Liczby naturalne, całkowite i wymierne - zadania - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Pokaż ćwiczenia:

Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z liczbami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat tych liczb, zajrzyj do lekcji Liczby naturalne, całkowite i wymierneD4b3NwntDLiczby naturalne, całkowite i wymierne.

R1RRybzeJWb9p21

Ćwiczenie 1

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby naturalne
liczby, które NIE są liczbami naturalnymi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2vq2EUo8fmZR21

Ćwiczenie 2

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby całkowite
liczby, które NIE są liczbami całkowitymi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RS6hA48jCw3OB21

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono liczby. Które z tych liczb są liczbami wymiernymi? Dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. liczby wymierne Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

0

, 3.

\frac{12}{3}

, 4.

\sqrt{9}

, 5.

16^{- 1}

, 6.

\sqrt{3}

, 7.

\frac{3}{2}

, 8.

- 4

, 9.

{(\frac{1}{5})}^{- 1}

, 10.

4 \sqrt{5} - \sqrt{5}

, 11.

π

liczby, które NIE są liczbami wymiernymi (liczby niewymierne) Możliwe odpowiedzi: 1.

7

, 2.

0

, 3.

\frac{12}{3}

, 4.

\sqrt{9}

, 5.

16^{- 1}

, 6.

\sqrt{3}

, 7.

\frac{3}{2}

, 8.

- 4

, 9.

{(\frac{1}{5})}^{- 1}

, 10.

4 \sqrt{5} - \sqrt{5}

, 11.

π

Przeciągnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby wymierne
liczby, które NIE są liczbami wymiernymi (niewymierne)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Odpowiedz na poniższe pytania.

Czy istnieje liczba całkowita, która nie jest liczbą naturalną? Jeśli tak to podaj przykład takiej liczby.
Czy istnieje liczba wymierna, która nie jest liczbą całkowitą? Jeśli tak to podaj przykład takiej liczby.
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest wymierna? Jeśli tak to podaj przykład takiej liczby.
Czy istnieje liczba naturalna, która nie jest całkowita? Jeśli tak to podaj przykład takiej liczby.

R1GQgJUPGifQn

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tak, taką liczbą jest np. $- 2$ .
Tak, taką liczbą jest np. $- \frac{1}{2}$ .
Nie. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, np. $4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{- 8}{- 2} = \dots$
Nie. Każda liczba naturalna jest całkowita.

RNjWlaQCSs1Z72

Ćwiczenie 5

Wynikiem działania $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$ jest liczba $\frac{1}{16}$ .
Wynikiem odejmowania $\frac{11}{18} - \frac{5}{6}$ jest liczba $(- \frac{1}{2})$ .
Wynikiem mnożenia $2 \frac{3}{4} ∙ \frac{8}{11}$ jest liczba $2 \frac{6}{11}$ .
Wynikiem dzielenia $3 \frac{1}{2} : 2 \frac{3}{4}$ jest liczba $1 \frac{3}{11}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JO5CsxsouzG2

Ćwiczenie 6

Iloczyn liczb $2,35$ i $0,4$ jest równy $0,94$ .
Iloraz liczby $4,8$ przez liczbę $0,03$ jest równy $16$ .
Wynikiem działania $\frac{0,92 + 0,49}{0,3 ∙ 0,1}$ jest liczba $47$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Mówimy, że liczby $x$ i $y$ są przeciwne, jeżeli $x + y = 0$ . Liczbę przeciwną do $x$ oznaczamy $- x$ .
Mówimy, że liczby $x$ i $y$ są odwrotne, jeżeli $x \cdot y = 1$ . Liczbą odwrotną do liczby $x$ różnej od zera jest $\frac{1}{x}$ . Zauważmy, że nie ma liczby odwrotnej do zera, gdyż nie istnieje taka liczba, która pomnożona przez $0$ dałaby $1$ .
Zauważ, że jeżeli $x \neq 0,$ to iloczyn liczby odwrotnej do $x$ i liczby przeciwnej do $x$ jest równy $- 1$ .

