie równoramiennym kąt leżący przy dłuższej podstawie jest o 24 ° mniejszy od kąta leżącego przy krótszej podstawie. Miary kątów trapezu wynoszą Możliwe odpowiedzi: 1. 61 ° i 119 ° , 2. 78 ° i 102 ° , 3. 66 ° i 114 ° , 4. 24 ° i 156 °
61 ° i 119 °
78 ° i 102 °
66 ° i 114 °
24 ° i 156 °
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 13
RFqCOTfqujBPB 3 Prostokąt, w którym jeden z boków jest o 4 cm dłuższy od drugiego, ma pole o 16 cm 2 większe od pola kwadratu o boku takiej samej długości, jak krótszy bok prostokąta. Oblicz długości boków prostokąta i wpisz je w kolejności rosnącej. Boki prostokąta mają długość Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm .
Prostokąt, w którym jeden z boków jest o 4 cm dłuższy od drugiego, ma pole o 16 cm 2 większe od pola kwadratu o boku takiej samej długości, jak krótszy bok prostokąta. Oblicz długości boków prostokąta i wpisz je w kolejności rosnącej. Boki prostokąta mają długość Tu uzupełnij cm i Tu uzupełnij cm .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Pokaż podpowiedź Zakładając, że x oznacza krótszy bok prostokąta, rozwiąż równanie x x + 4 - x 2 = 16 . Następnie korzystając z rozwiązania równania i treści ćwiczenia oblicz długość drugiego boku prostokąta.
R13xaTxi0sJlf 3
Ćwiczenie 14
W dwóch słojach mieści się 160 litrów soku wiśniowego. Gdyby z większego słoja przelano 1 3 jego zawartości do mniejszego słoja, to w obu byłoby po tyle samo soku. Odpowiedz na pytanie, ile litrów soku jest w każdym ze słojów? Możliwe odpowiedzi: 1. 120 l i 40 l , 2. 130 l i 30 l , 3. 100 l i 60 l , 4. 90 l i 70 l
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.