Własności prostopadłościanu i sześcianu

Przypomnijmy najważniejsze własności prostopadłościanu i sześcianu.

R1OhJEAQ817H01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki prostopadłościanu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R1OGwp2NacClD1
Animacja 3D pokazuje kolumny. Kreślone są krawędzie jednej kolumny – powstaje prostopadłościan. Dwa jednakowe prostopadłościany rozkładają się na dwie różne siatki prostopadłościanu.
R1YLlQo4ncdvf1
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki prostopadłościanu, które składają się w jednakowe prostopadłościany. Prostopadłościan zmienia się w kolumnę, która stoi obok innych kolumn.

Poniższe dwie animacje 3D przedstawiają siatki sześcianu. Załóż specjalne okulary i obejrzyj oba filmy.

R2x3l7vKuyxmT1
Animacja 3D pokazuje leżące na stole kostki do gry. Kreślone są krawędzie jednej kostki – powstaje sześcian. Dwa jednakowe sześciany rozkładają się na dwie różne siatki sześcianu.
R156Bes6PdD131
Animacja 3D pokazuje dwie różne siatki sześcianu, które składają się w jednakowe sześciany. Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole.
Rvo8M2i5pF5Qn1
Ćwiczenie 1
Uzupełnij poniższe zdania podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Wszystkie krawędzie 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są tej samej długości.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma sześć ścian. 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma dwanaście krawędzi.1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu ma osiem wierzchołków.Z każdego wierzchołka 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu wychodzą trzy krawędzie.Ściany boczne 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są prostokątami, ale nie kwadratami.Wszystkie ściany 1. Prostopadłościan, 2. prostopadłościan i sześcian, 3. Sześcian, 4. prostopadłościanu i sześcianu, 5. Prostopadłościan, 6. prostopadłościanu, 7. Prostopadłościan i sześcian, 8. Prostopadłościan, 9. Sześcian, 10. prostopadłościanu, 11. Sześcian, 12. prostopadłościan i sześcian, 13. prostopadłościanu i sześcianu, 14. Sześcian, 15. Prostopadłościan i sześcian, 16. sześcianu, 17. Prostopadłościan i sześcian, 18. sześcian, 19. prostopadłościanu, 20. Prostopadłościan, 21. prostopadłościanu i sześcianu, 22. Sześcian, 23. Prostopadłościan, 24. sześcianu są kwadratami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

RtWhMkyWumFML1
Animacja 3D pokazuje prostopadłościan, który rozkłada się na siatkę prostopadłościanu. Zaznaczone są pola poszczególnych ścian: P = a razy b, P = b razy c, P = a razy c. Zapis: P = 2a razy b +2b razy c +2a razy c.
1
Ćwiczenie 2
R1cjgJSHnMHir
Dana jest siatka prostopadłościanu. Przeciągnij i upuść kafelki z właściwymi polami ścian oraz z całkowitym polem prostopadłościanu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WOwdgGOmmTK
Dany jest prostopadłościan o wymiarach 10 cm × 2,2 cm × 5 cm. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Najmniejsza ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. 11 cm2, 2. 186 cm2, 3. 166 cm2, 4. 50 cm2, 5. 22 cm2, 6. 25 cm2.Największa ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. 11 cm2, 2. 186 cm2, 3. 166 cm2, 4. 50 cm2, 5. 22 cm2, 6. 25 cm2.Średnia ściana tego prostopadłościanu ma pole powierzchni równe 1. 11 cm2, 2. 186 cm2, 3. 166 cm2, 4. 50 cm2, 5. 22 cm2, 6. 25 cm2.Pole całkowite tego prostopadłościanu wynosi 1. 11 cm2, 2. 186 cm2, 3. 166 cm2, 4. 50 cm2, 5. 22 cm2, 6. 25 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

P=P1+P2+P3+P4+P5+P6.
RB2xaYMW02hra1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach:

P1=P3, P2=P4, P5=P6.

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów:

P=2·a·b+a·c+b·c

lub

P=2·a·b+2·a·c+2·b·c

gdzie: a, bc to wymiary prostopadłościanu.

RB18509gXBybe1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 3

Oblicz pola powierzchni podanych prostopadłościanów.

