Odczytywanie własności funkcji z wykresu - przykłady

W tym materiale dowiesz się, w jaki sposób odczytywać własności funkcji z wykresu. Nauczysz się określać jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, wartość najmniejszą i największą oraz znak funkcji. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiałach Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu - zadania. Część IDPwNVQGIXOdczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu - zadania. Część I oraz Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część IIDN3uDwH58Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część II.

Przykład 1

Odczytaj miejsca zerowe funkcji przedstawionej na wykresie.

RhS8LhMefcAAK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli argument funkcji nie jest jej miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu jest dodatnia lub ujemna.
Oś $X$ dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi $X$ , ma drugą współrzędną dodatnią. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi $X$ , ma drugą współrzędną ujemną. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Ważne!

Mówimy, że znak funkcji $f$ jest dodatni w przedziale $(a, b)$ , gdy dla dowolnego $x$ z tego przedziału $f (x) > 0$ .
Mówimy, że znak funkcji jest ujemny w przedziale $(a, b)$ , gdy dla dowolnego $x$ z tego przedziału $f (x) < 0$ .

Przykład 2

Określ, dla jakich argumentów znak funkcji $f$ jest dodatni, a dla jakich ujemny.

R17jJGCogEAJp1

Przykład 3

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$ .

RwKR91Y6kzUim1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do ośmiu i pionową osią Y od minus czterech do czterech. W układzie narysowano wykres funkcji, który składa się z czterech odcinków. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie (-9,-3) i rośnie liniowo do punktu (-6,-1). Następnie wykres jest stały aż do punktu (-2,-1). W dalszej części wykres rośnie liniowo do punktu (2, 2). Następnie wykres jest stały aż do niezamalowanego punktu (7, 2). Zaznaczono miejsce zerowe wykresu punktem Q. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór wartości, liczbę miejsc zerowych.

ROxj0DfUOmQQl1

Odczytujemy z wykresu funkcji:

dziedzinę: przedział $⟨- 9, 7)$ ,
wartość najmniejszą: $(- 3)$ ,
wartość największą: $2$ ,
zbiór wartości: przedział $⟨- 3, 2⟩$ ,
liczbę miejsc zerowych: jedno.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $g$ .

R1O1WhEyKNAnV1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do ośmiu i pionową osią Y od minus jednego do dziesięciu. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych (-3, 9) i maleje po łuku do punktu (0, 0). Następnie funkcja rośnie po łuku do punktu (2, 4). W ostatnim etapie funkcja jest stała i nie zmienia swojej wartości do niezamalowanego punktu (6, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytaj z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejszą, wartość największą, zbiór wartości, liczbę miejsc zerowych, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne.

Odczytujemy z wykresu funkcji:

dziedzinę: przedział $(- 3, 6)$ ,
zbiór wartości: przedział $⟨0, 9)$ ,
wartość najmniejszą: $0$ ;
zauważmy, że funkcja $g$ nie przyjmuje wartości największej,
liczbę miejsc zerowych: jedno, jest to $x = 0$ ,
dla jakich argumentów funkcja $g$ przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego $x$ z przedziału $(- 3, 0)$ oraz dla każdego $x$ z przedziału $(0, 6)$ .
Zauważmy też, że funkcja $g$ nie przyjmuje wartości ujemnych.

Przykład 5

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $t$ .

RH2mp0JXUgU1F1

Wykres funkcji składa się z czternastu punktów: (-7, 3), (-6, 1), (-5, 2), (-4, 0), (-3, 4), (-2, 2), (-1, 1), (0, -2), (1, -2), (2, 0), (3, 2), (4, 1), (5, 0), (6, 2). Punkty w układzie są rozłożone przypadkowo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy z wykresu funkcji:

dziedzinę: zbiór czternastoelementowy $\{- 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ,
zbiór wartości: zbiór sześcioelementowy $\{- 2, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ,
wartość najmniejszą: $- 2$ ,
wartość największą: $4$ ,
liczbę miejsc zerowych: trzy, są to liczby: $- 4$ , $2$ , $5$ ,
dla jakich argumentów funkcja $t$ przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego $x$ ze zbioru $\{- 7, - 6, - 5, - 3, - 2, - 1, 3, 4, 6\}$ ,
dla jakich argumentów funkcja $t$ przyjmuje wartości ujemne: dla $x = 0$ oraz $x = 1$ .