Miary rozproszenia - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są informacje na temat podstawowych miar rozproszenia. Obliczysz rozstęp, odchylenie przeciętne, odchylenie standardowe i wariancję zestawu danych.

Przykład 1

Właściciel dwóch sklepów z odzieżą, położonych w różnych miejscach miasta, próbuje ustalić, które bluzki sprzedają się najlepiej w każdym z jego sklepów, przy czym bierze pod uwagę jedynie cenę bluzki. Chce w ten sposób ustalić, jaki towar powinien zamówić. Zanotował, że podczas ostatniego dnia w pierwszym sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $10 zł$ , $80 zł$ , $20 zł$ , $20 zł$ , $90 zł$ , $10 zł$ , $90 zł$ , $80 zł$ . W tym samym czasie w drugim sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): $50 zł$ , $50 zł$ , $40 zł$ , $60 zł$ , $50 zł$ , $40 zł$ , $60 zł$ , $50 zł$ , $50 zł$ , $50 zł$ .

Ceny te, po uporządkowaniu w kolejności niemalejącej, zapisał w następującej tabeli:

$1$ sklep	$2$ sklep
$10 zł$	$40 zł$
$10 zł$	$40 zł$
$20 zł$	$50 zł$
$20 zł$	$50 zł$
$80 zł$	$50 zł$
$80 zł$	$50 zł$
$90 zł$	$50 zł$
$90 zł$	$50 zł$
	$60 zł$
	$60 zł$

Zauważmy, że średnia cena zakupionej bluzki oraz mediana są takie same w obu sklepach.

W pierwszym sklepie

\bar{x} = \frac{10 + 10 + 20 + 20 + 80 + 80 + 90 + 90}{8} = \frac{400}{8} = 50

oraz mediana jest równa

\frac{20 + 80}{2} = 50

W drugim sklepie

\bar{x} = \frac{40 + 40 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 60 + 60}{10} = \frac{500}{10} = 50

oraz mediana jest równa

\frac{50 + 50}{2} = 50

Na podstawie tych danych można wysnuć wnioski, że w obu sklepach sprzedaż wygląda podobnie.

Zilustrujmy jednak te dane na wykresach.

R1FxCZ4z8eHVm1

Wykresy w postaci punktów, z których odczytujemy cenę kolejno sprzedawanych bluzek w rozbiciu na sklepy. Na obu wykresach poprowadzona prosta dla średniej ceny bluzek – 50 zł. Sklep 1 Bluzka 1 – cena 10 zł, bluzka 2 – 10 zł, bluzka 3 – 20 zł, bluzka 4 – 20 zł, bluzka 5 – 80 zł, bluzka 6 – 80 zł, bluzka 7 – 90 zł, bluzka 8 – 90 zł. Sklep 2 Bluzka 1 – cena 40 zł, bluzka 2 – 40 zł, bluzka 3 – 50 zł, bluzka 4 – 50 zł, bluzka 5 – 50 zł, bluzka 6 – 50 zł, bluzka 7 – 50 zł, bluzka 8 – 50 zł, bluzka 9- 60 zł, bluzka 10 – 60 zł. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na pierwszym wykresie dane znajdują się w sporej odległości od średniej $x = 50$ , na drugim skupiają się wokół niej. W pierwszym zestawie danych są kwoty bardzo małe i bardzo duże w stosunku do średniej. Może to oznaczać, że do sklepu przychodzą zarówno zamożni klienci, jak i wydający na ubrania minimum pieniędzy. W drugim sklepie większość danych jest bliska średniej i medianie. Może to oznaczać, że klienci drugiego sklepu to ludzie średnio zamożni, którzy wybierają towar przeciętny, nie za drogi i nie za tani.

Właściciel sklepów prowadził podobne badanie przez kilka kolejnych dni i wnioski powtarzały się. Zdecydował się więc do pierwszego sklepu zamówić bluzki bardzo tanie i droższe, zaś do drugiego takie, których cena jest bliska $50 zł$ .

