Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Mnożenie dwóch liczb całkowitych

Umiemy mnożyć dwie liczby całkowite dodatnie. Takie mnożenie można zastąpić dodawaniem jednakowych składników.

Na przykład:

8 · 4 = 8 + 8 + 8 + 8

lub

8 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną również można zapisać podobnie.

Przykład 1

Iza i Jurek zapisują swoje długi za pomocą liczb ujemnych, a dochody za pomocą liczb dodatnich. Oboje pożyczyli po 6 złotych od trzech osób. Ile złotych długu miało każde z nich?

Iza zapisała odpowiednie dodawanie

–6 + –6 + –6=-18.

Jurek zapisał odpowiednie mnożenie

3·-6=-18.

Odp.: Każde z nich miało 18 zł długu.

Wyniki obliczeń Izy i Jurka są równe. Zapis obliczeń Jurka jest krótszy.

Z przemienności mnożenia wynika, że Jurek mógł zapisać mnożenie na dwa sposoby:

3 ·-6= -18

lub

-6·3 = -18.

Jurek mnożył liczby o różnych znakach, to znaczy liczbę dodatnią i ujemną. Wynik obliczeń był ujemny.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb różnych od zera o różnych znakach jest ujemny.

  • Przykłady.

-2·8=-16,
7·-4=-28.
R1FZwV4vGqk5b1
Ćwiczenie 1
Oblicz. 1. 2·-7 = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
2. 5·-4 = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
3. 9·-8 = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
4. 11·-10 = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
5. -5·9  = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
6. -2·12  = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
7. -10·6  = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
8. -25·4 = 1. -14 , 2. -114, 3. -22, 4. -20, 5. -24, 6. -110, 7. -20, 8. -12 , 9. -45, 10. -60, 11. -62, 12. -70, 13. -43, 14. -72, 15. -100, 16. -102
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A jak pomnożyć dwie liczby ujemne? Najtrudniej jest wyjaśnić, jaki znak będzie miał taki iloczyn. Zapoznaj się uważnie z poniższym przykładem, który to wyjaśnia.

Ważne!

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

  • Przykłady.

-2·-5=10
-7·-6=42
R1BOwJYadRn9J1
Ćwiczenie 2
Oblicz. 1. -3·-8 = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
2. -9·-6 = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
3. -2·-13  = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
4. -10·-10 = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
5. -15·-4 = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
6. -32·-5 = 1. 160 , 2. 60, 3. 22 , 4. 23, 5. 26, 6. 110, 7. 24 , 8. 50 , 9. 54, 10. 100, 11. 140 , 12. 56
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie liczb całkowitych

R4MVXJSuqxdQ921
Ćwiczenie 3
Uzupełnij równania i zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. -2·3·4=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6·4=-24
-2·-3·4=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6·4=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
-2·-3·-4=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6·1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
-2·3·4·5=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6 ·20=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
-2·-3·4·5=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6·1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
-2·-3·-4·5=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6·1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6 =1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
-2·-3·-4·-5=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6· 1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6=1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6
Gdy w iloczynie występowały jeden lub trzy czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą 1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6.
Gdy w iloczynie występowały dwa lub cztery czynniki ujemne, to iloczyn był liczbą 1. dodatnią, 2. -120, 3. 120, 4. -24, 5. 24, 6. 6, 7. -6, 8. -120, 9. 20, 10. -20, 11. -4, 12. 6, 13. 20, 14. -6, 15. ujemną, 16. 120, 17. 6, 18. 6, 19. 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Iloczyn kilku liczb całkowitych, z których każda jest różna od zera, jest:

  • dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta,

  • ujemny, gdy liczba czynników ujemnych jest nieparzysta.

Na przykład:

-2·-3·-4·10·-1=240  cztery czynniki ujemne,

-2·3·-4·10·-1=-240 trzy czynniki ujemne.

Przykład 2

Spójrz, jak obliczamy kwadraty i sześciany liczb ujemnych.

  • -32= -3·-3=9 - wynik zawsze dodatni, bo są 2  czynniki ujemne,

  • -33=-3·-3·-3=-27 - wynik zawsze ujemny, bo są 3 czynniki ujemne.

R9ZaeTrQFpfc3
Ćwiczenie 4
Które z podanych iloczynów są liczbami ujemnymi, dodatnimi albo są równe zero? Kliknij w lukę , aby rozwinąć listę i następnie wybierz odpowiedni znak lub zero. -12·-103·5·10·-1 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +7·-58·-4·0·6·-91 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +4·-2·33·4·15 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +-64·1·-23·9·-1·-2 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +-52·-2·-1·4·-11. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +-2·8·-3·-1·-43 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +-1·-18·-53·11·0 1. -, 2. 0, 3. -, 4. 0, 5. +, 6. -, 7. +
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1SI3HYzQ0yka2
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe równości. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybrać odpowiednią liczbę. -4·2·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=16-5·-1·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=20 -4·-6·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=-12010·-20·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=0 6·3·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=-180-2·-10·1. -5, 2. 0, 3. -10, 4. -10, 5. 4, 6. -2=-200
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Zapisz liczbę -24 w postaci iloczynu

  1. dwóch liczb całkowitych,

  2. trzech liczb całkowitych,

  3. czterech liczb całkowitych.

R7HIqEoNsC7G9
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie liczb całkowitych

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi.