- x \cdot \frac{1}{x} = - 1

RSuFUV9SqW0nB2

Ćwiczenie 7

Liczba $1 \frac{3}{7}$ jest odwrotna do liczby $\frac{7}{10} .$
Liczbą przeciwną do $\frac{11}{20}$ jest liczba $(- 0,55)$ .
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie odwrotną.
Każda liczba rzeczywista ma liczbę do siebie przeciwną.
Liczbą odwrotną do liczby $2 \frac{2}{5}$ jest liczba przeciwna do liczby $- \frac{5}{12}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RynX2HGJtaWPT2

Ćwiczenie 8

Liczba $3 \frac{1}{8}$ jest większa od liczby $- 2 \frac{3}{4}$ o $5 \frac{3}{8}$ .
Średnia arytmetyczna liczb $2 \frac{5}{9}$ oraz $1 \frac{7}{12}$ jest równa $2 \frac{1}{6}$ .
Liczba $0, (36)$ leży pomiędzy liczbami $\frac{9}{25}$ i $\frac{37}{100}$ .
Podwojonym iloczynem liczb $2 \frac{3}{5}$ i $- \frac{1}{2}$ jest $- 2,6$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoDyo0bggNhkW2

Ćwiczenie 9

Po wykonaniu obliczeń $(\frac{2}{15} + 0,45) ∙ \frac{3}{7}$ otrzymamy liczbę $0,4$ .
Wynik działania $\frac{2,75 - 1 \frac{1}{2} : (- 3,375)}{5 - 2 \frac{4}{9}}$ jest liczbą większą od $1$ .
Wynik działania $\frac{- 2,25 + (2 - 3 \frac{4}{5})}{- 3 \frac{4}{17} ∙ \frac{1}{5} + 1 \frac{2}{8} : 2,125}$ jest liczbą ujemną.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNYgmOXaFK1a72

Ćwiczenie 10

Ułamek $\frac{1}{7}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne.
Ułamek $0, (27)$ jest równy $\frac{3}{11}$ .
Liczba $3, (6)$ jest wymierna.
Suma liczb $0, <mfenced separators="|"> 4 + 0, (18)$ jest równa $0, <mfenced separators="|"> 62 .$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RX7kkWHkYqhb91

Ćwiczenie 11

Dwudziesta pierwsza cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $0, (725)$ jest równa $5$ .
Ósma cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\frac{41}{11}$ jest równa $7$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAlGHdqXTguxg2

Ćwiczenie 12

Ułamek $\frac{11}{15}$ jest równy $\frac{112}{152}$ .
Największą liczbą, przez jaką można skrócić licznik i mianownik ułamka $\frac{2376}{2592}$ jest $216$ .
Ułamek $\frac{1326}{3913}$ jest ułamkiem skracalnym.
Ułamek $\frac{520}{1041}$ jest ułamkiem nieskracalnym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PFDAI3CN12x1

Ćwiczenie 13

o $\frac{5}{7}$
o $\frac{7}{5}$
o $1 \frac{1}{2}$
o $\frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NQ5NQI6kmYp1

Ćwiczenie 14

$2,725$
$2,1853$
$2,1875$
$2,987$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RnYuiAD4LNDdO

$1 \frac{5}{35}$
$\frac{13}{35}$
$\frac{16}{35}$
$\frac{35}{16}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $\frac{7}{8} + \frac{7}{4} - \frac{7}{16} = \frac{35}{16}$ .

RiWYTCWkRQPPv1

Ćwiczenie 16

$\frac{87}{4}$
$\frac{52}{5}$
$\frac{1059}{140}$
$10 \frac{3}{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RGgBqQ1EjRYIu

$a + b$
$a - b$
$ab$
$\frac{b}{a}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RG1YPeBpaC7p61

Ćwiczenie 18

$\frac{384}{40320} = \frac{2}{3}$
$\frac{384}{40320} = \frac{21}{13}$
$\frac{384}{40320} = \frac{1}{8}$
$\frac{384}{40320} = \frac{1}{105}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

RjsOy3Xo54ilF

$0,02 (27)$
$\frac{2}{44}$
$0, (343)$
$0,34$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $\frac{1}{22} = 0, 0 (45)$ .