Przykład 2

Pewna firma zajmuje się prowadzeniem szkoleń. Po każdym ze szkoleń uczestnicy oceniają trenera prowadzącego szkolenie. Ocena ta jest liczbą całkowitą od $1$ (najniższa ocena) do $10$ . Jedno ze szkoleń, w którym wzięło udział $20$ uczestników, prowadzone było przez dwóch trenerów. Na poniższym wykresie przedstawiono otrzymane przez nich oceny.

R1VvLscCy8UC61

Diagram słupkowy pionowy, z którego odczytujemy liczbę ocen, wystawionych przez uczestników szkolenia dwóm trenerom, w zależności od oceny jaką otrzymali. Trener 1 Ocena 1 – wystawione 2 oceny, ocena 2 – wystawione 2 oceny, ocena 3 – wystawiona 1 ocena, ocena 4 – wystawione 2 oceny, ocena 7 – wystawiona 1 ocena, ocena 8 – wystawione 2 oceny, ocena 9 – wystawione 5 ocen, ocena 10 - wystawione 5 ocen. Trener 2 Ocena 6 - wystawione 8 ocen, ocena 7 – wystawione 9 ocen, ocena 8 – wystawione 3 oceny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczmy średnią ocen, jaką otrzymał każdy z trenerów.

Trener $1$ : $\bar{x_{1}} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 5}{20} = \frac{135}{20} = 6,75$ .

Trener $2$ : $\bar{x_{2}} = \frac{6 \cdot 8 + 7 \cdot 9 + 8 \cdot 3}{20} = \frac{135}{20} = 6,75$ .

Średnia ocen jest taka sama. Wykres natomiast wskazuje na inne rozkłady poszczególnych ocen jednostkowych. Trener $1$ otrzymał oceny prawie z całej skali. Są one rozproszone w stosunku do oceny średniej, a więc część uczestników szkolenia oceniła go bardzo wysoko, a część bardzo nisko. Trener $2$ otrzymał jedynie oceny $6$ , $7$ i $8$ , a więc skupione wokół średniej. Może nie jest idealny (nie otrzymał $10$ ), ale ludziom się na ogół podobał i nie wzbudzał negatywnych odczuć.
Oczywiście, jeżeli zestaw danych jest większy, to trudniej zaobserwować jego strukturę. Do oceny koncentracji badanych danych służą miary rozproszenia. Najprostszą miarą rozproszenia jest rozstęp, czyli różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością.

R = x_{\max} - x_{\min}

Dużą zaletą tej charakterystyki jest łatwość jej wyznaczania. Jednak nie informuje nas ona, jak w przedziale $⟨x_{\min}, x_{\max}⟩$ o długości $R$ są rozłożone poszczególne dane. Czy np. są skupione wokół jednego punktu, czy rozrzucone w tym przedziale. Rozstęp mówi tylko o tym, jaką długość ma najkrótszy przedział zawierający wszystkie dane.

Przykład 3

Obliczmy rozstęp dla każdej z wielkości występujących w poprzednich dwóch przykładach.

Dla pierwszego sklepu $R = 90 - 10 = 80$ , a dla drugiego $R = 60 - 40 = 20$ . Zauważymy więc, że różnica w cenie najdroższej i najtańszej bluzki w pierwszym sklepie wynosi $80 zł$ , zaś w drugim $20 zł$ , czyli jest cztery razy mniejsza. Zatem w drugim sklepie ceny są bardziej „skupione”.

W drugim przykładzie dla pierwszego trenera $R = 10 - 1 = 9$ , a dla drugiego $R = 8 - 6 = 2$ . Tutaj także rozstęp wyników drugiego trenera jest mniejszy niż pierwszego.

Najczęściej jednak potrzebujemy dokładniejszej analizy rozproszenia danych. Zauważmy, że dla tego samego rozstępu dane mogą układać się bardzo różnie. Na przykład rozstęp w zestawie danych: $1$ , $3$ , $3$ , $3$ , $3$ , $3$ , $3$ , $3$ , $5$ jest równy $4$ i jest taki sam jak w zestawie: $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ . Jednak w pierwszym zestawie, poza danymi skrajnymi, występuje wielokrotnie ta sama wartość $3$ , a w drugim zestawie występują wszystkie wartości całkowite od $1$ do $5$ i prawie każda tak samo często. Spróbujemy skonstruować taki wskaźnik, który pozwoli nam odróżnić te dwie sytuacje.

