Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale poznasz własności różnych trójkątów. Dowiesz się także, w jaki sposób klasyfikujemy trójkąty ze względu na długości boków oraz miary kątów. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.

1
Polecenie 1

Uzupełnij zdania w poniższym aplecie.

R2Q8LBecPmGPA11
Animacja przedstawia różne trójkąty. Należy podać liczbę i rodzaje kątów w tych trójkątach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RvsqjMZNGR1af
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Każdy trójkąt prostokątny ma 1. jeden kąt rozwarty, 2. dwa kąty rozwarte, 3. trzy kąty ostre, 4. dwa kąty proste, 5. dwa kąty ostre.Trójkąt równoramienny, o kącie przy podstawie równym 50°, ma 1. jeden kąt rozwarty, 2. dwa kąty rozwarte, 3. trzy kąty ostre, 4. dwa kąty proste, 5. dwa kąty ostre.Każdy trójkąt rozwartokątny ma 1. jeden kąt rozwarty, 2. dwa kąty rozwarte, 3. trzy kąty ostre, 4. dwa kąty proste, 5. dwa kąty ostre.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Ze względu na miary kątów wyróżniamy trójkąty: ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Trójkaty ostrokątne to takie, w których wszystkie kąty są kątami ostrymi. Trójkąty prostokątne mają jeden kąt prosty i dwa kąty ostre, a trójkąty rozwartokątne jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

1
Polecenie 2
RFA00iZ26D9xY1
Animacja przedstawia trzy trójkąty. W trójkącie A B C należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt rozwartokątny o kącie rozwartym 135 stopni przy wierzchołku B. W trójkącie K L M należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt o kącie prostym przy wierzchołku K i kącie o mierze 30 stopni przy wierzchołku M. W trójkącie P Q R należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt o kącie 35 stopni przy wierzchołku R i kącie o mierze 27 stopni przy wierzchołku P.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Geq29FfQFJq
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które zawierają miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta. Możliwe odpowiedzi: 1. 90°, 60°, 30°, 2. 100°, 90°, 10°, 3. 120°, 30°, 30°, 4. 80°, 90°,100°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Boki trójkąta prostokątnego mają swoje nazwy. Zapoznaj się z poniższym apletem.

Boki trójkąta prostokątnego mają swoje nazwy. Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R1Kdoqx2XwLM411
Animacja pokazuje trójkąt prostokątny. Podane są nazwy boków trójkąta: przyprostokątna, przeciwprostokątna i przyprostokątna, które należy dopasować do właściwych boków trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Ze względu na długości boków wyróżniamy trójkąty: równoboczne, równoramienne i różnoboczne. Trójkąty równoboczne są także trójkątami równoramiennymi.

1

Wykonaj polecenia zawarte w aplecie i sprawdź ich poprawność.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R157N7jlinp6311
Animacja przedstawia trójkąt A B C. Należy tak zmienić położenie wierzchołków aby w kolejnych krokach uzyskać trójkąt różnoboczny, trójkąt równoramienny i trójkąt równoboczny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1

Jaki trójkąt jest przedstawiony w aplecie? Jak nazywają się jego boki?

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R1TZZfzL8rMlZ11
Animacja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Należy poruszać jednym z wierzchołków trójkąta i obserwować długości jego boków oraz miary jego kątów. Należy odpowiedzieć na pytania: Jakim trójkątem pozostaje zawsze ten trójkąt? Który z boków w danym momencie jest podstawą tego trójkąta? Zauważamy, że trójkąt jest zawsze równoramienny, a podstawą jest bok AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W aplecie powyżej jest przedstawiony trójkąt równoramienny. Ma on co najmniej dwa boki równej długości zwane ramionami. Trzeci bok takiego trójkąta nazywa się podstawą.

1

Aplet przedstawia pewną własność trójkątów równoramiennych. Jak myślisz, jaka to własność?

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

Riknf3XAgLyBu11
Animacja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Zmieniając położenie wierzchołków A i C trójkąta należy obserwować długości boków i miary kątów powstających trójkątów. Można zauważyć, że długości ramion trójkąta zawsze mają tą samą długość, a oba kąty przy podstawie są zawsze tej samej miary.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę.

1
Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zawarte w nim zadania.

RLXpOJXel7j7j1
Animacja przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Zmieniając położenie wierzchołków A lub C trójkąta należy obserwować długości jego boków i miary jego kątów. Należy odpowiedzieć na pytanie: Jakim trójkątem pozostaje zawsze ten trójkąt? Zauważamy, że trójkąt zawsze pozostaje równoboczny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R2qOJ2mpijTIs
Połącz w pary nazwy trójkątów z ich opisami. Trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze większej niż 90°., 2. Posiada minimum dwa boki tej samej długości., 3. Posiada dokładnie trzy kąty ostre., 4. Posiada wszystkie boki takiej samej długości., 5. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze 90°. Trójkąt równoramienny Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze większej niż 90°., 2. Posiada minimum dwa boki tej samej długości., 3. Posiada dokładnie trzy kąty ostre., 4. Posiada wszystkie boki takiej samej długości., 5. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze 90°. Trójkąt równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze większej niż 90°., 2. Posiada minimum dwa boki tej samej długości., 3. Posiada dokładnie trzy kąty ostre., 4. Posiada wszystkie boki takiej samej długości., 5. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze 90°. Trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze większej niż 90°., 2. Posiada minimum dwa boki tej samej długości., 3. Posiada dokładnie trzy kąty ostre., 4. Posiada wszystkie boki takiej samej długości., 5. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze 90°. Trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze większej niż 90°., 2. Posiada minimum dwa boki tej samej długości., 3. Posiada dokładnie trzy kąty ostre., 4. Posiada wszystkie boki takiej samej długości., 5. Posiada dokładnie jeden kąt o mierze 90°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miary 60°.