  1. R1MbzdHvFgLhu
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R1cgTgfqCnG98
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RRm9EtWT8Jyge
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4ASIU4LBlSZe
Uzupełnij luki, wpisując obliczone pola powierzchni powyższych prostopadłościanów. P=Tu uzupełnij cm2P=Tu uzupełnij cm2P=Tu uzupełnij dm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4
RvS8ksjfjeh0M21
Oblicz pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeśli bryła ma wymiary 1 cm × 3 cm × 4 cm, to jej pole powierzchni wynosi P= 1. 1952 dm2, 2. 206000 cm2, 3. 38 cm2, 4. 15,2 m2, 5. 0,0038 dm2, 6. 195,2 m2, 7. 206 m2, 8. 15200 cm2.Jeśli bryła ma wymiary 2 dm × 6 dm × 8 dm, to jej pole powierzchni wynosi P= 1. 1952 dm2, 2. 206000 cm2, 3. 38 cm2, 4. 15,2 m2, 5. 0,0038 dm2, 6. 195,2 m2, 7. 206 m2, 8. 15200 cm2.Jeśli bryła ma wymiary 30 dm × 500 cm × 11 m, to jej pole powierzchni wynosi P= 1. 1952 dm2, 2. 206000 cm2, 3. 38 cm2, 4. 15,2 m2, 5. 0,0038 dm2, 6. 195,2 m2, 7. 206 m2, 8. 15200 cm2.Jeśli bryła ma wymiary 40 cm × 4 dm × 12 m, to jej pole powierzchni wynosi P= 1. 1952 dm2, 2. 206000 cm2, 3. 38 cm2, 4. 15,2 m2, 5. 0,0038 dm2, 6. 195,2 m2, 7. 206 m2, 8. 15200 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola powierzchni sześcianu

R1boYb8j51Sm21
Animacja 3D pokazuje sześcian, który rozkłada się na siatkę sześcianu o krawędzi długości a. Zapis P = 6 razy a do kwadratu.
2
Ćwiczenie 5

Uzupełnij pola powierzchni sześcianów, korzystając z przedstawionych siatek.

RWCLEO9zQQJuC
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R121Dfnks2seC
Uzupełnij luki, wpisując obliczone pola powierzchni powyższych sześcianów. P=Tu uzupełnij cm2P=Tu uzupełnij cm2P=Tu uzupełnij cm2P=Tu uzupełnij cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
Rysx6QQvcxzCe2
Uzupełnij zdania prawidłowymi liczbami. Suma długości krawędzi pewnego sześcianu wynosi 60 cm, więc jego pole powierzchni to Tu uzupełnij cm2.Suma długości krawędzi pewnego sześcianu wynosi 84 cm, więc jego pole powierzchni to Tu uzupełnij cm2.Suma długości krawędzi pewnego sześcianu wynosi 96 cm, więc jego pole powierzchni to Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7
R1Zwtkmbtt3a9
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi sześcianu mając podane poniżej jego pole powierzchni. Uzupełnij luki, wpisując w nie odpowiednie liczby. Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi 1,5 cm2, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij cm.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi 8,64 cm2, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij cm.Pole powierzchni pewnego sześcianu wynosi 2,94 cm2, więc suma długości jego krawędzi to Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1e4KLYVG1xxH3
Ćwiczenie 8
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 1 × 1 × 3 jest 4 razy mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 2 × 2 × 6., 2. Sześcian o krawędzi długości 3 ma pole powierzchni o  2 mniejsze od pola powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 2 × 3 × 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 9

Jaką długość krawędzi i jakie pole powierzchni ma sześcian, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę. Kratka ma bok długości 1.

R1dPhy99cAv2b1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcZQE69PNLvPZ
Uzupełnij puste miejsca liczbami. a. Długość krawędzi: Tu uzupełnij. Pole = Tu uzupełnij. b. Długość krawędzi: Tu uzupełnij. Pole = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 10

Jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać, wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku? Z arkusza wycinamy pojedyncze ściany, z których następnie formujemy siatkę.

Kratka ma bok długość 1.

RIu59qjlgfopa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDihjtOXGAlGB
Uzupełnij puste miejsca liczbami. a. Pole = Tu uzupełnij. b. Pole = Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 11
ROcKdcaKva8o3
Odpowiedź: Pole powierzchni tej skrzynki wynosi Tu uzupełnij dm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.