Zajmiemy się więc badaniem odległości każdej danej od średniej. Odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej to wartość bezwzględna różnicy tych liczb. Zatem odchylenie liczby $x_{i}$ od średniej $\bar{x}$ , to

|x_{i} - \bar{x}|

Obliczmy odchylenia średnich cen bluzek z przykładu pierwszego w każdym z dwóch sklepów. Wyniki zapiszmy w tabeli.

$I$ sklep		$II$ sklep
Cena bluzki $x_{i}$	Odchylenie od średniej $\|x_{i} - \bar{x}\| = \|x_{i} - 50\|$	Cena bluzki $x_{i}$	Odchylenie od średniej $\|x_{i} - \bar{x}\| = \|x_{i} - 50\|$
$10$	$40$	$40$	$10$
$10$	$40$	$40$	$10$
$20$	$30$	$50$	$0$
$20$	$30$	$50$	$0$
$80$	$30$	$50$	$0$
$80$	$30$	$50$	$0$
$90$	$40$	$60$	$10$
$90$	$40$	$60$	$10$

Obliczmy teraz średnią arytmetyczną znalezionych odchyleń w każdym ze sklepów.

W pierwszym sklepie: $\frac{40 + 40 + 30 + 30 + 30 + 30 + 40 + 40}{8} = \frac{280}{8} = 35$ .

W drugim sklepie: $\frac{10 + 10 + 10 + 10}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .

Obliczone przez nas wielkości to tak zwane odchylenia przeciętne.

Odchylenie przeciętne

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym liczb $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ nazywamy liczbę

\frac{|x_{1} - \bar{x}| + |x_{2} - \bar{x}| + \dots + |x_{n} - \bar{x}|}{n}

Zatem w pierwszym sklepie odchylenie przeciętne jest wyższe niż w drugim, co potwierdza naszą wcześniejszą obserwację, że w pierwszym sklepie „ceny leżą dalej od średniej”, a w drugim znajdują się bliżej średniej.

W statystyce częściej od odchylenia przeciętnego wykorzystuje się tzw. odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym $σ$ liczb $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ nazywamy liczbę

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem $σ^{2}$ , czyli

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}

Wariancja i odchylenie standardowe niosą dokładnie te same informacje. Wygodniej używać odchylenia standardowego, ponieważ wariancja jest podawana w jednostkach kwadratowych, a odchylenie standardowe dokładnie w tych samych jednostkach, co analizowane dane.

Obliczanie odchylenia standardowego, czy też wariancji, jest uciążliwe w sytuacji, gdy $\bar{x}$ jest liczbą niecałkowitą i ma albo długie rozwinięcie dziesiętne, albo nawet nieskończone. Podamy teraz wzór, który sprawia, że obliczenia są znacznie wygodniejsze.

Wariancja liczb

Twierdzenie: Wariancja liczb

Wariancja liczb $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ jest równa

σ^{2} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + \dots + {x_{n}}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Dowód

Przekształcając wzór z definicji wariancji ,otrzymujemy

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + \dots + x_{n}^{2} - 2 x_{n} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \bar{x} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{n}}{n} + \frac{n \cdot {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \cdot {(\bar{x})}^{2} + {(\bar{x})}^{2} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Przykład 4

W tabeli przedstawiono kwoty rachunków za telefon, jakie zapłaciła Małgosia w kolejnych miesiącach.

styczeń	luty	marzec	kwiecień	maj	czerwiec
$63 zł$	$41 zł$	$35 zł$	$67 zł$	$60 zł$	$52 zł$

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe tych wydatków z dokładnością do $1 zł$ . Średnia wydatków na telefon Małgosi jest równa:

$\bar{x} = \frac{63 + 41 + 35 + 67 + 60 + 52}{6} = \frac{318}{6} = 53$ $(zł)$ .