RJVEVJm4YDV2x1
Ilustracja przedstawia graf obrazujący mnożenie i dzielenie liczb całkowitych. Po lewej stronie znajduje się liczba minus cztery, a naprzeciwko niej liczba minus dwadzieścia. Liczba minus cztery jest połączona z liczbą minus dwadzieścia strzałką narysowaną nad liczbami. Nad nią zapisane jest mnożenie razy pięć. Oznacza to, że minus cztery razy pięć równa się minus dwadzieścia. Podobnie połączona jest strzałką znajdującą się pod liczbami, liczba minus dwadzieścia z liczbą minus cztery. Pod strzałką znajduje się zapisane dzielenie przez pięć. Oznacza to, że minus dwadzieścia podzielić na pięć równa się minus cztery.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 7

Uzupełnij grafy wykonując odpowiednie działania. Wpisz odpowiednie liczby w luki.

R3acM7gVDLdry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
REqmmaSHpdbtH
Uzupełnij poniże działania. Wpisz odpowiednie liczby w luki. Tu uzupełnij·-6=-18, bo -18:-6=Tu uzupełnij Tu uzupełnij ·-6=18, bo 18:-6=Tu uzupełnij Tu uzupełnij·6=-18. bo -18:6=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RGsKBqZ5Iqz
Wyciągnij odpowiednie wnioski. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybierz odpowiednie słowo. Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami ujemnymi, to iloraz jest liczbą 1. ujemną, 2. dodatnią.
Jeśli dzielna i dzielnik są liczbami różnych znaków, to iloraz jest liczbą 1. ujemną, 2. dodatnią.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

  • Iloraz dwóch liczb o takich samych znakach (obie dodatnie lub obie ujemne) jest liczbą dodatnią.

Na przykład:

15:5=3,
-15:-5=3.

  • Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (jedna dodatnia, druga ujemna) jest liczbą ujemną.

Na przykład:

-10:5=-2,
10:-5=-2.
RaekOXwxEyRfp2
Ćwiczenie 8
Oblicz poniższe działania. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybierz prawidłowy wynik. -24:-6 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 7-35:7 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 748:-8 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 7-120:12 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 7-36:-4 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 742:-6 = 1. -8, 2. 6, 3. 9, 4. -6, 5. -7, 6. 4, 7. -7, 8. -9, 9. -12, 10. -5, 11. -10, 12. 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RqKP68f7vb6EP2
Ćwiczenie 9
Uzupełnij obliczenia. Kliknij w luki, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową liczbę. -64:1. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28=-81. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28:-9=71. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28:2=–14-30:1. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28=51. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28:-4 =0400:1. -40, 2. -63, 3. 8, 4. 0, 5. -6, 6. -28=-10
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Obliczając wartości wyrażeń wymagających mnożenia lub dzielenia kilku liczb, warto zacząć od ustalenia znaku wyniku.

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia

-2·-9:3·-1.

Można wykonywać obliczenia po kolei

-2·-9:3·-1=18:3·-1=6·-1=-6

lub najpierw ustalić znak wyniku, a następnie wykonywać obliczenia.

-2·-9:3·-1=–2·9:3·1=-18:3·1=-6·1=-6.
R1AlBbGNPsVIT2
Ćwiczenie 10
Oblicz wartości wyrażeń. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybierz odpowiedni wynik. -25:-5·-8 = 1. -40, 2. -9, 3. -44, 4. 48, 5. -1, 6. -3, 7. -10, 8. 46, 9. -12, 10. -8-2·6: -4·-3  = 1. -40, 2. -9, 3. -44, 4. 48, 5. -1, 6. -3, 7. -10, 8. 46, 9. -12, 10. -8-84:-2:-7·-8 = 1. -40, 2. -9, 3. -44, 4. 48, 5. -1, 6. -3, 7. -10, 8. 46, 9. -12, 10. -820:-5·4  = 1. -40, 2. -9, 3. -44, 4. 48, 5. -1, 6. -3, 7. -10, 8. 46, 9. -12, 10. -8-550:-11:-5 = 1. -40, 2. -9, 3. -44, 4. 48, 5. -1, 6. -3, 7. -10, 8. 46, 9. -12, 10. -8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12qSKXzUqA7B3
Ćwiczenie 11
Wpisz brakującą liczbę całkowitą w puste miejsce. -44:Tu uzupełnij·-3=-12-50:-2:Tu uzupełnij=-257·Tu uzupełnij:-2=-219:-32:Tu uzupełnij=-1-12:-13·Tu uzupełnij=3[-2·Tu uzupełnij]:-3·6=1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmtZOOYFp4nsW31
Ćwiczenie 12
W puste pola wpisz odpowiednie liczby. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio pod nią.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Y32f5qcvFmZ
Ćwiczenie 12
Iloraz wyników dwóch działań 10:(-5) oraz 5:(-5) jest równy 1. 2, 2. trzeci_niepoprawny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R2wM0sZgXlvfD2
Ćwiczenie 13
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną., 2. Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną., 3. Iloraz liczby ( – 1000 ) i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną., 4. Iloczyn liczb ( – 300 ) i  ( – 50 ) jest mniejszy niż iloczyn liczb 300 i  50 ., 5. Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest
– 10 , jest liczbą dodatnią., 6. Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.

  • Iloczyn dwudziestu liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
  • Iloraz dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią, może być liczbą dodatnią lub liczbą ujemną.
  • Iloraz liczby ( – 1000 ) i liczby do niej przeciwnej jest liczbą ujemną.
  • Iloczyn liczb ( – 300 ) i  ( – 50 ) jest mniejszy niż iloczyn liczb 300 i  50 .
  • Iloczyn kolejnych dwudziestu liczb całkowitych, z których najmniejszą jest – 10 , jest liczbą dodatnią.
  • Liczba przeciwna do iloczynu jedenastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.