RvUDquHa7G1Rn1

Ćwiczenie 20

$x + y = 13 \frac{3}{5}$
$xy = 13 \frac{3}{5}$
$\frac{x}{y} = 13 \frac{3}{5}$
$x - y = 13 \frac{3}{5}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfUe7FQMlnDy81

Ćwiczenie 21

$x + y = 0, (4)$
$xy = 3$
$\frac{x}{y} = 3$
$x - y = 0, (2)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCyubIMunX7311

Ćwiczenie 22

$0, (448571)$
$0, (428561)$
$0, (423571)$
$0, (428571)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Rswyaopk6unz7

$0, (553)$
$0, (552)$
$0, (558)$
$0, (559)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $\frac{5}{9} = 0, (5)$ .

RzqRgdZ8D5THr1

Ćwiczenie 24

$15$
$13$
$14$
$16$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Hxdszkl9sdH2

Ćwiczenie 25

Niech

x = 0,875

y = 0,9875

. Zapisz każdą z liczb

x + y

x - y

x y

\frac{y}{x}

w postaci ułamka zwykłego, nieskracalnego. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

x + y =

\frac{79}{70}

, 2.

\frac{149}{80}

, 3.

- \frac{15}{60}

, 4.

\frac{73}{60}

, 5.

\frac{553}{640}

, 6.

- \frac{12}{50}

, 7.

\frac{70}{65}

, 8.

\frac{525}{620}

, 9.

- \frac{9}{80}

, 10.

\frac{179}{70}

x - y =

\frac{79}{70}

, 2.

\frac{149}{80}

, 3.

- \frac{15}{60}

, 4.

\frac{73}{60}

, 5.

\frac{553}{640}

, 6.

- \frac{12}{50}

, 7.

\frac{70}{65}

, 8.

\frac{525}{620}

, 9.

- \frac{9}{80}

, 10.

\frac{179}{70}

x y =

\frac{79}{70}

, 2.

\frac{149}{80}

, 3.

- \frac{15}{60}

, 4.

\frac{73}{60}

, 5.

\frac{553}{640}

, 6.

- \frac{12}{50}

, 7.

\frac{70}{65}

, 8.

\frac{525}{620}

, 9.

- \frac{9}{80}

, 10.

\frac{179}{70}

\frac{y}{x} =

\frac{79}{70}

, 2.

\frac{149}{80}

, 3.

- \frac{15}{60}

, 4.

\frac{73}{60}

, 5.

\frac{553}{640}

, 6.

- \frac{12}{50}

, 7.

\frac{70}{65}

, 8.

\frac{525}{620}

, 9.

- \frac{9}{80}

, 10.

\frac{179}{70}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Zapisz rozwinięcie dziesiętne

odwrotności liczby naturalnej większej od $10$ i mniejszej od $12$
sumy odwrotności trzech początkowych liczb pierwszych

R1I93RjdmQwPz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{1}{11} = 0, (09)$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} = 1,0 (3)$

Ćwiczenie 27

Dane są wszystkie jednocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez $4$ . Zapisz rozwinięcie dziesiętne sumy kwadratów odwrotności tych liczb.

Ra6CtVrdeQOCF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jednocyfrowe liczby całkowite, dodatnie, podzielne przez $4$ to $4$ i $8$ . Suma kwadratów odwrotności tych liczb jest równa

{(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} = 0,078125

${(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{8})}^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64} = 0,078125$ .

RhV6S1F7tjEmh3

Ćwiczenie 28

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi rozwinięciami dziesiętnymi ułamków zwykłych. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

\frac{149}{80} =

- 0, 125

, 2.

- 0, 1125

, 3.

0, 87555

, 4.

0, 8640625

, 5.