W kolejnych miesiącach odchylenie od średniej jest równe:

	styczeń	luty	marzec	kwiecień	maj	czerwiec
$x_{i}$	$63 zł$	$41 zł$	$35 zł$	$67 zł$	$60 zł$	$52 zł$
$\|x_{i} - \bar{x}\|$	$10$	$12$	$18$	$14$	$7$	$1$

Wariancja jest więc równa:

$σ^{2} = \frac{10^{2} + 12^{2} + 18^{2} + 14^{2} {+ 7}^{2} + 1^{2}}{6} = \frac{100 + 144 + 324 + 196 + 49 + 1}{6} = \frac{814}{6} = 135, (6) \approx 136$

a odchylenie standardowe:

σ = \sqrt{136} \approx 12

Przykład 5

Wyniki pewnego badania umieszczono w tabeli.

Wynik	Częstość
$4$	$5$
$5$	$2$
$6$	$4$
$7$	$6$
$8$	$3$

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe w tym badaniu.

Zaczniemy od policzenia średniej

\bar{x} = \frac{5 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 3 \cdot 8}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{120}{20} = 6

sposób $I$

Obliczymy wariancję, korzystając ze wzoru podanego w twierdzeniu. W tym celu obliczymy średnią kwadratów otrzymanych wyników

\frac{5 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 6^{2} + 6 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 8^{2}}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{760}{20} = 38

Stąd wariancja jest równa $σ^{2} = 38 - {(\bar{x})}^{2} = 38 - 36 = 2$ i odchylenie standardowe $σ = \sqrt{2}$ .

sposób $II$

Obliczymy wariancję, posługując się definicją. Odchylenia poszczególnych wyników od średniej zamieścimy w tabeli.

Wynik $x_{i}$	Odchylenie $\|x_{i} - \bar{x}\|$	Częstość
$4$	$\|4 - 6\| = 2$	$5$
$5$	$\|5 - 6\| = 1$	$2$
$6$	$\|6 - 6\| = 0$	$4$
$7$	$\|7 - 6\| = 1$	$6$
$8$	$\|8 - 6\| = 2$	$3$

Podstawiając wyniki do wzoru na wariancję, otrzymujemy:

σ^{2} = \frac{5 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 2^{2}}{5 + 2 + 4 + 6 + 3} = \frac{40}{20} = 2

Przykład 6

W pewnej szkole przeprowadzono ankietę, w której zadano uczniom pytanie „Ile książek przeczytałeś/łaś w ciągu ostatnich dwóch tygodni?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie.

Rj3y74J8c4KmQ1

Diagram kołowy, z którego odczytujemy procent uczniów w zależności od liczby przeczytanych książek. 1 książka – 10% uczniów, 2 książki – 40% uczniów, 3 książki – 30% uczniów, 4 książki – 20% uczniów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe otrzymanych wyników.
Dla otrzymanych wyników możemy przyjąć następujące wagi:

$1$ książka	$2$ książki	$3$ książki	$4$ książki	Suma wag
$0,1$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$1$

Średnia ważona otrzymanych wyników jest równa

{\bar{x}}_{w} = 0, 1 \cdot 1 + 0, 4 \cdot 2 + 0, 3 \cdot 3 + 0, 2 \cdot 4 = 0, 1 + 0, 8 + 0, 9 + 0, 8 = 2, 6

Licząc wariancję, posłużymy się wzorem z twierdzenia

σ^{2} = \frac{0, 1 \cdot 1^{2} + 0, 4 \cdot 2^{2} + 0, 3 \cdot 3^{2} + 0, 2 \cdot 4^{2}}{1} - {(2, 6)}^{2} = 0, 1 + 1, 6 + 2, 7 + 3, 2 - 6, 76 = 0, 84

Wtedy odchylenie standardowe jest równe $σ \approx 0, 92$ .

