Trójkąty i ich własności

Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.

R1EPl1mRfIQvV1

Rysunek trójkąta z oznaczonym kątem wewnętrznym alfa oraz kątami zewnętrznymi beta i gamma przy tym samym wierzchołku. Kąty beta i gamma są przyległe do kąta alfa.

$\beta$, $\gamma$ – kąty zewnętrzne, przyległe do kąta $\alpha$

W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach $a$, $b$, $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

Suma miar kątów trójkąta jest równa $180°$.

R1P3NgKlZlPMZ1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Alfa + beta + gamma =180 stopni.

Znajdziemy miarę kąta $\alpha$.

R5kDBhzMYVBpP1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, 80 stopni i 30 stopni.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa $180°$.

Odpowiedź:

Miara kąta $\alpha$ jest równa $70°$.

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę $40°$. Obliczymy miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne – rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa $180°$.

• Przypadek $\text{I}$

Kąt o mierze $40°$ jest kątem między ramionami trójkąta.

R184F86RRE7At1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, alfa i 40 stopni.

Odpowiedź:

Miary pozostałych kątów trójkąta są równe $70°$ i $70°$.

• Przypadek $\text{II}$

Kąt o mierze $40°$ jest kątem przy podstawie trójkąta.

R1EHHpIWEgueA1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych beta, 40 stopni i 40 stopni.

Odpowiedź:

Miara kąta $\beta$ jest równa $100°$.

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą, zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tej prostej. Trójkąt ma trzy wysokości.

R1SwZyMjisH3v1

Rysunek trzech trójkątów. Trójkąt ostrokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt rozwartokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c.

Jakie jest wzajemne położenie prostych, zawierających wysokości trójkąta?

RanznVqMT5qxv1

Rysunek trójkąta rozwartokątnego A B C, gdzie C jest wierzchołkiem kąta rozwartego. Wysokość h z indeksem dolnym jeden poprowadzona z wierzchołka C, h z indeksem dolnym dwa poprowadzona z wierzchołka B, h z indeksem dolny trzy poprowadzona z wierzchołka A. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H, który leży poza trójkątem.

Zauważmy, że proste, w których zawierają się wysokości rozpatrywanego trójkąta, przecięły się w jednym punkcie.
Czy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się zawsze w  jednym punkcie? Okazuje się, że tak, niezależnie od rodzaju trójkąta.

Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta, nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą $H$.

Opiszmy na trójkącie okrąg i utwórzmy ortocentrum $H$ trójkąta.
Przekształcamy ortocentrum trzykrotnie w symetrii osiowej względem każdego z boków tego trójkąta.
Otrzymujemy punkty:$H_1$, $H_2$, $H_3$. Gdzie leżą te punkty?

RDPFZflyFL1Wh1

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C wpisanego w okrąg. Wysokości: małe h z indeksem dolnym jeden, małe h z indeksem dolnym dwa, małe h z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H. Trzykrotnie utworzono obraz punktu H w symetrii osiowej względem wszystkich boków trójkąta, powstały w ten sposób punkty $H_1$, $H_2$, $H_3$. Można zauważyć, że obrazy punktu H leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Otrzymane punkty $H_1$, $H_2$, $H_3$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Wyznaczamy środki boków trójkąta. Znajdujemy obrazy ortocentrum $H$ tego trójkąta w symetrii środkowej względem wyznaczonych punktów.
Otrzymujemy punkty: $H{\text{'}}_1$, $H{\text{'}}_2$, $H{\text{'}}_3$. Gdzie leżą te punkty?

R16UCXt1EQeC0

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C wpisanego w okrąg. Wysokości: małe h z indeksem dolnym jeden, małe h z indeksem dolnym dwa, małe h z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H. Zaznaczone punkty: H prim z indeksem dolnym jeden, H prim z indeksem dolnym dwa, H prim z indeksem dolnym trzy to obrazy w symetrii środkowej względem środków boków tego trójkąta. Wszystkie te obrazy leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Wyznaczone punkty $H{\text{'}}_1$, $H{\text{'}}_2$, $H{\text{'}}_3$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt, jego ortocentrum, okrąg opisany na trójkącie i sześć punktów uzyskanych w poprzednich konstrukcjach.
Dorysowujemy punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi boków.
Gdzie leżą te punkty?

R1fwy9Rg4GWDN

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C wpisanego w okrąg. Wysokości: małe h z indeksem dolnym jeden, małe h z indeksem dolnym dwa, małe h z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H. Zaznaczone punkty z poprzednich konstrukcji oraz punkty K, L, M, czyli punkty przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta z okręgiem opisanym na tym trójkącie. Można zauważyć, że punkty K, L i M znajdują się w środkach łuków o końcach odpowiednio $H{\text{'}}_1{H}_1$, $H{\text{'}}_2{H}_2$ oraz $H{\text{'}}_3{H}_3$

Okazuje się, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie, w środkach łuków o końcach odpowiednio $H{\text{'}}_1{H}_1$, $H{\text{'}}_2{H}_2$ oraz $H{\text{'}}_3{H}_3$.

Dwusieczną kąta trójkąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku tego kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.

R1BRwK9ov7ZtA1

Rysunek trójkąta z poprowadzoną dwusieczną kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty alfa.

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą ze środkowych tego trójkąta w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka.

RmLVqeCBOcTf21

Rysunek trójkąta z poprowadzonymi trzema środkowymi a, b i c. Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten dzieli każdą środkową na dwa odcinki o stosunku dwa do jednego.

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o $3 \mathrm{cm}$. Obliczymy wysokość tego trójkąta.

RDvhkOaqb82dj1

Rysunek trójkąta równobocznego z poprowadzonymi dwoma środkowymi, które przecinają się w jednym punkcie. Odległość od punktu przecięcia do wierzchołka wynosi x, a od punktu przecięcia do boku 3 cm.

Odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Czyli

Wysokość $h$ jest więc równa

Odpowiedź:

Wysokość trójkąta jest równa $9 \mathrm{cm}$.