1, 8

, 6.

1, 875

, 7.

1, 8625

, 8.

- 0, 2125

, 9.

0, 9275

- \frac{9}{80} =

- 0, 125

, 2.

- 0, 1125

, 3.

0, 87555

, 4.

0, 8640625

, 5.

1, 8

, 6.

1, 875

, 7.

1, 8625

, 8.

- 0, 2125

, 9.

0, 9275

\frac{553}{640} =

- 0, 125

, 2.

- 0, 1125

, 3.

0, 87555

, 4.

0, 8640625

, 5.

1, 8

, 6.

1, 875

, 7.

1, 8625

, 8.

- 0, 2125

, 9.

0, 9275

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 29

Dane są liczby $a = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{5}{2 + 4 + 6}$ oraz $b = \frac{2}{3} + \frac{4}{3 + 5} + \frac{6}{3 + 5 + 7}$ . Wykaż, że $\frac{1}{2} b - \frac{1}{5} a = \frac{1}{2}$ .

R12lipcEnsO4a

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznij od uproszczenia wyrażeń opisujących liczby $a$ i $b$ .

Po wykonaniu działań otrzymamy

a = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{5}{2 + 4 + 6} = \frac{17}{12}

b = \frac{2}{3} + \frac{4}{3 + 5} + \frac{6}{3 + 5 + 7} = \frac{47}{30}

Zatem

\frac{1}{2} b - \frac{1}{5} a = \frac{1}{2} \cdot \frac{47}{30} - \frac{1}{5} \cdot \frac{17}{12} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}

Ćwiczenie 30

R1dZBqTho4BlT

Oblicz i zapisz wynik w postaci ułamka nieskracalnego. Uzupełnij poniższe równości właściwymi liczbami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

\frac{25}{231} + \frac{2}{63} + \frac{5}{99}

=

\frac{10}{56}

, 2.

\frac{27}{13}

, 3.

\frac{4}{36}

, 4.

\frac{43}{38}

, 5.

\frac{8}{57}

, 6.

\frac{25}{11}

, 7.

\frac{41}{36}

, 8.

\frac{4}{19}

, 9.

\frac{8}{53}

, 10.

\frac{6}{21}

, 11.

\frac{4}{21}

, 12.

\frac{27}{17}

\frac{13}{60} + \frac{55}{126} + \frac{17}{35}

=

\frac{10}{56}

, 2.

\frac{27}{13}

, 3.

\frac{4}{36}

, 4.

\frac{43}{38}

, 5.

\frac{8}{57}

, 6.

\frac{25}{11}

, 7.

\frac{41}{36}

, 8.

\frac{4}{19}

, 9.

\frac{8}{53}

, 10.

\frac{6}{21}

, 11.

\frac{4}{21}

, 12.

\frac{27}{17}

\frac{95}{133} + \frac{46}{91} + \frac{138}{161}

=

\frac{10}{56}

, 2.

\frac{27}{13}

, 3.

\frac{4}{36}

, 4.

\frac{43}{38}

, 5.

\frac{8}{57}

, 6.

\frac{25}{11}

, 7.

\frac{41}{36}

, 8.

\frac{4}{19}

, 9.

\frac{8}{53}

, 10.

\frac{6}{21}

, 11.

\frac{4}{21}

, 12.

\frac{27}{17}

\frac{5}{24} - \frac{11}{57} + \frac{57}{456}

=

\frac{10}{56}

, 2.

\frac{27}{13}

, 3.

\frac{4}{36}

, 4.

\frac{43}{38}

, 5.

\frac{8}{57}

, 6.

\frac{25}{11}

, 7.

\frac{41}{36}

, 8.

\frac{4}{19}

, 9.

\frac{8}{53}

, 10.

\frac{6}{21}

, 11.

\frac{4}{21}

, 12.