Przykład 7

Michał przeprowadził doświadczenie, w którym mierzył m.in. czas ruchu pewnego ciała. Wykonał doświadczenie $10$ razy i otrzymał następujące wyniki w sekundach:

Doświadczenie	Wynik
$1$	$10,23$
$2$	$10,45$
$3$	$9,98$
$4$	$9,67$
$5$	$10,05$
$6$	$10,14$
$7$	$9,48$
$8$	$9,92$
$9$	$10,31$
$10$	$10,26$

Wyznaczymy średni czas ruchu ciała oraz odchylenie standardowe w tym doświadczeniu.

Zaczniemy od policzenia średniej

\bar{x} = \frac{10, 23 + 10, 45 + 9, 98 + 9, 67 + 10, 05 + 10, 14 + 9, 48 + 9, 92 + 10, 31 + 10, 26}{10} = \frac{100, 49}{10} = 10, 049

Podstawiając do wzoru na odchylenie standardowe dostajemy

σ = \sqrt{\frac{{(10, 23 - 10, 049)}^{2} + {(10, 45 - 10, 049)}^{2} + {(9, 98 - 10, 049)}^{2} + \dots + {(10, 31 - 10, 049)}^{2} + {(10, 26 - 10, 049)}^{2}}{10}}

= \sqrt{\frac{0, 032761 + 0, 160801 + 0, 004761 + \dots + 0, 068121 + 0, 044521}{10}} = 0, 2834237111

RryFpsw6kdMec1

Ćwiczenie 1

$\sqrt{10}$
$8$
$9$
$10$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPbVW4FxyiLH81

Ćwiczenie 2

$10$
$12$
$36,5$
$146$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbvaP6VqhFSBl1

Ćwiczenie 3

$2 \sqrt[4]{2}$
$2 \sqrt{2}$
$8$
$32$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4QqjaVEWHBlK1

Ćwiczenie 4

$1,2, 4,6, 7$
$1, 2, 9,10,11$
$15,15,15,15$
$10,12,14, 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RP1I4iRD520ob1

Połącz w pary te zestawy danych, które mają jednakowe odchylenie standardowe.

15,13,11,9, 15,12,13,14, 11,13,14,16

5,3,4,6
5,2,7,4
12,14,16,18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1aE6jA625DJ0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cOEe7GP76DU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1XGBDcInWzm6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYOQvUPuCtcKP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Yzuwk6XWzul21

Ćwiczenie 8

Uporządkuj zestawy danych w kolejności wzrastającej wariancji.

$8, 8, 8, 8$
$6, 6, 5, 7$
$3, 1, 7, 5$
$9, 4, 1, 6$
$1, 10, 4, 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R11e8zNsQVUbT1

Uporządkuj podane liczby rosnąco.

$\frac{2}{3}$
$\frac{3}{5}$
$0, 88$
$0, 8$
$\frac{23}{25}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4qUmEqvNDbvw21

Ćwiczenie 10

Uporządkuj podane liczby malejąco.

$\frac{323}{11}$
$32, 3$
$3, 23$
$3, 223$
$29 \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R3lgFGLUCVIPx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Średnia danych liczb jest równa $\bar{x} = \frac{15 + 12 + 17 + 10 + 13 + 8 + 10 + 16}{8} = 12,625$ . Wariancja z dokładnością do trzech miejsc po przecinku jest równa $σ^{2} = \frac{15^{2} + 12^{2} + 17^{2} + 10^{2} {+ 13}^{2} + 8^{2} + 10^{2} + 16^{2}}{8} - {(12,625)}^{2} = 8,984$ , stąd odchylenie standardowe $σ = 2,997$ .

Ćwiczenie 12

Tomek każdego dnia rano, jadąc do szkoły, porównywał czas przyjazdu tramwaju z informacją umieszczoną na przystanku. Przez kolejne dni notował w zeszycie, ile minut spóźniał się tramwaj. Oblicz, ile przeciętnie minut spóźniał się tramwaj.

poniedziałek	wtorek	środa	czwartek	piątek
$3,5 \min$	$6 \min$	$2,5 \min$	$0 \min$	$3 \min$

RxWRLxhdZJx0n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{3, 5 + 6 + 2, 5 + 0 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$ .
Tramwaj spoźniał się przeciętnie $3$ minuty.