1
Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zawarte w nim zadania.

ROyYLCnCoL6vs1
Animacja przedstawia cztery trójkąty. W trójkącie A B C należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i podstawie długości 3. W trójkącie K L M należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt prostokątny równoramienny o ramionach długości 6. W trójkącie P Q R należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt równoramienny rozwartokątny o kącie 120 stopni i podstawie długości 5. W trójkącie S T U należy tak zmienić położenie wierzchołków, aby powstał trójkąt równoramienny o bokach długości 8, 8, 8. W ostatnim przypadku należy odpowiedzieć na pytania: Jakie miary przyjmują kąty w tym trójkącie? Jaki to trójkąt?
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFI52hFoxLmNw
Poniżej wypisano długości boków kilku trójkątów. Który z nich jest równoramienny? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 3 cm, 5 cm, 4 cm, 2. 7 cm, 5 cm, 4 cm, 3. 12 cm, 10 cm, 4 cm, 4. 9 cm, 9 cm, 7 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dla zainteresowanych

Wytnij z papieru 15 jednakowych trójkątów różnobocznych (mogą być w trzech kolorach), a następnie ułóż z nich mozaikę wypełniającą fragment stolika. Przykładaj do siebie boki trójkątów o tej samej długości.

Wykorzystaj 15 jednakowych trójkątów różnobocznych (mogą być w trzech kolorach) do ułożenia mozaiki wypełniającej fragment stolika. Przykładaj do siebie boki trójkątów o tej samej długości.

2
Ćwiczenie 1

Korzystając z linijki i kratek w zeszycie, narysuj:

  1. trójkąt równoramienny o podstawie 3 cm,

  2. trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 5 cm,

  3. trójkąt równoramienny rozwartokątny o ramionach długości 512 cm,

  4. trójkąt równoboczny o bokach długości 6 cm.

RtXeagLZmZlqP
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aw81SZ0scfn2
Ćwiczenie 1
Wpisz odpowiednie miary kątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy wierzchołku to 100°, a miary kątów przy podstawie są równe Tu uzupełnij° i Tu uzupełnij°. 2. W pewnym trójkącie prostokątnym miary kątów ostrych wynoszą 60° i Tu uzupełnij°. 3. W pewnym trójkącie równoramiennym miara kąta przy podstwie to 30°, a miara kąta przy wierzchołku jest równa Tu uzupełnij°. 4. W każdym trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt. Dorysuj do niego taki trójkąt, aby powstał trójkąt:

  1. prostokątny

  2. rozwartokątny

  3. równoramienny

    R1dhsifWuKstk1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsgxvYQtaHhzt
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RzeGOJyvvyAQK2
Ćwiczenie 2
Wpisz nazwy trójkątów tak, aby zdania były prawdziwe. 1. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości i trzeci bok innej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 2. Trójkąt, który ma jeden kąt 90°, to trójkąt Tu uzupełnij. 3. Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości, to trójkąt Tu uzupełnij. 4. Trójkąt, który ma jeden kąt większy niż 90°, to trójkąt Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 3

Narysuj trzy jednakowe trójkąty prostokątne, a następnie podziel jeden z nich na 2 trójkąty prostokątne, drugi – na 3 trójkąty prostokątne, a trzeci - na 4 trójkąty prostokątne.

Rs56do54amJwx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JL69PthSnQ4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1T8La7xqfFOP2
Ćwiczenie 3
W trójkącie równobocznym poprowadzono jego wysokość. Wysokość ta dzieli trójkąt na dwa trójkąty Możliwe odpowiedzi: 1. prostokątne, 2. ostrokątne, 3. rozwartokątne, 4. równoramienne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 4

Narysuj trójkąt rozwartokątny, a następnie podziel go na 4 trójkąty rozwartokątne.

R7EJo8ZahkLCB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11H8pChX7PCX
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROOOOzfTXCJZJ3
Ćwiczenie 4
Które z podanych kątów mogą być kątami trójkąta równoramiennego rozwartokątnego? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 120°, 30°, 30°, 2. 90°, 45°, 45°, 3. 120°, 40°, 20°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JyjBRq3KAXj3
Ćwiczenie 5
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt prostokątny nie może mieć dwóch kątów prostych., 2. Trójkąt równoramienny może być rozwartokątny., 3. Trójkąt prostokątny nie może być rozwartokątny., 4. Trójkąt równoboczny nie jest równoramienny., 5. Trójkąt równoramienny jest równoboczny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.