\frac{27}{17}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhdznSLDfCZEw2

Ćwiczenie 31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RN9a2Bw81zLev3

Ćwiczenie 32

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JXLPE0dc4Yf3

Ćwiczenie 33

Wyznacz taki ułamek zwykły

x

, aby poniższe równości były prawdziwe. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

\frac{6}{7} + x = 0,0 (45)

x

=

\frac{1}{123}

, 2.

- \frac{37}{14}

, 3.

- \frac{37}{12}

, 4.

\frac{4}{132}

, 5.

- \frac{120}{154}

, 6.

\frac{1}{132}

, 7.

\frac{2}{99}

, 8.

\frac{7}{99}

, 9.

- \frac{125}{145}

, 10.

\frac{2}{89}

, 11.

- \frac{125}{154}

, 12.

- \frac{35}{14}

\frac{1}{3} + x = \frac{1}{4} + 0, (09)

x

=

\frac{1}{123}

, 2.

- \frac{37}{14}

, 3.

- \frac{37}{12}

, 4.

\frac{4}{132}

, 5.

- \frac{120}{154}

, 6.

\frac{1}{132}

, 7.

\frac{2}{99}

, 8.

\frac{7}{99}

, 9.

- \frac{125}{145}

, 10.

\frac{2}{89}

, 11.

- \frac{125}{154}

, 12.

- \frac{35}{14}

0, (01) + x = \frac{1}{33}

x

=

\frac{1}{123}

, 2.

- \frac{37}{14}

, 3.

- \frac{37}{12}

, 4.

\frac{4}{132}

, 5.

- \frac{120}{154}

, 6.

\frac{1}{132}

, 7.

\frac{2}{99}

, 8.

\frac{7}{99}

, 9.

- \frac{125}{145}

, 10.

\frac{2}{89}

, 11.

- \frac{125}{154}

, 12.

- \frac{35}{14}

\frac{x}{11} + \frac{2}{7} = 0,0 (45)

x

=

\frac{1}{123}

, 2.

- \frac{37}{14}

, 3.

- \frac{37}{12}

, 4.

\frac{4}{132}

, 5.

- \frac{120}{154}

, 6.

\frac{1}{132}

, 7.

\frac{2}{99}

, 8.

\frac{7}{99}

, 9.

- \frac{125}{145}

, 10.

\frac{2}{89}

, 11.

- \frac{125}{154}

, 12.

- \frac{35}{14}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQZiwZFEHt9MM3

Ćwiczenie 34

Wyznacz taki ułamek dziesiętny

x

, aby równości były prawdziwe. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

\frac{1}{3} + x = 1,1 (6)

x

=

0, 1 (86)

, 2.

0, 2 (86)

, 3.

- 6, 875

, 4.

- 6, 785

, 5.

0, 8 (5)

, 6.

0, 8 (3)

, 7.

0, 6 (3)

, 8.

2, 291 (6)

, 9.

- 5, 758

, 10.

0, 1 (68)

, 11.

3, 291 (6)

, 12.

2, 219 (4)

\frac{1}{3} + x \cdot 0,0 (18) = \frac{1}{4} + 0,125

x

=

0, 1 (86)

, 2.

0, 2 (86)

, 3.

- 6, 875

, 4.

- 6, 785

, 5.

0, 8 (5)

, 6.

0, 8 (3)

, 7.

0, 6 (3)

, 8.

2, 291 (6)

, 9.

- 5, 758

, 10.

0, 1 (68)

, 11.

3, 291 (6)

, 12.

2, 219 (4)

0, (01) + x = \frac{1}{33} + 0,1 (6)

x

=

0, 1 (86)

, 2.

0, 2 (86)

, 3.

- 6, 875

, 4.

- 6, 785

, 5.

0, 8 (5)

, 6.

0, 8 (3)

, 7.

0, 6 (3)

, 8.

2, 291 (6)

, 9.

- 5, 758

, 10.

0, 1 (68)

, 11.

3, 291 (6)

, 12.

2, 219 (4)

\frac{x}{11} + \frac{2}{3} = 0,041 (6)

x

=

0, 1 (86)

, 2.

0, 2 (86)

, 3.