Ćwiczenie 13

RI4kBWXMA93KB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Magda, przygotowując się do matury, postanowiła sprawdzić, ile godzin dziennie przeznacza na naukę. W tym celu przez dwa tygodnie codziennie zapisywała wyniki w tabeli, a następnie zaznaczyła je na wykresie. Oblicz średnią liczbę czasu poświęconego na naukę i odchylenie standardowe w pierwszym tygodniu, w drugim oraz w całym okresie dwóch tygodni.

RIM6v3ywS49351

Wykres, z którego odczytujemy liczbę godzin przeznaczonych dziennie na naukę w kolejnych dniach w rozbiciu na tygodnie. Tydzień I Poniedziałek – 5 godzin, wtorek – 6 godzin, środa – 3 godziny, czwartek – 2 godziny, piątek – 4 godziny, sobota – 7 godzin, niedziela – 1 godzina. Tydzień II Poniedziałek – 3 godziny, wtorek – 3 godziny, środa – 4 godziny, czwartek – 4 godziny, piątek – 5 godzin, sobota – 6 godzin, niedziela – 3 godziny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REqpzXYPivHeJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W pierwszym tygodniu średni czas, jaki Magda poświęciła na naukę, wynosił:

\bar{x} = \frac{5 + 6 + 3 + 2 + 4 + 7 + 1}{7} = \frac{28}{7} = 4

W drugim tygodniu średnia ilość czasu wynosiła:

\bar{x} = \frac{3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 3}{7} = \frac{28}{7} = 4

Ponieważ obie próby były równoliczne, więc średnia ilość czasu, jaki Magda poświęciła na naukę przez dwa tygodnie, była też równa $4$ .

Wariancja w pierwszym tygodniu wynosiła:

σ^{2} = \frac{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2} + 3^{2} + {(- 3)}^{2}}{7} = \frac{28}{7} = 4

Zatem odchylenie standardowe w pierwszym tygodniu było równe $σ = \sqrt{4} = 2$ .
W drugim tygodniu wariancja wynosiła:

σ^{2} = \frac{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}{7} = \frac{8}{7} \approx 1,14

Zatem odchylenie standardowe w drugim tygodniu było równe $σ = \sqrt{1,14} \approx 1,07$ .
Przez cały okres badania wariancja wynosiła $σ^{2} = \frac{28 + 8}{14} = \frac{36}{14} \approx 2,57$ , stąd odchylenie standardowe $σ = \sqrt{2,57} \approx 1,60$ .

W pierwszym tygodniu $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 2$ , w drugim tygodniu $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 1,07$ , a w całym okresie $\bar{x} = 4$ , $σ \approx 1,60$ .

Ćwiczenie 15

Odpowiedz na pytania.

Jaka jest wariancja i jakie jest odchylenie standardowe zestawu liczb: $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , $10$ ? Jak zmienią się wariancja i odchylenie standardowe, jeżeli każdą z podanych liczb zwiększymy dwa razy?
Średnia arytmetyczna zestawu pięciu liczb: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ jest równa $\bar{x}$ , a odchylenie standardowe $σ$ . Jak zmienią się te dwa wskaźniki, gdy każdą z liczb tego zestawu zwiększymy trzy razy?

