Twierdzenie Pitagorasa

W aplecie przedstawiony jest trójkąt prostokątny ABC oraz trzy kwadraty, tak że każdy z nich zawiera jeden z boków trójkąta. Kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C. Tytuł apletu: Twierdzenie Pitagorasa - 4 . Pod tytułem znajduje się przycisk ze strzałką, umożliwiający przejście do kolejnych etapów apletu oraz następująca treść: Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa wiemy, że suma pól zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W drugim etapie pojawiają się na rysunku po prawej stronie wartości pól kwadratów. Najmniejszy kwadrat zbudowany na krótszej przyprostokątnej ma pole równe $6,61$, kwadrat zbudowany na dłuższej przyprostokątnej ma pole równe $11,71$ oraz kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej ma pole $18,32$. W komentarzu po lewej stronie pojawia się następująca treść: Możemy sprawdzić znaną nam teorię, odczytując przy każdorazowej zmianie położenia wierzchołka C miary pól utworzonych kwadratów. W trzecim etapie widnieje następująca treść: Przesuwaj suwak w lewo i obserwuj, że kwadraty zbudowane na bokach ABC, przekształcone są w prostokąty. Co dzieje się wówczas z polami tych prostokątów? Pod tym znajduj się pionowa kreska z suwakiem, który można przesuwać w lewą stronę. Wówczas kwadraty zamieniają się w prostokąty, a ich pole zmniejsza się aż do zera i stają się wówczas bokiem trójkąta ABC. W etapie czwartym rysunek po prawej stronie nie ulega zmianie, natomiast komentarz po lewej stronie ma następującą treść: Sprawdź, że suma pół prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych nadal jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Dlaczego tak się dzieje? Przypatrzmy się uważnie w jaki sposób zmieniają się prostokąty w trakcie przesuwania suwaka. Pod spodem znajduje się dokładnie ten sam suwak co wcześniej, umożliwiający zamianę kwadratów na prostokąty. Przykładowo prostokąt zbudowany na krótszej przyprostokątnej ma pole równe $4,82$, prostokąt zbudowany na dłuższej przyprostokątnej ma pole równe $8,55$ oraz prostokąt zbudowany na przeciwprostokątnej ma pole $13,37$. Suma pól dwóch pierwszych prostokątów jest równa trzeciemu polu prostokąta. W piątym etapie treść komentarza jest następująca: W trakcie przesuwania suwaka, boki prostokątów prostopadłe do boków trójkątów zmieniają się w sposób płynny i proporcjonalny. Wszystkie prostokąty przechodzą od kwadratów do odcinka. Pod spodem znajduje się nadal suwak. W szóstym etapie brzmi następująca treść: Aby to sprawdzić, zmierzymy wysokość prostokątów oraz ich podstawy, traktując za podstawy boki równoległe do boków trójkąta. Dla wcześniejszego przykładu prostokąt zbudowany na krótszej przyprostokątnej o polu $4,82$ ma wysokość $1,88$ oraz podstawę $2,57$, prostokąt o zbudowany na drugiej przyprostokątnej o polu $8,55$ ma wysokość $2,5$ oraz podstawę $3,42$, a prostokąt zbudowany na przeciwprostokątnej o polu $13,37$ ma wysokość $3,12$ oraz podstawę $4,28$. Z każdym przesuwaniem suwaka w lewą stronę wysokość zmniejsza się wraz z polem zostawiając bez zmian długość podstawy. W siódmym etapie pojawia się po lewej stronie treść: Odczytujemy stosunek długości wysokości każdego z prostokątów do długości jego podstawy. Dla podanego przykładu to $0,73$ dla każdego z prostokątów. Komentarz w etapie ósmym brzmi: Jak widać, stosunki długości tych odcinków dla wszystkich prostokątów są jednakowe. Oznacza to, że prostokąty te są podobne. W dziewiątym etapie treść jest następująca: Tak więc: Jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy prostokąty podobne, to suma pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. W dziesiątym etapie pojawia się dowód tego faktu: Wiemy, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to $a^2+b^2=c^2$, czyli $a·a+b·b=c·c$. Mnożąc tę równość przez liczbę $s\ne 0$, otrzymujemy $\left(sa\right)·a+\left(sb\right)·b=\left(sc\right)·c$. Oznacza to, że na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano prostokąty, których wymiary to: $sa$, $a$, $sb$, $b$ i  $sc$, $c$, czyli prostokąty podobne o skali $s$. Tę skalę zmieniamy suwakiem $s$.