- 6, 875

, 4.

- 6, 785

, 5.

0, 8 (5)

, 6.

0, 8 (3)

, 7.

0, 6 (3)

, 8.

2, 291 (6)

, 9.

- 5, 758

, 10.

0, 1 (68)

, 11.

3, 291 (6)

, 12.

2, 219 (4)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPRLRYx6VMMQr3

Ćwiczenie 35

Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź. Liczbą, która leży na osi liczbowej w jednakowej odległości od liczb

\frac{5}{12}

\frac{5}{13}

jest liczba 1.

5, 3 (48)

, 2.

5, 34 (8)

, 3.

\frac{2 a b}{a + b}

, 4.

\frac{10}{13}

, 5.

\frac{a - b}{a b}

, 6.

\frac{a + b}{2 a b}

, 7.

5, (348)

, 8.

\frac{125}{312}

, 9.

\frac{100}{312}

.Liczbą, która leży na osi liczbowej w jednakowej odległości od liczb

5, (3)

5, (36)

jest liczba 1.

5, 3 (48)

, 2.

5, 34 (8)

, 3.

\frac{2 a b}{a + b}

, 4.

\frac{10}{13}

, 5.

\frac{a - b}{a b}

, 6.

\frac{a + b}{2 a b}

, 7.

5, (348)

, 8.

\frac{125}{312}

, 9.

\frac{100}{312}

.Niech

a \neq 0, b \neq 0

. Liczbą, która leży na osi liczbowej w jednakowej odległości od liczb

\frac{1}{a}

\frac{1}{b}

jest liczba 1.

5, 3 (48)

, 2.

5, 34 (8)

, 3.

\frac{2 a b}{a + b}

, 4.

\frac{10}{13}

, 5.

\frac{a - b}{a b}

, 6.

\frac{a + b}{2 a b}

, 7.

5, (348)

, 8.

\frac{125}{312}

, 9.

\frac{100}{312}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 36

Podaj przykład liczby, która na osi liczbowej leży między liczbami

$\frac{19}{16}$ i $\frac{17}{14},$
$3, (5)$ i $3, (6)$ ,
$- 5 \frac{1}{3}$ i $- 5 \frac{1}{4}$ .

RSOlM7SX8HPKC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Musi być to liczba większa od $\frac{19}{16}$ i mniejsza od $\frac{17}{14}$ . Spróbuj znaleźć liczbę, która ma licznik mniejszy od licznika pierwszej liczby i większy od licznika drugiej liczby oraz mianownik mniejszy od mianownika pierwszej liczby i większy od mianownika drugiej liczby.
Zwróć uwagę jak wygląda kilka kolejnych cyfr po przecinku tych liczb. Znajdź liczbę, która jest większa od pierwszej liczby i mniejsza od drugiej liczby.
Zwróć uwagę na fakt, że obie liczby są ujemne. Aby łatwiej znaleźć pośrednią liczbę, rozszerz ułamki w obu liczbach mieszanych.

np. $\frac{18}{15}$ , $\frac{135}{112}$
np. $3, 56$ , $\frac{65}{18} = 3 \frac{11}{18}$
np. $- 5 \frac{7}{24}$

R1e7r2RJhLhkW3

Ćwiczenie 37

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 38

Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $a$ i $b$ , dla których spełniony jest warunek $\frac{3}{7} < \frac{a}{11} < \frac{4}{b} < \frac{17}{20}$ .

R145o9jvjhK3Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozważmy nierówność $\frac{3}{7} < \frac{a}{11}$ . Wspólnym mianownikiem obu ułamków jest $77$ . Otrzymujemy nierówność $\frac{33}{77} < \frac{7 a}{77}$ , czyli $33 < 7 a$ , stąd $a > \frac{33}{7}$ . Ponieważ $a$ jest liczbą dodatnią i całkowitą, zatem otrzymujemy $a \geq 5$ .
Przeprowadź podobne rozumowanie dla pozostałych dwóch nierówności, aby dowiedzieć się, jakie warunki spełnia $b$ oraz $a \cdot b$ .