RON5mzvSZpCF0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Średnia danych liczb $\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$ . Wtedy wariancja jest równa $σ^{2} = \frac{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{5} = 8$ , stąd odchylenie standardowe jest równe $σ = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
Jeżeli liczby zwiększymy dwukrotnie, otrzymamy: $4$ , $8$ , $12$ , $16$ , $20$ , dla których średnia jest równa $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 12 + 16 + 20}{5} = \frac{60}{6} = 12$ . Wariancja wynosi $σ^{2} = \frac{{(- 8)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 0^{2} + 4^{2} + 8^{2}}{5} = \frac{160}{5} = 32$ , czyli $σ = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ . Zarówno średnia, jak i wariancja wzrosną dwukrotnie.
Po zwiększeniu danych liczb trzykrotnie, otrzymujemy: $3 a$ , $3 b$ , $3 c$ , $3 d$ , $3 e$ . Średnia tego zestawu wynosi: $\frac{3 a + 3 b + 3 c + 3 d + 3 e}{5} = 3 \cdot \frac{a + b + c + d + e}{5} = 3 \cdot \bar{x}$ , a wariancja $\frac{{(3 a)}^{2} + {(3 b)}^{2} + {(3 c)}^{2} + {(3 d)}^{2} + {(3 e)}^{2}}{5} - {(3 \cdot \bar{x})}^{2} = 9 \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}}{5} - 9 \cdot \bar{x} = 9 \cdot σ^{2}$ , stąd odchylenie standardowe jest równe $σ = \sqrt{9 \cdot σ^{2}} = 3 \cdot σ$ . Zatem zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe zwiększą się trzykrotnie.

$\bar{x} = 6$ , $σ^{2} = 8$ , $σ = 2 \sqrt{2}$ , po zwiększeniu każdej liczby dwa razy zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe też wzrosną dwukrotnie, wariancja wzrośnie czterokrotnie.
Zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe wzrosną trzykrotnie.

Ćwiczenie 16

W pewnej szkole przeprowadzono badanie dotyczące liczby dzieci w rodzinach uczniów. Wyniki przedstawiono na diagramie.

R1S99PUJrb8Lw1

Diagram kołowy, z którego odczytujemy procent rodzin w zależności od liczby posiadanych dzieci. 1 dziecko – 40% rodzin, 2 dzieci – 40% rodzin, 3 dzieci – 10% rodzin, 4 dzieci – 10% rodzin. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YMvcSTYuQOj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmujemy następujące wagi

$1$ dziecko	$2$ dzieci	$3$ dzieci	$4$ dzieci	Suma wag
$0,4$	$0,4$	$0,1$	$0,1$	$1$

Średnia ważona jest wówczas równa

{\bar{x}}_{w} = 0,4 \cdot 1 + 0,4 \cdot 2 + 0,1 \cdot 3 + 0,1 \cdot 4 = 0,4 + 0,8 + 0,3 + 0,4 = 1,9

Liczymy wariancję.

σ^{2} = \frac{0,4 \cdot 1^{2} + 0,4 \cdot 2^{2} + 0,1 \cdot 3^{2} + 0,1 \cdot 4^{2}}{1} - {(1,9)}^{2} = 0,4 + 1,6 + 0,9 + 1,6 - 3,61 = 0,89

Wtedy odchylenie standardowe jest równe $σ \approx 0,94$ .

Ćwiczenie 17

Na lekcji fizyki przeprowadzono doświadczenie, podczas którego mierzono temperaturę pewnej próbki umieszczonej w określonych warunkach. Wyniki zapisano w tabeli.

Nr próbki	Temperatura
$1$	$23,12$
$2$	$23,71$
$3$	$22,93$
$4$	$23,34$
$5$	$23,19$
$6$	$23,45$
$7$	$23,65$
$8$	$23,74$
$9$	$23,48$
$10$	$23,62$

R1Zs5GkooxWWU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Średnia danych temperatur $\bar{x} = \frac{23, 12 + 23, 71 + 22, 93 + 23, 34 + 23, 19 + 23, 45 + 23, 65 + 23, 74 + 23, 48 + 23, 62}{10} = 23, 423$ . Wtedy wariancja jest równa $σ^{2} = \frac{{(- 0, 303)}^{2} + {(0, 287)}^{2} + {(- 0, 493)}^{2} + {(- 0, 083)}^{2} + {(- 0, 233)}^{2} + {(0, 027)}^{2} + {(0, 227)}^{2} + {(0, 317)}^{2} + {(0, 057)}^{2} + {(0, 197)}^{2}}{10} \approx 0, 067$ , stąd odchylenie standardowe jest równe $σ = \sqrt{0, 067} \approx 0, 259$ .