Dodatnie liczby całkowite $a$ i $b$ muszą spełniać warunki: $a \geq 5$ i $b \geq 5$ i $a \cdot b < 44$ .
Jest $10$ takich par: $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 7 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 5 \\ b = 8 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 7 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 5 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 7 \\ b = 6 \end{matrix}$ , $\{\begin{matrix} a = 8 \\ b = 5 \end{matrix}$ .

Ćwiczenie 39

RGNmKIwHCkSXE3

Dziesiąta część uczestników maratonu przebiegła wyznaczoną trasę w czasie krótszym niż

3 h

. Połowa pozostałych uczestników uzyskała czas nie dłuższy niż

4 h

. Jaka część spośród wszystkich zawodników maratonu przebiegła trasę w czasie dłuższym niż

4 h

? Uzupełnij poniższe zdanie odpowiednim ułamkiem. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź. Odpowiedź: Trasę w czasie dłuższym niż

4 h

przebiegło 1.

\frac{9}{25}

, 2.

\frac{9}{20}

, 3.

\frac{8}{18}

, 4.

\frac{7}{20}

uczestników.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że łączna liczba uczestników, którzy przebiegli maraton w czasie nie dłuższym niż $4 h$ wynosi $\frac{1}{10} + \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10} + \frac{9}{20} = \frac{2}{20} + \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ .

Ćwiczenie 40

R433dIDZXTAnc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamek jest skracalny na przykład dla:

$n = 3$ ułamek jest równy $\frac{7}{14}$ , a po skróceniu $\frac{1}{2}$
$n = 10$ ułamek jest równy $\frac{21}{35}$ , a po skróceniu $\frac{3}{5}$
$n = 17$ ułamek jest równy $\frac{35}{56},$ a po skróceniu $\frac{5}{8}$

W każdym przypadku ułamek można skrócić przez $7$ , ponieważ zarówno licznik jak i mianownik każdego ułamka jest podzielny przez $7$ .

Ćwiczenie 41

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej $a$ ułamek $\frac{a}{2 a + 1}$ jest nieskracalny.

R1IT0KGylcfKx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważymy, że jeżeli liczba dzieli licznik i mianownik pewnego ułamka, to musi również dzielić różnicę mianownika i licznika tego ułamka. W tym przypadku $(2 a + 1) - 2 a = 1$ . Zatem dla dowolnej liczby naturalnej $a$ ułamek jest nieskracalny, ponieważ jedyny dzielnik tej różnicy to liczba $1$ .

Dla dowolnej liczby naturalnej $a$ ułamek jest nieskracalny.

Ćwiczenie 42

Sprawdź, czy istnieją liczby naturalne $n$ , dla których ułamek $\frac{7 n + 11}{3 n + 4}$ można skrócić przez $5$ . Czy istnieje liczba naturalna $n$ , dla której ten ułamek można skrócić przez liczbę większą niż $5$ ?

RS4Zv2tv5PDKC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

3 \cdot (7 n + 11) - 7 \cdot (3 n + 4) = 5

więc dla ustalonej liczby naturalnej $n$ wspólny dzielnik liczb $7 n + 11$ i $3 n + 4$ jest dzielnikiem liczby $5$ . Wynika z tego, że nie istnieje taka liczba naturalna $n$ , dla której ułamek $\frac{7 n + 11}{3 n + 4}$ można skrócić przez liczbę większą niż $5$ .
Ułamek jest skracalny np.

dla $n = 2$ otrzymujemy ułamek $\frac{25}{10},$ a po skróceniu $\frac{5}{2}$
dla $n = 7$ otrzymujemy ułamek $\frac{60}{25}$ , a po skróceniu $\frac{12}{5}$
dla $n = 12$ otrzymujemy ułamek $\frac{95}{40}$ , a po skróceniu $\frac{19}{8}$

W każdym przypadku ułamek został skrócony przez $5$ .